数学选修2-3第一章计数原理习题集(附答案解析)

数学选修2-3第一章计数原理习题集(附答案解析)1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理在本章节中，我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，这些原理可以帮助我们解决很多计数问题。下面是一些与这些原理相关的习题：1.某校举办了一次教师演讲比赛，参赛的语文老师有20人，数学老师有8人，英语老师有4人，从中评选出一个冠军，可能的结果种数为32。解析：由分类加法计数原理得，冠军可能的结果种数为4+8+20=32。因此，选项C是正确的答案。2.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”。在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是48个。解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6×6=36个，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6×2=12个，共36+12=48个。因此，选项B是正确的答案。3.某人有3个不同的电子邮箱，他要发5封电子邮件，不同发送方法的种数为35。解析：每封电子邮件都有3种不同的发送方法，共有3种不同的发送方法。因此，选项C是正确的答案。4.已知直线方程Ax+By=0，若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值，则可表示出的不同直线的条数为22条。解析：当A或B中有一个为零时，则可表示出2条不同的直线；当AB≠时，A有5种选法，B有4种选法，则可表示出5×4=20条不同的直线。由分类加法计数原理知，共可表示出20+2=22条不同的直线。因此，选项D是正确的答案。5.五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有20种。解析：设五名护士分别为A,B,C,D,E。其中两人拿到自己的外衣，可能是AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10种情况。假设A,B两人拿到自己的外衣，则C,D,E三人不能拿到自己的外衣，只有C取D,D取E,E取C，或C取E,D取C,E取D两种情况。因此，根据分步乘法计数原理，应有10×2=20种情况。因此，选项C是正确的答案。6.将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案81种。解析：每位老师都有3种分配方案，分四步完成，故共有3×3×3×3=81种。因此，选项A是正确的答案。示的是所有焦点在x轴上的椭圆或双曲线,则③和④也是排列问题;而①是组合问题,因为相加得到的和不考虑顺序.2.有8个人参加篮球比赛,其中5个人是队员,3个人是裁判.从中选出3个人作为主裁判和两个边裁的人选有多少种不同的选法?解:从5个队员中选出2个人作为边裁的人选,有C52种选法;从3个裁判中选出1个人作为主裁判,有C31种选法;从剩下的2个人中选出1人作为另一个边裁,有C21种选法.由乘法原理知,不同的选法有C52×C31×C21=30种.3.有6个人排队,其中甲必须排在乙的前面,且不考虑其他人的顺序.问有多少种不同的排队方法?解:由于甲必须排在乙的前面,所以乙只有1个位置可以选择,而甲在乙前面的位置有5个可以选择.剩下的4个人可以任意排列,有4!种不同的排列方法.由乘法原理知,不同的排队方法有1×5×4!=120种.4.从1,2,3,…,10这10个自然数中任取3个数,求其中最大值不超过6的选法有多少种?解:最大值不超过6的选法可以分为两类:最大值为6和最大值小于6的情况.最大值为6时,从1,2,3,4,5,6这6个数中任取2个数,有C62种选法.最大值小于6时,从1,2,3,4,5这5个数中任取3个数,有C53种选法.由加法原理知,不同的选法有C62+C53=15+10=25种.5.有6个人排队,其中甲必须排在乙的前面,且两人之间不得插入其他人.问有多少种不同的排队方法?解:由于甲必须排在乙的前面,所以乙只有1个位置可以选择,而甲在乙前面的位置有5个可以选择.剩下的4个人可以任意排列,有4!种不同的排列方法.由乘法原理知,不同的排队方法有1×5×4!=120种.1.对于双曲线=1中的a,b，可以得到多少个解？因为加法满足交换律，所以不是排列问题；而除法不满足交换律，因此在椭圆焦点在x轴上的情况下，a>b，即a和b的大小固定。在双曲线=1中，无论a>b还是a<b，方程都表示焦点在x轴上的双曲线，但是是不同的双曲线。因此，③不是排列问题，④是排列问题。答案：B。2.某年级一天有6节课，需要安排6门课程，该年级一天的课程表的排法有多少种？这相当于对6个元素进行全排列，因此有6×5×4×3×2×1=720种排法。答案：C。3.设m∈N*，则乘积m(m+1)(m+2)…(m+20)可以表示为什么？