1数学几何五大模型

数学几何五大模型一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等；其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。D12a:b⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。D12a:b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S=S；△ACD△BCD反之，如果S=S，则可知直线AB平行于CD。△ACD△BCD⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图，在△abc中，d,e分别是AB,AC上的点（如图1）或d在ba的延长线上，E在AC上（如图E在AC上（如图2），则S△abc:S△ADE=(ABxAC):(ADxAE)图1图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：（1（1）（2）S:S二S:S或者SXS二SXS12431324AO:OC=(S+S):(S+S)1243蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）⑴S:S=a2:b213S:S:S:S=a2:b2:ab:ab；梯形；的对应份数为(a+b)2o四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型金字塔模型沙漏模型1)AD_AE_DE_1)2)S:S_AF2:AG2。2△ADE△ABC所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。五、燕尾定理模型SSSSBE:EC△ABG:△AGC_△BGE:△EGC_二.SSSSAF:FC△BGA:△BGC_△AGF:△FGC_SSSSAD:DB△AGC:△BCG_△ADG:△DGB二.典型例题精讲例1一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0.15倍，黄色三角形的面积是21平方厘米。问：长方形的面积是平方厘米。例1例1图例2如图，三角形田地中有两条小路AE和CF，交叉处为D，张大伯常走这两条小路，他知道DF二DC,且AD二2DE。则两块地ACF和CFB的面积比是。【举一反三】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【拓展】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3,三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少？例3如图，将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是。【拓展】如图在△ABC中延长AB至D使BD二AB,延长BC至E使CC12F是AC的中点，若△ABC的面积是2，贝MDEF的面积是多少？例4如图，在△ABC中，已知M、N分别在边AC、BC上,BM与AN相交于O，若△AOM、aABO和^BON的面积分别是3、2、1，贝MMNC的面积是【秒杀题】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点0（如图所示）如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的1，且A0二2，D0二3,那么C0的3长度是长度是DO的长度的倍。例5如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA二AB,CB二BF,DC二CG,HD二DA，求四边形ABCD的面积。例例6【铺垫】图中四边形ABCD是边长为12cm的正方形，从G到正方形顶点C、D连成一个三角形，已知这个三角形在AB上截得的EF长度为4cm，那么三角形GD的面积是多少？例7如图，长方形ABCD中，E为AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，已知AH二5cm,HF二3cm，求AG。例7图例8如右图，三角形ABC中，BD:DC二4:9,CE:EA二4:3，求AF:FB。例8图【拓展】如图，三角形ABC的面积是1,BD=DE=EC,CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？例9如右图"ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点，AD与BG交于M，AF与BG交于N，已知△ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米，贝I」△ABC的面积是多少平方厘米？例9图例10如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC与CD上，