湖北省咸宁市港路乡中学2022年高三数学文期末试题含解析

湖北省咸宁市港路乡中学2022年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在区间上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为

A．

B．

C．

D．参考答案：C2.直线被圆所截得的弦长为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C3.若命题，命题，则是的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：D4.当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是（）A．（0，） B．（，1） C．（1，） D．（，2）参考答案：B【考点】对数函数图象与性质的综合应用．【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解决即可【解答】解：∵0＜x≤时，1＜4x≤2要使4x＜logax，由对数函数的性质可得0＜a＜1，数形结合可知只需2＜logax，∴即对0＜x≤时恒成立∴解得＜a＜1故选B5.过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）作圆x2+y2=a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2=4cx于点P，O为坐标原点，若=（+），则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知|EF|=b，|PF|=2b，|PF'|=2a，再由抛物线的定义和方程，解得P的坐标，进而得到c2﹣ac﹣a2=0，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：∵|OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，∴|EF|==b，∵=（+），∴E为PF的中点，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b，设F'（c，0）为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为三角形PFF'的中位线，则|PF'|=2|OE|=2a，可令P的坐标为（m，n），则有n2=4cm，由抛物线的定义可得|PF'|=m+c=2a，m=2a﹣c，n2=4c（2a﹣c），又|OP|=c，即有c2=（2a﹣c）2+4c（2a﹣c），化简可得，c2﹣ac﹣a2=0，由于e=，则有e2﹣e﹣1=0，由于e＞1，解得，e=．故选：A．6.已知集合则=

（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：B7.（5分）（2015?嘉兴一模）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]参考答案：B【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：利用S△ABF=2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF=2S△AOF，∴r1r2═2?c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】：本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．8.已如定义在R上的函数的周期为6．且，则（

）A.11 B. C.7 D.参考答案：A【分析】利用函数是周期函数这一性质求得和.【详解】根据的周期是6，故，，所以,故选A.【点睛】此题考查周期函数的性质，属于基础题.9.下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B试题分析：A项,在上是减函数,故不符合题意.B项,在上为增函数,故B符合题意.C项,在上是减函数,故不符合题意.D项,在上是减函数,故不符合题意.故本题正确选项为B.考点：函数的单调性.10.已知函数，满足，且在上的导数满足，

则不等式的解为

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某工程由A、B、C、D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x,4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A、B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B、C完成后，D可以开工。若该工程总时数为9天，则完成工序C需要的天数x最大是

。参考答案：312.在中，内角所对的边分别是.已知，，则的值为_______.参考答案：因为，所以，解得，.所以.13.已知圆的圆心在抛物线上，且经过该抛物线的焦点，当圆的半径最小时，其方程为

参考答案：略14.圆心在原点上且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为________________．参考答案：x2+y2=215.设α为锐角，若cos（α+）=，则sin（2α+）的值为__________．参考答案：考点：三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：先设β=α+，根据cosβ求出sinβ，进而求出sin2β和cos2β，最后用两角和的正弦公式得到sin（2α+）的值．解答：解：设β=α+，∴sinβ=，sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β﹣1=，∴sin（2α+）=sin（2α+﹣）=sin（2β﹣）=sin2βcos﹣cos2βsin=．故答案为：．点评：本题要我们在已知锐角α+的余弦值的情况下，求2α+的正弦值，着重考查了两角和与差的正弦、余弦公式和二倍角的正弦、余弦等公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题16.在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为

参考答案：略17.设函数，若关于x的方程f（x）=a有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分14分)对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数．（Ⅰ）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；第一组：；第二组：；（Ⅱ）设，生成函数．若不等式在上有解，求实数的取值范围；（Ⅲ）设，取，生成函数使恒成立，求的取值范围．参考答案：（1）详见解析；（2）；（3）.试题分析：本题主要考查简单的合理推理等基础知识，考查了学生对新定义的接受与应用能力，同时考查了存在性问题及最值问题，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，第二组，设，从而得，从而判断；第二问，化简，从而为，再设，则，从而得，从而化为最值问题；第三问，将函数使恒成立，转化成，再分情况讨论函数的最小值，即可得到b的取值范围.试题解析：（Ⅰ）①设，即，取，所以是的生成函数．②设，即，则，该方程组无解．所以不是的生成函数．（Ⅱ）若不等式在上有解，，即设，则，，，故，．（Ⅲ）由题意，得若，则在上递减，在上递增，则，所以，得

若，则在上递增，则，所以，得．若，则在上递减，则，故，无解综上可知，考点：简单的合理推理.19.（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知，且对一切都成立．（1）若λ=1，求数列的通项公式；（2）求λ的值，使数列是等差数列．参考答案：（1）an=2n-1（2）λ=0.（2）令n=1，得．令n=2，得．

…10分要使数列是等差数列，必须有，解得λ=0．

…11分当λ=0时，，且．当n≥2时，，整理，得，，

…13分从而，化简，得，所以．

………………15分综上所述，（），所以λ=0时，数列是等差数列．

…16分考点：已知求20.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2，且AC，BD交于点O，E是PB上任意一点．（1）求证：AC⊥DE；（2）若E为PB的中点，且二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，求EC与平面PAB所成角θ的正弦值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）推导出DP⊥AC，从而BD⊥AC，进而AC⊥平面PBD，由此能证明AC⊥DE．（2）连接OE，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出EC与平面PAB所成角θ的正弦值．【解答】证明：（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE?平面PBD，∴AC⊥DE．解：（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令y=1，得=（），平面PBD的法向量=（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以|cos＜＞|==，所以t=2或t=﹣2（舍）），E（0，0，1），=（），，∴，∴EC与平面PAB所成角θ的正弦值为．21.某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．（1）求恰有3人申请A类奖助学金的概率；（2）被申请的助学金类型的个数ξ的分布列与数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，再求出恰有3人申请A类助学金的申请方式有多少种，由此能求出恰有3人申请A类奖助学金的概率．（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3，分别求出相应的概率，由此能示出ξ的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）所有可能的申请方式有34种，恰有3人申请A类助学金的申请方式有种，所以，所求概率为；…（Ⅱ）ξ的所有可能取值为1、2、3…，，，…综上知