牛顿–莱布尼茨公式课件

第六章定积分及其应用

1第六章定积分及其应用

1一、定积分问题举例二、定积分的定义§1

定积分的概念2一、定积分问题举例二、定积分的定义§1定积分的概念一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积3一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线解决步骤:1)

大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)

常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得4解决步骤:1)大化小.在区间[a,b]中任意插入3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积53)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积52.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n个小段过的路程为62.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限73)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:解决问题二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称此极限I为函数在区间上的定积分,即此时称f(x)在[a,b]上可积.记作8二、定积分定义任一种分法任取总趋于确定的极限I,则称积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即9积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和10三、定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面四、可积的充分条件:定理.11四、可积的充分条件:定理.11

作业P136

1-812作业P1361-812§2

定积分的性质(k为常数)合理规定性质一性质二性质三13§2定积分的性质(k为常数)合理规定性质一性质二性质三性质四若在[a,b]上则性质五.若在[a,b]上则14性质四若在[a,b]上则性质五.若在[a,性质六（估值定理）设则性质七（定积分中值定理）则至少存在一点使得15性质六（估值定理）设则性质七（定积分中值定理）则至少存在一点内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质16内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性作业

p1409.12

第二节17作业第二节17一、积分上限的函数及其导数二、牛顿–莱布尼茨公式§3定积分的基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）18一、积分上限的函数及其导数二、牛顿–莱布尼茨公式一、变上限的定积分则变上限函数证:则有定理一.

若19一、变上限的定积分则变上限函数证:则有定理一.若19说明:1)定理一证明了连续函数的原函数是存在的.2)其他变限积分求导:所以也可以把定理一叫做原函数存在定理.20说明:1)定理一证明了连续函数的原函数是存在的.2)例1求解：例2求解：21例1求解：例2求解：21二、基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)

证:根据定理1,故因此得记作定理二.函数,则或22二、基本公式(牛顿-莱布尼茨公式)证:根据定理1,例3.计算解:例4.计算正弦曲线的面积.解:23例3.计算解:例4.计算正弦曲线的面积.解内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿–莱布尼茨公式2.变限积分求导公式24内容小结则有1.微积分基本公式积分中值定理微分中值定理牛顿作业第三节P14414;17;18;20；21；24;27;25作业第三节P14414;17;18;二、定积分的分部积分法§4

定积分的换元法

和分部积分法

不定积分一、定积分的变量置换法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法26二、定积分的分部积分法§4定积分的换元法

一、定积分的变量置换法

定理.设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则27一、定积分的变量置换法定理.设函数单值函数满足:1)2)说明:1)当

<

,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限28说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.例1.计算解:令则∴原式=且29例1.计算解:令则∴原式=且29例2.计算解:令则∴原式=且30例2.计算解:令则∴原式=且30例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零31例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零31例4.计算解：因为是奇函数，积分区间对称原点，所以32例4.计算解：因为是奇函数，积分区间对称原点，所以32二、定积分的分部积分法则证:33二、定积分的分部积分法则证:33例5.计算解:原式=34例5.计算解:原式=34内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限思考与练习1.提示:令则35内容小结基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限思考与练习2.设解法1.解法2.对已知等式两边求导,思考:若改题为提示:两边求导,得得362.设解法1.解法2.对已知等式两边求导,思考:若改题为提3.设求解:(分部积分)373.设求解:(分部积分)37作业P14933;34;38;40;

44;50;51;52;习题课38作业P14933;34;38;40;三、旋转体的体积§5定积分在几何学上的应用

二、直角坐标系中的平面图形的面积一、概述39三、旋转体的体积§5定积分在几何学上的应用二、直角坐标一、概述

用定积分解决面积问题时的方法和步骤。

总的思路：

1、将区间[a,b]分成n个子区间；

所求之曲边梯形A的面积为每个子区间小曲边梯形的面积之和，即

40一、概述用定积分解决面积问题时的方法和步骤。总的思路：1、2、第i个子区间上取的近似值3、得总和4、取极限得412、第i个子区间上取的近似值3、得总和4、取极限得41实际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题，具体做法（微元法）如下：设所求量为Q1、在区间[a,b]内任取一个子区间，用[x,x+dx]表示,在此区间上的部分量记为即即2、求和、取极限后，得42实际问题中有很多其他的几何量和物理量的类似问题二、直角坐标系中的平面图形的面积

