非线性回归模型的线性化课件

非线性回归模型的线性化非线性回归模型的线性化1

有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的，但可以通过适当的变换，转化为线性模型，然后利用线性回归模型的估计与检验方法进行处理。称此类模型为可线性化的非线性模型。对于那些不可线性化的非线性回归模型，例如是无法用最小二乘法估计参数的。可采用非线性方法进行估计。有时候变量之间的关系是非线性的。虽然其形式是非线性的2(1)幂函数模型(全对数模型)(b>1)

(0<b<1)

(b=-1)

(b<-1)

(0>b>-1)

b取不同值的图形分别见上图。对上式等号两侧同取对数，得

Lnyt=Lna+bLnxt+ut

令yt*=Lnyt,a*=Lna,xt*=Lnxt,则上式表示为

yt*=a*+bxt*+ut

变量yt*和xt*之间已成线性关系。幂函数模型也称作全对数模型。(1)幂函数模型(全对数模型)(b>1)(0<b3全对数模型的特点是模型弹性系数b为常数。Lnyt=Lna+bLnxt+ut回归系数b是被解释变量与解释变量的变化率的比，所以称b为弹性系数。b用来测量当变化1%时，变化百分之多少。边际系数是全对数模型的特点是模型弹性系数b为常数。Lnyt=Lna4Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）

根据新古典增长理论：，称模型为规模报酬不变型；，称模型为规模报酬递增型；，称模型为规模报酬递减型。Cobb-Douglas生产函数（二元幂函数）根据新古典增5所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。对于线性模型，，1和2称作边际系数。线性模型中的回归系数（边际系数）是对数线性回归模型中弹性系数的一个分量。以1为例所以便于在不同变量之间比较相应弹性系数的大小。对于线性模型，6应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产效率。利用台湾省1958-1972年农业生产总值yt、劳动力投入xt1、资本投入xt2的数据估计模型如下：此生产函数属规模报酬递增函数。当劳动力和资本投入都增加1%时，产出增加近2%。应用柯布-道格拉斯生产函数模型评价台湾省农业生产此生产函数属7(2)指数函数模型(半对数模型)

上式等号两侧同取自然对数，得

Lnyt=Lna+bxt+ut

令Lnyt=yt*,Lna=a*,则

yt*=a*+bxt+ut

变量yt*和xt已变换成为线性关系。其中ut表示随机误差项。(2)指数函数模型(半对数模型)上式等号两侧同取自然对数8半对数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。Lnyt=Lna+bxt+ut弹性系数是边际系数是半对数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。Lnyt=Ln9回归系数是近似等于单位时间内的增长率。半对数模型的一个重要应用是估计经济变量的增长率。把Lnyt=Lna+bxt+ut中的换成时间变量t。Lnyt=Lna+bt+utLnyt=Lna+bt+ut称为增长模型。回归系数是近似等于单位时间内的增长率。半对数模型的一10中国税收增长的定量分析1990-2006年中国税收（Tax，亿元）数据见中国税收增长的定量分析.wf1因为解释变量是时间t，所以回归系数0.1589近似测量的是中国税收的年增长率，即1990-2006年中国税收的年平均增长率近似是15.89%。中国税收增长的定量分析1990-2006年中国税收（Tax，11

(3)对数函数模型

yt=a+bLnxt+ut,(b>0)yt=a+bLnxt+ut,(b<0)令xt*=Lnxt,则

yt=a+bxt*+ut

变量yt和xt*已变换成为线性关系。(3)对数函数模型yt=a+bLnxt+12对数函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a+bLnxt+ut弹性系数是边际系数是对数函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a+13

28个省市自治区1985

2005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系28个省市自治区1985

2005年城镇居民人均食品支出（food）与人均收入（income）的关系28个省市自治区19852005年城镇居民人均食品支出14用数据估计模型，得回归结果如下：由上式，导函数是用数据估计模型，得回归结果如下：由上式，导函数是15弹性函数。说明人均食品支出对人均收入的弹性系数是随着城镇人均收入的增加而减少的。当城镇人均收入1000元水平时，人均收入增加1%，人均食品支出增加0.8986%；当城镇人均收入16000元水平时，人均食品支出对人均收入的弹性系数下降到0.6412%。城镇人均食品支出对人均收入的弹性系数随着人均收入的提高而递减。弹性函数。说明人均食品16(4)双曲线函数模型1/yt=a+b/xt

