二阶常系数齐次线性微分方程课件

二阶线性常系数齐次微分方程

二阶线性常系数齐次微分方程

1任务要点1、二阶线性常系数齐次微分方程2、微分方程的特征方程3、二阶线性常系数齐次微分方程通解的求解步骤任务要点1、二阶线性常系数齐次微分方程2、微分方程的特征方程2教学过程课前准备概念学习知识推导结论形成巩固练习小组成果展示课后作业教学过程课前准备概念学习知识推导结论形成巩固练习小组成果展示3课前准备1、一元二次方程的求解2、基本初等函数的导数公式3、二阶线性微分方程解的结构定理课前准备1、一元二次方程的求解2、基本初等函数的导数公式3、4求解下列一元二次方程解答解答解答求解下列一元二次方程解答解答解答5二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件6二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件7二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件8二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件9二阶线性微分方程解的结构定理

如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性无关的解

那么y

C1y1

C2y2就是微分方程的通解

二阶线性微分方程解的结构定理

如果y1、y2是二阶线性微分方10方程为二阶线性常系数微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程概念学习p,q是常数,f(x)称为自由项.方程为二阶线性常系数微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程概念11r2

pr

q

0叫做微分方程y

py

qy

0的特征方程.特征方程及其根

特征方程的求根公式为r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征12将y

erx代入方程y

py

qy

0得(r2

pr

q)erx

0

分析

考虑到当y

,y

,y为同类函数时

有可能使y

py

qy恒等于零

而函数erx具有这种性质

所以猜想erx是方程的解

二阶齐次线性方程通解的求法由此可见

只要r满足代数方程r2

pr

q

0

函数y

erx就是微分方程的解

将yerx代入方程ypyqy0得13(1)当时,

方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为设r1,r2是特征方程的两个根.(2)当时,

特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解(1)当时,方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的14设另一特解为,(u(x)待定).是特征方程的重根取u=x,得因此原方程的通解为得:代入原微分方程设另一特解为,(u(x)待定).是特征方程的重根取u15(3)当时,

方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解:因此原方程的通解为(3)当时,方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利16有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)下页特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r1,17第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0

第二步求出特征方程的两个根r1、r2

第三步根据特征方程的两个根的不同情况,写出微分方程的通解.

求y

+py

+qy=0的通解的步骤:

下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

第一步写出微分方程的特征方程求y+py+qy=0的18下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况有两个相等的实根

r1

r2

因此微分方程的通解为y

C1e

x

C2e2x

例1

求微分方程y

y2y

0的通解

解微分方程的特征方程为r2

r20

特征方程有两个不相等的实根r1

1

r22即(r

1)(r2)

0

下页有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r119下页有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根

r1

r2

特征方程有两个相等的实根r1

r2

1

例2

求方程y

2y

y

0的通解

解微分方程的特征方程为r2

2r

1

0

即(r

1)2

0

因此微分方程的通解为y

C1e

x

C2xe

x

即y

(C1

C2x)e

x

方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况下页有两个不相等的实根r1、r2有一对共轭复根r120下页通解形式r24r80

特征方程的根为r1

2

2i

r2

2

2i

是一对共轭复根

因此微分方程的通解为y

e2x(C1cos2x

C2sin2x)

例3

求微分方程y4y8y

0的通解

有两个不相等的实根

r1、r2

有一对共轭复根

r1,2

i

y

e

x(C1cos

x

C2sin

x)特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根

r1

r2

解微分方程的特征方程为方程y

py

qy

0的通解方程r2

pr

q

0的根的情况下页通解形式r24r8021练习巩固求下列微分方程的通解练习巩固求下列微分方程的通解22小组成果展示小组成果展示总结反馈3.在学习方法上你有哪些体会？2.你会解决哪些新问题？