上海澄源中学高三数学文期末试卷含解析

上海澄源中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是（）参考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，A．120° B．130° C．135° D．140°参考答案：C【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意利用直角三角形中的边角关系，可得α1=45°，α3=30°，再利用两角和的正切公式求得tan（α2+α4）的值，可得α2+α4的值．【解答】解：由题意可得，α1、α2、α3、α4最都是锐角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，故（α2+α4）接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，故选：C．【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．2.已知函数的反函数为则A．0

B．1

C．2

D．4参考答案：C略3.设集合，则

A.{0，1}

B.{-1，0，1}

C.{0，1，2}

D.{-1，0，1，2}参考答案：A因为，，所以，选A.4.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部是（ ）A．

B．

C．

D．参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵（i﹣1）z=i，∴，∴z的虚部是﹣．故选：D．5.在等比数列中，若，，则该数列前5项的积为（

）A．±3

B．3

C．±1

D．1参考答案：D6.设函数f（x）=ex+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则(

) A．0＜g（a）＜f（b） B．f（b）＜g（a）＜0 C．f（b）＜0＜g（a） D．g（a）＜0＜f（b）参考答案：D考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．解答： 解：∵y=ex和y=x﹣2是关于x的单调递增函数，∴函数f（x）=ex+x﹣2在R上单调递增，分别作出y=ex，y=2﹣x的图象如右图所示，∴f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，又∵f（a）=0，∴0＜a＜1，同理，g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=+（）2﹣3=＞0，又∵g（b）=0，∴1，∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=eb+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0，∴g（a）＜0＜f（b）．故选：D．点评：本题考查了函数的性质，考查了函数图象．熟练掌握函数的单调性、函数零点的判定定理是解题的关键．本题运用了数形结合的数学思想方法．属于中档题．7.为了得到函数的图像，只要把上所有的点（）A.横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变B.横坐标缩短为原来的，纵坐标不变C.纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变D.纵坐标缩短为原来的，横坐标不变参考答案：B8.如果执行右面的程序框图，则输出的结果是

A．—5

B．—4

C．—1

D．4参考答案：A略9.已知中，角A、B、C的对边分别为、、，已知，则cosC的最小值为A. B.

C.

D.参考答案：C略10.已知z=（）2016（i是虚数单位），则z等于（）A．﹣1 B．1 C．0 D．i参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的除法以及乘方运算法则化简求解即可．【解答】解：z=（）2016===1．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域为A，若时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数，下列命题：①函数是单函数②函数是单函数③若为单函数，且，则④函数在定义域内某个区间D上具有单调性，则在定义域内一定是单函数。其中的真命题是______________（写出所有真命题的编号）参考答案：略12.在中，内角的对边分别为，若，则__________.参考答案：13.若的展开式中的系数为7，则实数_________。参考答案：14.已知正实数a，b满足a+3b=7，则+的最小值为

．参考答案：．【分析】构造基本不等式的性质即可求解．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正实数a，b，即a＞0，b＞0；∵a+3b=7，∴a+1+3（b+2）=14则，那么：（+）（）=≥=当且仅当2（a+1）=（b+2）时，即取等号．∴+的最小值为：，故答案为：．15.在中，角的对边分别为，，，，则_______．参考答案：试题分析：由正弦定理得：即，∴，∵，∴.考点：正弦定理.16.正项等比数列=____________.参考答案：9略17.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ，θ)()中，曲线与的交点的极坐标为_____________．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如下表所示：

积极参加班级工作不积极参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性不高61925合计242650（Ⅰ）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率是多少？（Ⅱ）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）学生的积极性与对待班级工作的态度是否有关系？请说明理由．附：K2=p（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案：【考点】独立性检验的应用．【分析】（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，即可求出概率；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率是多少？（Ⅲ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）随机调查这个班的一名学生，有50种情况，抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生，有19种情况，故概率是…（Ⅱ）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴．…（Ⅲ）根据∴我们有99.9%把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．…19.在。（1）若。（2）若。参考答案：（1）由余弦定理及已知条件，得。又因为的面积等于（2）由题意，得.当由正弦定理得所以。20.(本小题满分12分)已知，，且//．设函数．（1）求函数的解析式．（2）若在锐角中，，边，求周长的最大值．参考答案：解：(1)因为//，所以，

……2分所以

………4分(2)∵，∴．∵，∴．

………6分又，解法一：由正弦定理知，得，∴，，∴的周长为

………7分．

………8分∵，∴，则，所以，∴周长的最大值为．

………10分解法二：由余弦定理知，，，

………7分，，

………8分∴，，∴周长的最大值为．

………10分略21.已知满足，．（1）求，并猜想的表达式；（2）用数学归纳法证明对的猜想.参考答案：（1），，；（2）证明见解析.试题分析：（1）依题意，有，，故猜想；（2）下面用数学归纳法证明.①当时，，显然成立；②假设当）时，猜想成立，即，证明当时，也成立.结合①②可知，猜想对一切都成立.试题解析：则当时，…10分即对时，猜想也成立；

………11分结合①②可知，猜想对一切都成立.

………12分考点：合情推理与演绎推理、数学归纳法．22.已知函数R.（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案：(1)的定义域为，.………1分(i)当时，恒成立，时，，在上单调递增；时，，在上单调递减；……2分(ii)当时，由得，（舍去），①当，即时，恒成立，在上单调递增；……3分②当，即时，或时，恒成立，在，单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………4分③当即时，或时，恒成立，在单调递增；时，恒成立，在上单调递减；……………5分综上，当时，单调递增区间为，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，，单调递减区间为；当时，单调递增区间为，单调递减区间为．…………………6分(2)由(1)知，当时，单调递增区间为，单调递减区间为，又因为，

…………………7分取，令，，则在成立，故单调递增，，，（注：此处若写“当时，”也给分）所以有两个零点等价于，得，