江苏省镇江市丹阳第八中学高二数学文摸底试卷含解析

江苏省镇江市丹阳第八中学高二数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）2345销售额y（万元）25374454

根据上表可得回归方程中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（

）A.61.5万元 B.62.5万元 C.63.5万元 D.65.0万元参考答案：C【分析】先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据回归直线经过样本中心点，求出，得到线性回归方程，把代入即可求出答案。【详解】由题意知，，则，所以回归方程为，则广告费用6万元时销售额为，故答案为C.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用，属于基础题。2.椭圆上上一点p到两焦点距离之积为m，则m取最大值时，p点的坐标是（）A．或 B．或C．（5，0）或（﹣5，0） D．（0，3）或（0，﹣3）参考答案：D【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的方程，得|PF1|+|PF2|=2a=10，结合基本不等式可知：当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，点P到两焦点的距离之积为m有最大值25，并且此时点P位于椭圆短轴的顶点处，可得点P坐标为（0，3）或（0，﹣3）．【解答】解：∵椭圆方程，∴椭圆的a=5，b=3设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，得|PF1|+|PF2|=2a=10∵|PF1|+|PF2|≥2∴点P到两焦点的距离之积m满足：m=|PF1|×|PF2|≤（）2=25当且仅当|PF1|=|PF2|=5时，m有最大值25此时，点P位于椭圆短轴的顶点处，得P（0，3）或（0，﹣3）故选：D3.命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tanα≠1 B．若α=，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠ D．若tanα≠1，则α=参考答案：C【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．【解答】解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．故选C．4.将函数（）的图象绕坐标原点逆时针旋转（为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则的最大值为（

）A． B．

C．

D．参考答案：C5.点M在抛物线C：x2=2py（p＞0）上，以M为圆心的圆与x轴相切于点N，过点N作直线与C相切于点P（异于点O），OP的中点为Q，则（）A．点Q在圆M内 B．点Q在圆M上C．点Q在圆M外 D．以上结论都有可能参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】设切点的坐标，可得切线方程，进而可得N，M的坐标，即可得出结论．【解答】解：设P（a，b），则∵x2=2py，∴y=x2，∴y′=，∴过P的切线的方程为y﹣b=（x﹣a），即y=x﹣b，令y=0，可得x==，代入抛物线C：x2=2py，可得y==，∴M（，）OP的中点为Q（，），∴|MQ|=，∴点Q在圆M上，故选：B．6.已知过曲线上一点，原点为，直线的倾斜角为，则P点坐标是（

）A．（3，4）B．C．(4，3)D．参考答案：D7.两圆x2+y2﹣4x+2y+1=0与x2+y2+4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切参考答案：B【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把第二个圆化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式求出圆心距d，根据d与R、r的大小比较发现，d=R+r，可得出两圆外切．【解答】解：由圆x2+y2﹣4x+2y+1=0，得（x﹣2）2+（y+1）2=4，得到圆心A（2，﹣1），半径R=2，由x2+y2+4x﹣4y﹣1=0变形得：（x+2）2+（y﹣2）2=9，可得圆心B（﹣2，2），半径r=3，∵两圆心距d=|AB|=5=2+3∴两圆外切．故选：B．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，涉及的知识有：圆的标准方程，两点间的距离公式，圆与圆位置关系可以由d，R及r三者的关系来判定，当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d=R﹣r时，两圆内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．8.在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．2 B．4 C．8 D．16参考答案：B【考点】简单线性规划．【分析】先作出不等式组对应的平面区域，然后根据区域确定面积即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由得，即A（2，2），则三角形的面积S=，故选：B．9.下列说法正确的是()A．任何事件的概率总是在(0,1)之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定参考答案：C10.正项等比数列{an}中，存在两项am、an使得=4a1，且a6=a5+2a4，则的最小值是（）A． B．2 C． D．参考答案：A考点： 基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的性质．专题： 等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．分析： 由a6=a5+2a4，求出公比q，由=4a1，确定m，n的关系，然后利用基本不等式即可求出则的最小值．解答： 解：在等比数列中，∵a6=a5+2a4，∴，即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），∵=4a1，∴，即2m+n﹣2=16=24，∴m+n﹣2=4，即m+n=6，∴，∴=（）=，当且仅当，即n=2m时取等号．故选：A．点评： 本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟练掌握基本不等式成立的条件．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若直线l过点（2，1），且在x轴、y轴上的截距相等，则直线l的方程为_______。参考答案：12.若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则实数a的取值范围是．参考答案：[，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题；2I：特称命题．【分析】根据特称命题为假命题，转化为“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，利用参数分离法进行转化，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性额最值进行求解即可．【解答】解：若命题“?x0∈（0，+∞），使lnx0﹣ax0＞0”是假命题，则命题“?x∈（0，+∞），使lnx﹣ax≤0”恒成立，即ax≥lnx，即a≥，设f（x）=，则f′（x）=，由f′（x）＞0得1﹣lnx＞0得lnx＜1，则0＜x＜e，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得1﹣lnx＜0得lnx＞1，则x＞e，此时函数单调递减，即当x=e时，函数f（x）取得极大值，同时也是最大值，此时f（e）==，故a≥，故答案为：[，+∞）13.已知定义在[-2,2]上的函数f(x)满足f(x)+f(﹣x)=0，且，若f(1﹣t)+f(1﹣t2)＜0，则实数t的取值范围为