设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为43二、直角坐标系中的平面图形的面积

设曲线与直线及x轴所围例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:由得交点44例1.计算两条抛物线在第一象限所围图形的面积.解:例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有45例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形三、旋转体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,46三、旋转体的体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有47特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考例4计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1

利用直角坐标方程则(利用对称性)48例4计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积方法2

利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积49方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半内容小结1.直角坐标系中的平面图形的面积2.已知平行截面面积函数A(x)的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴:(柱壳法)50内容小结1.直角坐标系中的平面图形的面积2.已知平行截面面思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.51思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长作业P15553;55;56;57;58;61;65;

补充题:设有曲线过原点作其切线,求由此曲线、切线及x轴围成的平面图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.52作业P15553;55;56;§6定积分在经济中的应用一、由边际函数求原经济函数（一）需求函数（二）总成本函数（三）总收入函数（四）利润函数

二、由边际函数求最优问题

三、在其它经济问题中的应用53§6定积分在经济中的应用一、由边际函数求原经济函数53（一）需求函数由第一章知,需求量Q是价格P的函数一般地,价格时,需求量最大,为即若已知边际需求为则总需求函数为设最大需求量其中,积分常数可由条件确定.或用变上限的定积分表示为54（一）需求函数由第一章知,需求量Q是价格P的函数一般地,价格例1已知对某种商品的需求量是价格的函数，且边际需求该商品的最大需求量为80求需求量与价格的函数关系.解由边际需求的不定积分公式，可得需求量为积分常数).代入于是需求量与价格的函数关系是时，(即55例1已知对某种商品的需求量是价格的函数，且边际需求该商品的最（二）总成本函数设产量为时的边际成本为固定成本为则产量为时的总成本函数为其中,积分常数由初始条件确定.或者变上限的定积分公式直接求得总成本函数其中,为固定成本,为变动成本.56（二）总成本函数设产量为时的边际成本为固定成本为则产量为时的例2若一企业生产某产品的边际成本是产量的函数固定成本求总成本函数.解由不定积分公式得为积分常数)由固定成本即时，代入上式得于是总成本函数为57例2若一企业生产某产品的边际成本是产量的函数固定成本求总成本（三）总收入函数设产销量为时的边际收入为则产销量为时的总收入函数其中,积分常数由确定定产销量为0时总收入为0).或由变上限的定积分公式直接求得总收入函数(一般地假可由不定积分公式得58（三）总收入函数设产销量为时的边际收入为则产销量为时的总收入例3已知生产某产品单位时的边际收入为(元/单位)，求生产40单位时的总收入及平均收入，并求再增加10个单位时所增加的总收入.解由变上限定积分公式直接求出(元)平均收入(元)在生产40单位后再生产10单位所增加的总收入可由增量公式求得59例3已知生产某产品单位时的边际收入为(元/单位)，求生产40（四）利润函数设某产品边际收入为边际成本总收入为总成本为为固定成本)(边际利润为利润则60（四）利润函数设某产品边际收入为边际成本总收入为总成本为为固即其中,称为产销量为时的毛利,减去固定成本即为纯利.毛利61即其中,称为产销量为时的毛利,减去固定成本即为纯利.毛利61例4已知某产品的边际收入边际成本固定成本为求当5时的毛利和纯利.解法一由边际利润当时的纯利为可求得时的毛利为62例4已知某产品的边际收入边际成本固定成本为求当5时的毛利和纯解法二总收入总成本纯利63解法二总收入总成本纯利63二、由边际函数求最优问题64二、由边际函数求最优问题64例5某企业生产吨产品时边际成本为(元/吨)且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低?解首先求出成本函数.得平均成本函数为65例5某企业生产吨产品时边际成本为(元/吨)且固定成本为900得平均成本函数为令舍去).因此，仅有一个驻点66得平均成本函数为令舍去).因此，仅有一个驻点66三、在其它经济问题中的应用67三、在其它经济问题中的应用67例6某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由表示，试求该国的基尼系数.解如图，基尼系数68例6某