新高考数学人教版一轮课时作业第二章第3节函数的奇偶性与周期性

授课提示：对应学生用书第241页[A组基础保分练]1．下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的函数是()A．y＝|log3x| B．y＝x3C．y＝e|x| D．y＝cos|x|答案：C2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log3x＋1，x≥0，,gx，x＜0，))则g(－8)＝()A．－2 B．－3C．2 D．3答案：A3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(－2,0)时，f(x)＝2x2，则f(2019)等于()A．－2 B．2C．－98 D．98答案：B4．已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(2)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案：C5．(多选题)(2021·吉林长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．答案：ABD6．已知定义在R上的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)是偶函数，不等式f(m＋2)≥f(x－1)对任意的x∈[－1,0]恒成立，则实数m的取值范围是()A．[－3,1] B．[－4,2]C．(－∞，－3]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[2，＋∞)解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)的图象关于x＝1对称，由f(m＋2)≥f(x－1)得|(m＋2)－1|≤|(x－1)－1|，即|m＋1|≤|x－2|在x∈[－1,0]恒成立，所以|m＋1|≤|x－2|min，所以|m＋1|≤2，解得－3≤m≤1.答案：A7．(2021·贵阳模拟)若f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1)是奇函数，则a＝________.答案：18．(2021·乐山模拟)已知函数f(x)满足：f(－x)＋f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝eq\f(2＋m,2x)－1，则f(－1)＝________.答案：eq\f(1,2)9．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．解析：(1)设x＜0，则－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2＞－1，,a－2≤1，))所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．[B组能力提升练]1．(多选题)(2021·福建毕业班质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于f(x)的结论正确的是()A．f(x)是周期函数B．f(x)满足f(x)＝f(4－x)C．f(x)在(0,2)上单调递减D．f(x)＝coseq\f(πx,2)是满足条件的一个函数解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(x)的图象关于点(1,0)对称，所以f(－x)＝－f(2＋x)，故f(x＋2)＝－f(x)，故f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的周期函数，故A正确；f(－x)＝f(x)＝f(x＋4)，以x代换－x可得f(x)＝f(4－x)，故B正确；f(x)＝coseq\f(πx,2)是定义在R上的偶函数，点(1,0)是f(x)图象的一个对称中心，故D正确；不妨令f(x)＝－coseq\f(πx,2)，此时f(x)满足题意，但f(x)在(0,2)上单调递增，故C错误．答案：ABD2．已知函数f(x)＝ln(ax＋b)(a＞0且a≠1)是定义域为R的奇函数，则不等式f(x)＞alna的解集是()A．(a，＋∞)B．(－∞，a)C．当a＞1时，解集是(a，＋∞)；当0＜a＜1时，解集是(－∞，a)D．当a＞1时，解集是(－∞，a)；当0＜a＜1时，解集是(a，＋∞)答案：C3．已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝0，且f(1－x)＝f(1＋x)，则下列结论一定正确的是()A．f(x＋2)＝f(x)B．函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称C．函数y＝f(x＋1)是奇函数D．f(2－x)＝f(x－1)解析：在f(1－x)＝f(1＋x)中，把x换成1＋x，得f(1－(1＋x))＝f(1＋(1＋x))，即f(x＋2)＝f(－x)；把x换成1－x，得f(1－(1－x))＝f(1＋(1－x))，即f(x)＝f(2－x)．根据f(－x)＋f(x)＝0，得f(x＋2)＋f(2－x)＝0，在y＝f(x)的图象上任取一点P(2＋x，y)，则y＝f(x＋2)＝－f(2－x)，即点P′(2－x，－y)在y＝f(x)的图象上，而点P(2＋x，y)和点P′(2－x，－y)关于点(2,0)对称，所以由点P的任意性，知函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)对称．答案：B4．(多选题)(2021·海南联考)已知定义在R上的函数f(x)，对于任意的x，y∈R恒有f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(0)≠t，使得f(t①f(0)＝1；②eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2＝eq\f(1,4)；③f(x)为偶函数；④f(x)为周期函数．其中正确结论的编号是()A．① B．②C．③ D．④解析：取x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝2[f(0)]2，∵f(0)≠0，∴f(0)＝1，①正确；取x＝y＝eq\f(t,2)，且f(t)＝0，则f(t)＋f(0)＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,2)))))2＝eq\f(1,2)，②错误；取x＝0，则f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)，∴f(－y)＝f(y)，又f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数，③正确；取x＝x0＋t，y＝t，且f(t)＝0，则f(x0＋2t)＋f(x0)＝2f(x0＋t)f(t)＝0，∴f(x0＋2t)＝－f(x0)，∴f(x0＋4t)＝－f(x0＋2t)＝f(x0)，∴f(x)为周期函数，④正确．答案：ACD5．