从自然数到有理数（原卷版）

1.1从自然数到有理数了解自然数和分数是由于人们生活和生产实践的需要而产生的经历用正、负数表示具有相反意义的量的过程,体会引进负数的必要性和意义.(抽象能力)理解有理数的概念，并能准确地对有理数进行分类知识点一自然数、分数自然数在计数、测量、标号和排序中有着广泛的应用，如城市的公共汽车路线，门牌号码，邮政编码等数据，都是自然数的具体应用.注意：像0,1,2,3,4,5,…这样的数都是自然数.2.分数和小数是由于测量和分配等实际需要而产生分数和小数。(1)分数可以看成两个整数相除,例如,,因此分数都可以化为小数.分数在化成小数时,结果可能是有限小数,也可能是无限循环小数.(2)有限小数和无限循环小数,都可以化为分数,例如,，.3.数的运算伴随着数的概念而来的是数的运算，数的运算是人们分析、判断和解决实际问题的重要手段.生活中的许多问题，都是用数的运算解决的.即学即练某商品的进价是110元，售价是132元，则此商品的利润率是（）A． B． C． D．知识点二具有相反意义的量1.概念在日常生活和生产实践中,我们经常会遇到具有相反意义的量.如表示温度有“零上”和“零下”，水位变化有“升高”和“降低”,经营情况有“盈利’和“亏损”等等.由具有相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量.2.常用词汇收入盈利上升零上增加向东…支出亏损下降零下减少向西…注意：(1)具有相反意义的量必须是同类量.(2)具有相反意义的量，只是意义相反，数量可以不相等，即与一个量成相反意义的量不止一个.例如:盈利200元,与它成相反意义的量可以是亏损100元也可以是亏损80元等.即学即练（2023·浙江杭州·七年级校联考期末）中国古代数学著作九章数术的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入元记作元，那么元表示（

）A．支出元 B．收入元 C．支出元 D．收入元解答这类问题,注意以下两点:(1)寻找具有相反意义的词语(2)表示具有相反意义的量时，必须带上单位，且相反意义的量一定是具体的数量.知识点三正数和负数1.正数为了表示具有相反意义的量,我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数,如123,36,,1.31等来表示,这样的数就叫做正数(positivenumber).2.负数把另一种与之意义相反的量规定为负，用大于零的数前面放上负号“-”来表示,如-233.-60,,-0.5等，这样的数就叫做负数(negativenumber).1.正数前面可以放上正号“+”来表示(常省略不写);负数前面可的“-”不能省略，否则就变成了正数.2.符号“+”“-”的双重意义(1)作为运算符号是加减号(2)作为性质符号是正负号即学即练（2023·浙江嘉兴·统考二模）若向东走米记为，则表示（

）A．向西走2米 B．向东走2米 C．向西走米 D．向北走2米3.0的特征0既不是正数，也不是负数，它是正数和负数的分界.注意：0作为某些量的基准量，具有初始位置的意义.如0℃不是表示没有温度，而表示标准大气压下，水开始结冰的温度.即学即练把下列各数分别填在相应的集合内：，，，，，，，，．(1)正数集合：{

…}；(2)负数集合：{

…}；(3)整数集合：{

…}．知识点四有理数的有关概念正整数、零和负整数统称整数(integer),如1,2,0，-1，-2等.正分数、负分数统称分数(fraction),如,,，等.整数和分数统称有理数(rationalnumber)因为有限小数、无限循环小数、百分数都可以转化为分数，所以我们把有限小数、无限循环小数、百分数都看做分数.零既不是正数,也不是负数，但零是整数,也是有理数.即学即练小强在笔记上整理了以下结论，其中错误的是（）A．有理数可分为正数、零、负数三类 B．一个有理数不是整数就是分数C．正有理数分为正整数和正分数 D．负整数、负分数统称为负有理数知识点五有理数的分类按有理数的正负分类提示1.有理数分类原则(1)统一标准,必须按同一标准分类;(2)不重复,即同一个有理数不能归到两个类别中;(3)不遗漏，所分各类总个数必须是原来的全部.2.正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数,如:.类似地，负有理数都是负数,但负数不一定都是负有理数,如:.即学即练把下列各数填入相应集合的括号内．，，，0，，13，，，，，(1)正分数集合：{____________…}；(2)整数集合：{____________…}；(3)非负数集合：{____________…）．题型一正负数的意义例1（2023秋·浙江绍兴·七年级统考期末）如果温度上升，记作，那么温度下降记作．举一反三1（2023秋·浙江金华·七年级统考期末）如果向东走3km记作，那么向西走4km记作km．举一反三2（2023·浙江嘉兴·统考一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数.如果收入100元记作+100元.那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元题型二相反意义的量例2（2023秋·浙江嘉兴·七年级统考期末）如果转盘沿顺时针转3圈记为+3，则转盘沿逆时针转2圈记为（

）A． B． C．3 D．举一反三1（2023秋·浙江湖州·七年级统考期末）如果收入500元记作元，那么支出200元记作．举一反三2（2022秋·浙江湖州·七年级校联考期中）若气温零上记作，则气温零下记作（

）A． B． C． D．题型三正负数的实际应用例3（2023秋·浙江台州·七年级统考期末）若收入5元记为，则支出2元记为．举一反三1（2023秋·浙江宁波·七年级统考期末）如果盈利100元记作+100元，那么亏损50元记作元．举一反三2（2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考三模）如果水库的水位高于正常水位5m时，记作+5m，那么低于正常水位3m时，应记作（）A．+3m B．﹣3m C．+m D．﹣5m题型四有理数的概念例4（2022秋·浙江杭州·七年级校考期中）把下列各数的序号填在相应的横线内：①1