根据排列数公式，可以得到答案为(m+20)(m+19)(m+18)…(m+1)m。答案：D。4.某会议室共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，则不同的坐法有多少种？将三个人插入五个空位中间的四个空当中，有5种插法。因为三个人是不同的，所以有3!=6种排列方法。因此，总共有5×6=30种排法，但是因为三个人的位置可以互换，所以最终的排法数为30/3!=24种。答案：C。5.用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为多少？个位数字有2或4两种选择，千位数字只能是1或2，百位和十位数字可以任意排列，因此有2×2×2×1=8种排法。答案：C。6.要排一个有5个独唱节目和3个舞蹈节目的节目单，如果舞蹈节目不排在开头，并且任意两个舞蹈节目不排在一起，则不同的排法种数是多少？第一步先排5个独唱节目，共有5!=120种排法。第二步排舞蹈，不相邻则用插空法，且保证不放到开头，从剩下5个空中选3个插入即可，共有5×4×3=60种排法。因此，总共有120×60=7200种排法。答案：C。7.5名男生与2名女生排成一排照相，若男生甲必须站在中间，2名女生必须相邻，则符合条件的排法共有多少种？将2名女生看作1人，与4名男生一起排队，有5!=120种排法。男生甲插入中间位置，只有一种插法。而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有2种，因为2名女生可以互换位置。因此，符合题意的排列总数为120×2=240种。答案：C。8.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”。现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有多少个？首先，从6个数字中任取3个数字，有6×5×4/3×2×1=20种组合方式。考虑伞数的情况，如果十位数字是5或6，则百位数字只能是4，个位数字只能是2或3，因此有2×1×1=2种排列方式；如果十位数字是9，则百位数字只能是4或5，个位数字只能是2或3，因此有2×2×2=8种排列方式。因此，符合条件的“伞数”共有2+8=10个。答案：D。用1,2,3,4,5,6,7排列成无重复数字的七位数，根据不同要求分别计算排列的数量：(1)偶数不相邻，可以用插空法，先排列奇数，有5个奇数可选，第一位有7个位置可选，第二位有6个位置可选，以此类推，共有5×7×6×5×4×3×2=25200种排列方法。然后在这些排列方法中，去掉偶数相邻的排列，偶数有3个，可以先选2个排列位置，有6种选法，然后再在这些位置上插入偶数，有3!种排列方法，所以共有6×3!=36种偶数不相邻的排列方法。(2)偶数一定在奇数位上，先排列偶数，有3个偶数可选，第一位和第三位有各2个位置可选，第五位有3个位置可选，以此类推，共有3×2×2×3×2×1×1=72种排列方法。然后在这些排列方法中，再排列奇数，有4个奇数可选，第二位有3个位置可选，第四位有2个位置可选，第六位有1个位置可选，最后一位只有1个数字可选，所以共有4×3×2×1=24种奇数排列方法。所以共有72×24=1728种偶数在奇数位上的排列方法。(3)1和2之间恰好夹有一个奇数，没有偶数。先排列1、2和这个奇数，有3个数字可选，第二位有2个位置可选，第三位只有1个位置可选，共有3×2×1=6种排列方法。然后在这些排列方法中，再排列剩下的4个数字，有4个数字可选，第一位有4个位置可选，第二位有3个位置可选，第三位有2个位置可选，第四位只有1个位置可选，所以共有4×3×2×1=24种排列方法。所以共有6×24=144种符合要求的排列方法。综上所述，共有36+1728+144=1908种排列方法。一条铁路线上原有n个车站，新增加m个车站（m>1），客运车票增加了62种。设现有车站数为n+m，则原有车票数为C(n,2)，现有车票数为C(n+m,2)。根据题意，有C(n+m,2)-C(n,2)=62，化简得到2nm+m^2-m=62，整理得到m(m-1)=62/2，即m(m-1)=31。由于m>1，所以只有m=2时符合条件，此时n=15。因此原有车站数为15，现有车站数为17。1.2.2组合一、课时过关能力提升1.某高校外语系有8名志愿者，其中有5名男生，3名女生。现从中选3人参加某项测试赛的翻译工作。若要求这3人中既有男生，又有女生，则不同的选法共有多少种？解析：从5名男生中选1名，从3名女生中选1名，再从剩下的6名志愿者中选1名，共有$5\times3\times6=90$种选法。答案：C2.氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一。某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法的种数为多少？解析：从7种氨基酸中选出3种，有$C_7^3=35$种选法。对于这3种氨基酸，它们在肽链中的位置可以任意交换，因此对于每次选出的3种氨基酸，有$3!=6$种不同的排列方法。