.参考答案：[-1,1)由题意可得，函数f(x)是定义在区间[-2,2]上的减函数，不等式即：f(1﹣t2)＜f(t﹣1)，据此有：，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为[-1,1).点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．

14.在等比数列中，若2，，则

.

参考答案：18略15.命题“正方形是平行四边形”逆否命题为 ．参考答案：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【考点】四种命题．【专题】应用题；对应思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据原命题“正方形是平行四边形”及四种命题的定义，我们可以写出其逆否命题．【解答】解：逆否命题为：“如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形”，故答案为：如果一个四边形不为平行四边形，则这个四边形不为正方形【点评】本题考查的知识点是四种命题的之间的关系，属于基础题．16.

某地区为了解70岁～80岁的老人的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：序号i分组

(睡眠时间)组中值(Gi)频数(人数)频率(Fi)

14,5)4.560.1225,6)5.5100.2036,7)6.5200.4047,8)7.5100.2058,98.540.08在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为________．参考答案：6.4217.命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是．参考答案：?x∈R，x2+x+1≤0【考点】命题的否定．【专题】综合题．【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“?”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．【解答】解：命题“?x∈R，x2+x+1＞0“的否定是：?x∈R，x2+x+1≤0．故答案为：?x∈R，x2+x+1≤0．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图,在直三棱柱中,,为中点.（１）求证:;（２）求证:∥平面

;（３）求二面角的余弦值.

参考答案：解析：解法一:(Ⅰ)在直三棱柱中,底面,在底面上的射影为.由可得.所以.

………………..4分(Ⅱ)设与交于点则为中点.在中,连结分别为的中点,∥,又平面,平面,∥平面.

………………8分(Ⅲ)过作于,连结.由底面可得.故为二面角的平面角.二面角的余弦值为

.

……12分解法二直三棱柱,底面三边长,两两垂直.如图以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则.

(Ⅰ),

.

……………….4分

(Ⅱ)同解法一…………..………..8分(Ⅲ)平面的一个法向量为,设平面的一个法向量为,,,则.故＜＞=.故二面角的余弦值为.

……………….12分19.（本题满分13分）在四棱锥中，//，，，平面，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的余弦值（Ⅲ）设点为线段上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．参考答案：（1）证明：因为，，所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，.

所以，，，所以，.所以，.因为，平面，平面，所以平面.

4分（2），

异成直线与所成角的余弦值

8分（Ⅲ）解：设（其中），，直线与平面所成角为.所以.所以.所以即.

所以.

10分平面的一个法向量为.

11分因为，所以.解得.所以.

13分20.如果x是实数，且x＞﹣1，x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：（1+x）n＞1+nx．参考答案：【考点】RG：数学归纳法．【分析】利用数学归纳法证明：（1）当n=2时，证明不等式成立；（2）假设n=k（k≥2，k∈N*）时命题成立，用上归纳假设，去证明则当n=k+1时，不等式也成立即可．【解答】证明：（1）当n=2时，∵x≠0，∴（1+x）2=1+2x+x2＞1+2x，不等式成立；（2）假设n=k（k≥2）时，不等式成立，即（1+x）k＞1+kx当n=k+1时，左边=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，∴当n=k+1时，不等式成立由（1）（2）可知，不等式成立．21.(本题满分12分)求渐近线方程为，且过点的双曲线的标准方程及离心率。参考答案：略22.某旅游景区的观景台P位于高（山顶到山脚水平面M的垂直高度PO）为2km的山峰上，山脚下有一段位于水平线上笔直的公路AB，山坡面可近似地看作平面PAB，且△PAB为等腰三角形．山坡面与山脚所在水平面M所成的二面角为α（0°＜α＜90°），且sinα=．现从山脚的水平公路AB某处C0开始修建一条盘山公路，该公路的第一段、第二段、第三段…，第n﹣1段依次为C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn（如图所示），且C0C1，C1C2，C2C3，…，Cn﹣1Cn与AB所成的角均为β，其中0＜β＜90°，sinβ=．试问：（1）每修建盘山公路多少米，垂直高度就能升高100米．若修建盘山公路至半山腰（高度为山高的一半），在半山腰的中心Q处修建上山缆车索道站，索道PQ依山而建（与山坡面平行，离坡面高度忽略不计），问盘山公路的长度和索道的长度各是多少？（2）若修建xkm盘山公路，其造价为a万元．修建索道的造价