第6章-动力学课件

动力学是机器人控制的基础，本章主要从控制的角度来研究机械手的动力学问题。机械手通常是一种开链式多关节机构，是一种复杂的动力学系统，需要采用系统的分析方法来研究它的动态特性。本章我们运用拉格朗日力学原理来分析机械手的动力学问题，因为拉格朗日方法能以最简单的形式求得非常复杂的系统的动力学方程。本章的主要内容如下：运用拉格朗日力学原理分析和求取两自由度机械手的动力学方程；介绍六自由度机械手动力学方程的求取方法和步骤；

推导出完整的动力学方程，然后根据有效性分析来简化这些方程。6.1引言(Introduction)1动力学是机器人控制的基础，本章主拉格朗日算子L定义为系统的动能K与势能P的差

L=K–P

(6.1)系统的动能和势能可以用任何能使问题简化的坐标系统来表示，并不一定要使用笛卡尔坐标。动力学方程通常表述为其中，qi是表示动能和势能的坐标值，是速度，而Fi是对应的力或力矩，Fi是力还是力矩，这取决于qi是直线坐标还是角度坐标。这些力、力矩和坐标分别称为广义力、广义力矩和广义坐标。(6.2)

6.2拉格朗日力学——一个简例(LagrangianMechanics—ASimpleExample)2拉格朗日算子L定义为系统的动能

为了说明问题，我们看一个具体例子，假定有如图6.1所示的两连杆的机械手，两个连杆的质量分别为m1、m2，由连杆的端部质量代表，两个连杆的长度分别为d1、d2，机械手直接悬挂在加速度为g的重力场中，广义坐标为θ1和θ2。m2d1d2m1xy图6.1两连杆的机械手3为了说明问题，我们看一个具体例子，假定有如图6.1动能的一般表达式为，质量m1的动能可直接写出

势能与质量的垂直高度有关，高度用y坐标表示，于是势能可直接写出

对于质量m2，由图6.1，我们先写出直角坐标位置表达式，然后求微分，以便得到速度(6.4)(6.3)(6.5)(6.6)6.2.1动能和势能(TheKineticandPotentialEnergy)4动能的一般表达式为速度的直角坐标分量为

速度平方的值为(6.8)(6.7)(6.9)5速度的直角坐标分量为速度平方的值为(6.8)(6.7)(6从而动能为(6.10)质量的高度由式(6.6)表示，从而势能就是(6.11)6从而动能为(6.10)质量的高度由式(6.6)表示，从而势能拉格朗日算子L=K–P可根据式(6.3)、(6.4)、(6.10)和(6.11)求得(6.12)6.2.2拉格朗日算子(TheLagrangian)7拉格朗日算子L=K–P可根据式(6.3)、(6.为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进行微分（6.13）（6.14）（6.15）

6.2.3动力学方程(TheDynamicsEquations)8为了求得动力学方程，我们现在根据式(6.2)对拉格朗日算子进根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关节1的力矩（6.16）9根据式(6.2)，把式(6.14)与(6.15)相减就得到关(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子对求偏微分，进而得到关节2的力矩方程10(6.17)(6.18)(6.19)用拉格朗日算子对于是关节2的力矩为（6.20）将式(6.16)和(6.20）重写为如下形式（6.21）（6.22）11于是关节2的力矩为（6.20）将式(6.16)和(6.20

在方程（6.21）和（6.22）中各项系数D的含义如下：Dii

—关节i的等效惯量（Effectiveinertia），关节i的加速度使关节i产生的力矩Dij

—关节i与关节j之间的耦合惯量（Couplinginertia）关节i或关节j的加速度分别使关节j或i产生的力矩和Dijj

—由关节j的速度产生的作用在关节i上的向心力系数（Centripetalforce）Dijk—作用在关节i上的复合向心力（哥氏力Coriolisforce）的组合项系数，这是关节j和关节k的速度产生的结果Di—作用在关节i上的重力（Gravity）12在方程（6.21）和（6.22）中各项系数

把方程(6.16)、(6.20)与(6.21)、(6.22)比较，我们就得到各项系数的值：等效惯量 D11=[(m1+m2)d12+m2d22+2m2d1d2cos(θ2)](6.23) D22=m2d22(6.24)耦合惯量 D12=m2d22+m2d1d2cos(θ2)(6.25)向心加速度系数 D111=0(6.26) D122=-m2d1d2sin(θ2)(6.27) D211=m2d1d2sin(θ2)(6.28) D222=0(6.29)13把方程(6.16)、(6.20)与(6.2哥氏加速度系数D112=D121=-m2d1d2sin(θ2)(6.30)D212=D221=0(6.31)重力项为D1=(m1+m2)gd1Sin(θ1)+m2gd2Sin(θ1+θ2) (6.32)D2=m2gd2Sin(θ1+θ2)(6.33)14哥氏加速度系数14下面给两连杆机械手赋予具体数值，并且对于静止状态（）和在无重力环境中的机械手求解方程(6.21)和(6.22)。求解在下列两种条件下进行:关节2处于锁定状态（）；关节2处于自由状态(T2=0)。在第一种条件下,方程(6.21)和(6.22)简化为