②

③

④0

⑤

⑥

⑦(1)整数：______________________________；(2)负分数：______________________________；(3)有理数：______________________________．举一反三1在数0，，，0.13，0.1010010001…(相邻两个1之间依次增加1个0)，中，有理数有（

）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个举一反三2（2022秋·浙江绍兴·七年级校联考期中）在，，，（每两个1之间依次多一个0），0，，这6个数中，有理数有个．题型五0的意义例5（2023秋·山西晋城·七年级统考期末）下列说法正确的是（）A．0既是正数又是负数 B．0是最小的正数C．0既不是正数也不是负数 D．0是最大的负数举一反三1（2023秋·广西河池·七年级统考期末）下列说法错误的是（

）A．0既不是正数，也不是负数B．零上4摄氏度可以写成，也可以写成C．若盈利100元记作元，则元表示亏损20元D．向正北走一定用正数表示，向正南走一定用负数表示举一反三2（2023秋·安徽阜阳·七年级校考期末）下列说法正确的有（）A．整数包括正整数和负整数B．零是整数，既不是正数，也不是自然数C．分数包括正分数、负分数D．有理数不是正数就是负数题型六有理数的分类例6（2023·浙江温州·统考一模）数1，，0，，中正数有（

）个A．2 B．3 C．4 D．5举一反三1（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）对以下数进行分类，，，，0，，负整数（

）负分数（

）正分数（

）整数（

）分数（

）有理数（

）举一反三2（2022秋·浙江金华·七年级校考期中）把下列各数分别填入相应的集合里，，0，，23，，0.010010001……（每两个1之间依次多一个“0”）(1)负数集合：{

……}；(2)分数集合：{

……}；(3)非负整数集合：{

……}题型七带“非”字的有理数例7（2022秋·浙江杭州·七年级杭州市杭州中学校考期中）下列说法正确的是（

）A．表示一个负数 B．正整数和负整数统称整数C．是分数 D．非负数包括零和正数举一反三1（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）把下列各数的序号分别填在相应的横线上：①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦426．(1)正有理数：_________．(2)负分数：_________．(3)非负整数：_________．举一反三2（2022秋·广东汕头·七年级汕头市龙湖实验中学校考期中）把下列各数分别填入相应的集合里．0，，5，3.14，，，(1)整数集合：{…}；(2)分数集合：{…}；(3)有理数集合：{…}；(4)非负数集合：{…}．单选题1.（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）规定：表示向右移动2记作，则表示向左移动3记作（

）A． B． C． D．2．（2023秋·天津河东·七年级校考期末）下列说法中正确的是（

）A．整数一定是正数 B．有这样的有理数，它既不是正数，也不是负数C．零是最小的整数 D．有这样的有理数，它既是正数，也是负数3．（2022秋·河北石家庄·七年级校考期中）下列各数中，是负数的是（

）A．－1 B．0 D．4．（2023秋·广东广州·七年级校联考期末）下列语句正确的是(

)A．“+15米”表示向东走15米 B．0℃表示没有温度C．﹣a可以表示正数 D．0既是正数也是负数5．（2023秋·安徽六安·七年级统考期末）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若零上10℃记作+10℃，则零下10℃可记作（

）A．10℃ B．0℃ C．-10℃ D．-20℃6．（2023春·黑龙江哈尔滨·六年级统考期末）在东西向的马路上，把出发点记为0，向东与向西意义相反．若把向东走2km记作“+2km”，那么向西走1km应记作（

）A．﹣2km B．﹣1km C．+1km D．+2km7．（2023秋·广西南宁·七年级南宁市天桃实验学校校考期末）中国人很早就开始使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放着表示正数，斜放着表示负数，如图（1）表示．按照这种表示法，如图（2）表示的是（

）A． B． C． D．8．（2023秋·福建莆田·七年级统考期末）一种饼干包装袋上标着：净重（150±5克），表示这种饼干标准的质量是150克，实际每袋最少不少于（）克．A．155 B．150 C．145 D．1609．（2023秋·山东聊城·七年级校考期末）下列说法正确的个数是（

）①一个有理数不是整数就是分数；②一个有理数不是正数就是负数；③一个整数不是正的就是负的；④一个分数不是正的，就是负的.A．1 B．2 C．3 D．410．（2023秋·黑龙江绥化·六年级统考期末）下列说法正确的是（

）A．0乘以任何数都等于任何数 B．0可以做分母 C．0没有倒数 D．0不是整数二、填空题1.（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考期中）如果水位升高2m时水位变化记作+2m，那么水位下降2m时水位变化记作．2．（2023秋·江苏南京·七年级统考期末）下列各数：，，，0，，，其中分数的个数是个．3．（2023秋·新疆乌鲁木齐·七年级乌鲁木齐市第70中校考期末）在，，，，0，，2，，中，非负数有个．4．（2023秋·湖北襄阳·七年级统考期末）在数，，，0，，，，，中，是负分数．5．（2023·江西赣州·赣州市第三中学校考模拟预测）桌子上放有6枚正面朝上的硬币，每次翻转其中的4枚，至少翻转次能使所有硬币都反面朝上．三、解答题1.（2023秋·辽宁沈阳·七年级统考期末）将下列各数填入所属的集合中：0，，，，，3.5，0.6，，10，，正数集合：{

…}；整数集合：{

…}；分数集合：{

…}；负整数集合：{

…}；正分数集合：{

…}；2．（2022秋·安徽芜湖·七年级校考期中）某超市2021年上半年的营业额与2020年同