2018年中考数学总复习：解析法巧解中考压轴题

2018年中考数学总复习：解析法巧解中考压轴题解析法巧解中考压轴题在平面几何中，我们可以利用解析法建立直角坐标系，用代数的方法解决几何问题，这种方法通常更简洁高效。下面以近年中考的压轴题为例，来分析一下解析法的妙处。例如2013年泰州中考的一道题目，如下图所示：（这里省略了图1）题目描述：在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连结PQ，M为PQ中点。若AD＝10，AB＝a，DP＝8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化。当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围。这道题目考察了学生的相似解决问题的综合能力，难度较大，区分度高。按照参考答案给出的解题思路，如下图所示，当点M落在矩形ABCD外部时，须满足的条件是“BE>MN”。分别求出BE与MN的表达式，列不等式求解，即可求出a的取值范围。由△ADP∽△ABQ，解得QB＝a。由△QBE∽△QCP，同样由比例关系得出BE＝$\frac{2a(a-8)}{2a+25}$。又因为MN为QCP的中位线，得出MN＝PC＝（a－8）。再由BE>MN，即$\frac{2a(a-8)}{2a+25}>(a-8)$，解得a>12.5。虽然这种解法需要想到添加辅助线，并且两次运用了相似比，计算量大，易出错。但是我们可以采用更为简洁的做法，将图形放进直角坐标系中，利用数形结合的方法来解决此类问题。我们需要建立合适、恰当的坐标系，通常需要考虑以下两点：1.让尽可能多的点落在直角坐标系上，这些点的坐标含有数字0，可以起到简化运算的功效；2.考虑图形的对称性，同样，也能起到简化运算的作用。解答如下图所示，建立以B点为原点，BC方向为x轴正半轴，BA方向为y轴正半轴的直角坐标系。则A(0，a)，P(0，a－8)。直线AP的斜率为k，AP＝－，因此直线AQ为y＝x＋a，直线AQ与x轴交于点Q，因此Q(－a，0)。又M为线段QP上的中点，因此M（5－a，－4）。因为M点落在矩形ABCD的外部，所以M点在第二象限，解得a＞12.5。这样，通过建立合适的直角坐标系，使图形上各点得到确定，让问题变得清晰明了，避免了运用相似而产生的复杂计算。某数学兴趣小组探究线段上的动点问题。已知AB＝8，如图4，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC、BPEF。问题思考：(1)分别连结AD、DF、AF，AF交DP于点K，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由。问题拓展：(2)如图5，在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM²＝BN＝1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点D所经过的路径的长度。(3)在第二问的情况下，求OM＋OB的最小值。分析：这是一道关于正方形的综合题，难度较大，解题难点在于分析动点的运动轨迹，需要很好的空间想象能力和作图分析能力。此外，本题还综合考查了二次函数、整式的运算、四边形、中位线、相似、轴对称与勾股定理等众多知识点。但是，如果我们建立直角坐标系，用解析几何的方法就可以避开相似，a²省去很多不必要的麻烦。在第(1)问中，根据点的坐标，求得PK＝a－，进而求得DK＝PD－PK＝，然后根据面积公式即可求得，第(2)(3)问涉及点的运动轨迹，GH中点O的运动路径是与AB平行且距离为3的线段XY上，如图6所示。然后利用轴对称的性质，求出OM＋OB的最小值。解答：(1)如图6所示，以A点为原点，AB方向为x轴正半轴，AC方向为y轴正半轴，建立直角坐标系。设AP＝a。又P在M到N之间运动，∴1≤a≤7。∴a经过的路径是一条与AB平行的线段，长为3。(3)如图7所示，作点M关于直线XY的对称点M'，连结BM'。由轴对称性质可知，M'(1，8)，由两点之间线段最短可知，此时OM＋OB＝BM'最小，而BM'＝√(1-8)²＋(8-a)²＝√