所以，不同的改变方法有$35\times6=210$种。答案：A3.有15盏灯，要求关掉6盏，且相邻的灯不能全关掉，两端的灯不能关掉，则不同的关灯方法有多少种？解析：将9盏灯排成一排，关掉的6盏灯插入9盏亮灯的中间8个空隙中的6个空隙中，有$C_8^6=28$种方法。答案：A4.某科技小组有6名学生，现从中选出3人去参加展览，至少有1名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为多少？解析：设该小组中男生有$x$人，则女生有$6-x$人。根据题意，有$C_6^3-C_x^3=16$，解得$x=4$，因此女生有$6-4=2$人。答案：A5.中小学校车安全引起社会的关注。为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台。则不同的发放方案种数为多少？解析：首先，每个学校至少发放2台校车，因此先将10台校车分别发放给10所学校，然后再将剩下的40台校车依次排列好，共有$C_{40}^9$种排列方法。最后，在这40台校车之间插入9个小旗，将它们分成10个部分，每个部分至少有1台校车。因此，有$C_{39}^9$种插旗方法。因此，不同的发放方案种数为$C_{40}^9\timesC_{39}^9$。答案：D6.已知一组曲线$y=ax^3+bx+1$，其中$a$为2、4、6、8中的任意一个，$b$为1、3、5、7中的任意一个。现从这些曲线中任取两条，它们在$x=1$处的切线相互平行的组数为多少？解析：当$x=1$时，曲线$y=ax^3+bx+1$的斜率为$3a+b$。因此，两条曲线在$x=1$处的切线相互平行，当且仅当它们的斜率相等。因此，所求的组数就等于$a$和$b$的所有可能取值下，$3a+b$相等的不同组合数。$a$的取值有4种，$b$的取值有4种，因此一共有$4\times4=16$种可能的组合。对于每种组合，只要确定了$3a+b$的值，就可以确定一组曲线，因此所求的组数就等于相同的$3a+b$的组数。由于$3a+b$的取值有4种，因此可以分别列出$3a+b$等于4、6、8、10的所有可能的组合，计算出每组中$3a+b$相等的不同组合数，然后将它们相加即可。当$3a+b=4$时，$a=1$，$b=1$，有1种组合；当$3a+b=6$时，$a=1$，$b=3$，$a=2$，$b=0$，有2种组合；当$3a+b=8$时，$a=1$，$b=5$，$a=2$，$b=2$，$a=3$，$b=1$，有3种组合；当$3a+b=10$时，$a=2$，$b=4$，$a=3$，$b=1$，有2种组合。因此，共有$1+2+3+2=8$种组合。答案：B则有：$${5\choose2}{x\choose2}\geq200$$化简得：$$6x^2-400x+525\leq0$$解得：$$25\leqx\leq\frac{175}{3}$$因为素菜的数量必须是整数，所以餐厅至少还需准备26种不同的素菜。答案为26。(1)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息。若所用数字只有0和1，求与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数。解：与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类，与信息0110恰有两个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选2个位置相同，其他2个不同，有C(4,2)=6个信息。第二类，与信息0110恰有一个对应位置上的数字相同，即从4个位置中选1个位置相同，其他3个不同，有C(4,1)=4个信息。第三类，与信息0110没有一个对应位置上的数字相同，即4个位置中对应数字都不同，有C(2,1)×C(2,1)=1个信息。由分类加法计数原理知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为6+4+1=11。因此，答案为11。(2)在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各1名，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生；(3)至少有1名主任参加；(4)既有主任，又有外科医生。解：(1)先选内科医生有C(6,3)种选法，再选外科医生有C(4,2)种选法，故选派方法的种数为C(6,3)×C(4,2)=120。(2)既有内科医生，又有外科医生。正面思考应包括四种情况，内科医生去1人、2人、3人、4人，易得出选派方法的种数为C(6,1)×C(4,4)+C(6,2)×C(4,3)+C(6,3)×C(4,2)+C(6,4)×C(4,1)=196。若从反面考虑，则选派方法的种数为C(10,5)-C(6,0)×C(4,5)-C(6,5)×C(4,0)=196。(3)分两类：一是选1名主任，有C(1,1)×C(5,2)×C(3,2)种方法；二是选2名主任，有C(2,2)×C(4,1)×C(5,2)种方法。