+ut

令yt*=1/yt,xt*=1/xt，得yt*=a+bxt*+ut

已变换为线性回归模型。双曲线函数还有另一种表达方式，yt=a+b/xt+ut

令xt*=1/xt，得yt=a+bxt*+ut上式已变换成线性回归模型。yt=a+b/xt+utb>01/yt=a+b/xt

+utb>0(4)双曲线函数模型1/yt=a+b/xt+u17双曲线函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a+b/xt+ut弹性系数是边际系数是双曲线函数模型的弹性系数和边际系数都不是常数。yt=a18炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系

双曲线线性化炼钢厂钢包容积Y与钢包使用次数X的关系双曲线线性化19

双倒数线性化对数线性化双倒数线性化对数线性化20(5)多项式函数模型(1)一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+b3xt3+ut

令xt1=xt，xt2=xt2，xt3=xt3，上式变为yt=b0+b1xt1+b2xt2+b3xt3+ut

这是一个三元线性回归模型。如经济学中的总成本与产品产量曲线与左图相似。(b3>0)

(b3<0)(5)多项式函数模型(1)一种多项式方程的表达形式是21(5)多项式方程模型(2)

(b2>0)(b2<0)另一种多项式方程的表达形式是yt=b0+b1xt+b2xt2+ut

令xt1=xt，x

t2=xt2，上式线性化为，yt=b0+b1xt1+b2xt2+ut

如经济学中的边际成本曲线、平均成本曲线与左图相似。(5)多项式方程模型(2)(b2>0)22厦门市贷款总额loan与GDP的关系分析(单位:亿元)从散点图看，用多项式方程拟合比较合理。Loant=

0+

1GDPt+

2GDPt2+

3GDPt3+ut厦门市贷款总额loan与GDP的关系分析(单位:亿元)从散点23(6)生长曲线(logistic)模型一般f(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn，常见形式为f(t)=a0-a

ta>0a<0(6)生长曲线(logistic)模型一般f(t)=24

美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生长，得到了上述数学模型。生长模型（或逻辑斯谛曲线，Pearl-Reed曲线）常用于描述有机体生长发育过程。其中k和0分别为yt的上限和下限。曲线有拐点，曲线的上下两部分对称于拐点。美国人口统计学家Pearl和Reed广泛研究了有机体的生25

为能运用最小二乘法估计参数a,b，必须事先估计出生长曲线上极限值k（根据所研究的问题，k值是可以事先给定的）。线性化过程如下。当k给出时，作如下变换，此时可用最小二乘法估计b*和a。为能运用最小二乘法估计参数a,b，必须事先估计出26

yt存活率(%)t土埋月数100.0093.0192.3288.0384.482.0548.4641.0715.085.293.5101.3110.512钉螺存活率曲线（生长曲线模型）把一批钉螺埋入土中，以后每隔一个月取出部分钉螺，检测存活个数，计算存活率。数据见表。设定yt的上渐近极限值k=101（因为已有观测值yt

=100，所以令k=101更好些。），得估计结果如下：yt存活率(%)t土埋月数100.0093.019227估计式是：

)1101(ln-Ùty=-4.3108+0.7653

t

(-14.8)(18.5)R2=0.97

则逻辑函数的估计结果是ttey7653.031.41101ˆ+-+=估计式是：)1101(ln-Ùty=-4.3108+28点预测：当t=6.5月时，

钉螺存活率样本值与拟合值。

点预测：当t=6.5月时，钉螺存活率样本值与拟合值。29⑺龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提出把该曲线作为控制人口增长的一种数学模型，此模型可用来描述一项新技术，一种新产品的发展过程。⑺龚伯斯（Gompertz）曲线英国统计学家和数学家最初提30曲线的上限和下限分别为k和0。曲线有拐点，坐标为,但曲线不对称于拐点。一般情形，上限值k可事先估计，有了k值，龚伯斯曲线才可以用最小二乘法估计参数。曲线的上限和下限分别为k和0。曲线有拐点，坐标为31线性化过程如下：当k给定时，上式可用最小二乘法估计b*和a。线性化过程如下：当k给定时，上式可用最小二乘法估计b*和32某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低与硫酸中金属杂质的含量太高有关。影响透明度的主要金属杂质是铁、钙、铅、镁等。通过正交试验的方法发现铁是影响硫酸透明度的最主要原因。测量了47个样本，得硫酸透明度（y）与铁杂质含量（x）的散点图如下：案例:硫酸透明度与铁杂质含量的关系

某硫酸厂生产的硫酸的透明度一直达不到优质指标。经分析透明度低33

（1）y=121.59-0.91x（2）1/y=0.069-2.37(1/x)