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则对任意实数a，b，“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝f(|x|)，由于f(x)在[0，＋∞)上单调递增，因此若a＞|b|≥0，则f(a)＞f(|b|)，即f(a)＞f(b)，所以a＞|b|是f(a)＞f(b)的充分条件；若f(a)＞f(b)，则f(|a|)＞f(|b|)，可得|a|＞|b|≥0，由于a，b的正负不能判断，因此无法得到a＞|b|，则a＞|b|不是f(a)＞f(b)的必要条件，所以“a＞|b|”是“f(a)＞f(b)”的充分不必要条件．答案：A6．(2021·西安模拟)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝exA．f(－2)＜f(－3)＜g(－1)B．g(－1)＜f(－3)＜f(－2)C．f(－2)＜g(－1)＜f(－3)D．g(－1)＜f(－2)＜f(－3)解析：因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex①，所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x联立①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2gx＝ex，,fx－2gx＝e－x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＝\f(ex＋e－x,2)，,gx＝\f(ex－e－x,4)，))所以f(－2)＝eq\f(e－2＋e2,2)＞0，f(－3)＝eq\f(e－3＋e3,2)＞0，g(－1)＝eq\f(e－1－e,4)f(－3)－f(－2)＝eq\f(e－3＋e3,2)－eq\f(e－2＋e2,2)＝eq\f(e－1e2－e－3,2)＞0，所以g(－1)＜f(－2)＜f(－3)．答案：D7．已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝ex－1，则f(－2019)＋f(2020)＝________.答案：e－18．(2021·柳州模拟)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称且f(2)＝4，则f答案：－49．已知函数f(x)对任意x∈R满足f(x)＋f(－x)＝0，f(x－1)＝f(x＋1)，若当x∈[0,1)时，f(x)＝ax＋b(a＞0且a≠1)，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝eq\f(1,2).(1)求实数a，b的值；(2)求函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域．解析：(1)因为f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．因为f(x－1)＝f(x＋1)，所以f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，所以f(0)＝0，即b＝－1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝1－eq\r(a)＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,4).(2)当x∈[0,1)时f(x)＝ax＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))x－1∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，0))，由f(x)为奇函数知，当x∈(－1,0)时，f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))，又因为f(x)是周期为2的周期函数，所以当x∈R时，f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，设t＝f(x)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，\f(3,4)))，所以g(x)＝f2(x)＋f(x)＝t2＋t＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，即g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(21,16))).故函数g(x)＝f2(x)＋f(x)的值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(21,16))).[C组创新应用练]1．(多选题)(2021·山东烟台模拟)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，f(x＋1)是偶函数，且当x∈(0,1]时，f(x)＝－x(x－2)，则()A．f(x)是周期为2的函数B．f(2019)＋f(2020)＝－1C．f(x)的值域为[－1,1]D．f(x)的图象与曲线y＝cosx在(0,2π)上有4个交点解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，可知f(x)图象的对称轴为直线xf(x)为奇函数，则f(－x＋1)＝－f(x－1)，所以f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的函数，故A错误；因为f(x)的周期为4，所以f(2019)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(2020)＝f(0)＝0，所以f(2019)＋f(2020)＝－1，故B正确；当x∈(0,1]时，f(x)＝－x(x－2)，f(x)在(0,1]上单调递增，所以f(x)max＝f(1)＝1，又f(x)为奇函数且图象的对称轴为直线x＝1，所以当x∈[－1,3]时，f(x)的值域为[－1,1]，又f(x)是周期为4的函数，所以在(－∞，＋∞)上f(x)的值域为[－1,1]，故C正确；分别画出函数y＝f(x)和y＝cosx在[0,2π]上的大致图象，如图所示，观察图象可知，y＝f(x)的图象与曲线y＝cosx在(0,2π)上有4个交点，故D正确．答案：BCD2．(2019·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq\f(8,9)，则m的取值范围是()A．－∞，eq\f(9,4) B．－∞，eq\f(7,3)C．－∞，eq\f(5,2) D．－∞，eq\f(8,3)解析：当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0,1]时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1,0]时，x＋1∈f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,2)(x＋1)x，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,8)，0))；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝eq\f(1,2)f(x＋1)＝eq\f(1,4)f(x＋2)＝eq\f(1,4)(x＋2)(x＋1)，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,16)，0))；