故至少有1名主任参加的选派方法的种数为C(1,1)×C(5,2)×C(3,2)+C(2,2)×C(4,1)×C(5,2)=246。若从反面考虑：至少有1名主任参加的选派方法的种数为C(10,5)-C(5,5)×C(4,0)×C(3,0)-C(6,0)×C(4,5)×C(3,0)-C(6,0)×C(4,0)×C(3,5)=246。(4)若选外科主任，则其余可任选，有C(3,1)×C(9,4)种选法。若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余的四人不能全选内科医生，有C(5,1)×C(4,3)-C(3,3)×C(2,1)=16种选法。故既有主任，又有外科医生的选派方法的种数为C(3,1)×C(9,4)+C(5,1)×C(4,3)-C(3,3)×C(2,1)=141。本文讲解了数学中的一些概念和定理，包括选派方法、二项式定理等。其中，选派方法有191种，二项式定理是数学中一个重要的定理，可以用于展开多项式，计算系数等。此外，文章还提供了一些例题和解析，帮助读者更好地理解这些概念和定理。本文介绍了数学中的一些重要概念和定理，包括选派方法和二项式定理。选派方法共有191种，而二项式定理则可以用于多项式展开和系数计算等。此外，文章还提供了一些例题和解析，以帮助读者更好地理解这些概念和定理。1.如果(a+b)^n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中含的项是什么？解：展开式中各项系数之和为2^n，因此有2^n=128，解得n=7。展开式中含有(a+b)^7的所有项，即：(a+b)^7=a^7+7a^6b+21a^5b^2+35a^4b^3+35a^3b^4+21a^2b^5+7ab^6+b^7因此，展开式中含有以上8项。答案为A。二、知识拓展2.什么是杨辉三角？杨辉三角是一种数学图形，它是由数字排成三角形的形式，满足以下性质：（1）每个数等于它上方两数之和；（2）每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，最后变为1。杨辉三角的前几行如下所示：11112113311464115101051杨辉三角中的每个数都是二项式系数的一部分，即C(n,k)表示为杨辉三角中第n行第k个数。3.杨辉三角有哪些性质？（1）杨辉三角中的每个数等于它上方两数之和；（2）杨辉三角中的每行数字左右对称；（3）杨辉三角中的第n行有n个数；（4）杨辉三角中的第n行的第k个数等于C(n-1,k-1)。4.二项式系数有哪些性质？（1）C(n,k)=C(n,n-k)；（2）C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1)；（3）C(n,0)=C(n,n)=1；（4）C(n,k)=C(n-1,k)·(n-k+1)/k。=(x-1)21-k+1，其中k=0,1,2,...,21∴a=T0+1+a1+1x+...+a21+1x21=(x-1)21+1=x21-21x20+210x19-1330x18+5985x17-20349x16+54264x15-116280x14+203490x13-293930x12+352716x11-352716x10+293930x9-203490x8+116280x7-54264x6+20349x5-5985x4+1330x3-210x2+21x-1∴a10+a11=T9+1+T10+1=352716-352716=0答案:010.若(2x+(-1)11+(-1)10)4=a+a1x+…+a4x4，则(a+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为多少？解析：令x=1，得a+a1+a2+a3+a4=(2+(-1)11+(-1)10)4=1。令x=-1，得a-a1+a2-a3+a4=(-2+(-1)11+(-1)10)4=1。所以，(a+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a+a1+a2+a3+a4)·(a-a1+a2-a3+a4)=(2+(-1)11+(-1)10)4·(-2+(-1)11+(-1)10)4=(1+5)·(1-5)=-16。答案：-16。11.若(2x-3y)10=ax10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，求各项系数之和和奇数项系数的和与偶数项系数的和。解析：令x=y=1，得a+a1+a2+…+a10=(2-3)10=(-1)10=1。令x=1，y=-1，得a-a1+a2-…+a10=(2+3)10=5。由上可知，奇数项系数的和为a+a2+a4+…+a10，偶数项系数的和为a1+a3+a5+…+a9。由第一问的结果可知，各项系数之和为1。由a+a1+a2+…+a10=1和a-a1+a2-…+a10=5，可得a+a2+…+a10=3，a1+a3+…+a9=-2。所以，奇数项系数的和为3，偶数项系数的和为-2。答案：