在第二种条件下，T2=0，我们可以由方程(6.22)解出，再把它代入方程(6.21)，得到T1于是代入方程(6.21)有

(6.36)(6.35)(6.34)15下面给两连杆机械手赋予具体数值，

现在，取定d1=d2=1，m1=2，而对于三个不同的m2值，分别求出各个系数：m2=1，表示机械手无负载情况；m2=4，表示有负载；m2=100，表示位于外太空(无重力环境)的机械手的负载。在外太空，没有重力负载，允许非常大的工作负载。根据求得的系数以及方程(6.34)和(6.35)，分别对应关节2的四种不同的锁定状态IL和自由状态If，计算关节1的惯量如下表所示（表中IL表示锁定状态，If表示自由状态）。表6.1m1=2,m2=1,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ2162162

041143-120122

041143θ216现在，取定d1=d2=1，m1=表6.2m1=2,m2=4,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ211884182

01044106-120422

01044106表6.3m1=2,m2=100,d1=1,d2=1D11D12D22ILIf

Cosθ214022001004022

0202100100202102-12010022

0202100100202102θ2θ217表6.2m1=2,m2=4,d1=1上面三个表格中，靠右两列表明关节1的等效惯量。表6.1说明，对于无负载的机械手来说，θ2从0°变为180°，在锁定状态情况下，等效惯量IL的变化为3:1。同时，在θ2＝0°时，锁定状态（IL）和自由状态（If）等效惯量的变化也为3:1。从表6.2可以看出，对于加载机械手，θ2从0°变为180°，在

锁定状态情况下，等效惯量IL的变化为9:1。而自由状态等效惯量If的变化为3:1。对于表6.3所示的负载为100的外太空机械手，在不同状态下惯量的变化竟为201:1。这些关联的变化情况对于机械手的控制问题将有重要的影响。18上面三个表格中，靠右两列表明关节1的等效惯量。6.3机械手动力学方程(TheManipulatorDynamicsEquation)推导机械手的动力学方程可按下述五个步骤进行首先计算机械手任意连杆上任意一点的速度；再计算它的动能K

；然后推导势能P

；形成拉格朗日算子L=K－P

；对拉格朗日算子进行微分得到动力学方程。196.3机械手动力学方程(TheManipulat假定机械手的连杆i上有一个点ir，它在基坐标中的位置为于是，它的速度就是速度的平方或者用矩阵形式表为（6.37）（6.39）（6.38）6.3.1机械手上一点的速度(TheVelocityofaPointontheManipulator)z0ziyxiryixiTi·20假定机械手的连杆i上有一个点ir，它在基坐标中的位置为

根据方程(6.38)可得（6.40）21根据方程(6.38)可得（6.40）21

在连杆i上ir

处，质量为dm的质点动能是于是，连杆i的动能就是(6.42)(6.41)6.3.2动能(TheKineticEnergy)22在连杆i上ir处，质量为dm的质点动能是于是，式(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定

（6.43）òòòòòòòòòòòòòòòòòúúúúúúúúûùêêêêêêêêëé==iiiiiiiiiiiiiiiiilinklinklinkilinkilinkilinkilinkilinkiilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkilinkiilinkiilinkiTiiidmzdmydmxdmzdmdmzzdmyzdmxydmzdmydmyydmxxdmzdmxydmxdmxdmrrJ22223式(6.42)中的积分称为伪惯量矩阵，可由下式确定（6.4回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为24回顾一下转动惯量，惯量叉积和物体的一阶动量的定义为24从而

(6.46)

(6.44)

(6.45)

25从而(6.46)(6.44)(6.45)25

于是，Ji就能表示为（6.47）机械手的总动能就是（6.48）26于是，Ji就能表示为（6.47）机械手的总动能就是（

上面这个方程表示了机械手结构的动能，然而，动能还有另外一个重要组成部分，即各个关节的传动机构的动能（对非直接驱动机械手而言）。我们通过传动机构的惯量以及有关的关节速度表示这部分动能

把Trace运算和求和运算相互交换一下，再加上传动机构的动能部分，最后得到机械手的总动能为在棱柱形滑动关节的情况下，Ia成为一个等价质量。(6.49)27上面这个方程表示了机械手结构的动能，然而

在重力场g中，一个物体的质量为m，位于某个参考零点之上的高度为h，它的势能为

P=mgh

(6.50)

如果由重力引起的加速度表示为矢量g，物体质心的位置表为矢量，那么式(6.50)就变为

例如，在重力场中，g=0i+0j–32.2k，=10i+20j+30k

，位于r处的质量m就有势能966n·m。(6.51)6.3.3势能(ThePotentialEnergy)28在重力场g中，一个物体的质量为m，位于某个参考零

如果连杆i的质心用矢量表示，它相对于坐标系Ti的势能为其中从而，机械手的总势能就是(6.52)(6.54)(6.53)29如果连杆i的质心用矢量表示，它相对于坐标由式(6.49)和(6.54)得到的K和P，可计算拉格朗日算子

L=K-P应用欧拉—拉格朗日方程

我们就可求得动力学方程。(6.55)(6.56)

6.3.4拉格朗日算子(TheLagrangian)30由式(6.49)和(6.54)得到的K和P，可计算拉格

先求方程(6.56)第一项中的偏微分

把上式第二项中的脚标j

变为k，把第一项中Trace运算换成(6.57)我们就得到(6.58)6.3.5动力学方程(TheDynamicsEquations)31先求方程(6.56)第一项中的偏微分把上式第二项中的脚

由于(p>i时)，最后得到现在求式(6.59)对于时间t的微分

(6.59)(6.60)32由于(p>i时)，最后得到现在欧拉—拉格朗日方程的第二项是

把式(6.61)第二项中求和运算的脚标j换成k

，再把第二项与第一项合并，就得到(6