七年级数学上册专题04 有理数运算中的规律探究（解析版）

/专题04有理数运算中的规律探究1．观察下列等式：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：_______________(2)用含有n的式子表示第n个等式：（n为正整数）_____________(3)求的值．【答案】(1)，(2)，(3)【解析】【分析】（1）根据所给的等式的形式求解即可；（2）根据所给的等式，进行总结可得出规律；（3）利用（2）中的规律进行求解即可．(1)解：观察等式找到规律，第5个等式为：故答案为：，(2)解：第1个等式：第2个等式：第3个等式：第4个等式：第5个等式：……第n个等式：故答案为：，(3)解：+…【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律并灵活运用．2．先阅读下列式子的变形规律：；；；然后再解答下列问题：【注：第（1）小题直接写结果，不用写过程】(1)类比计算：______，______，归纳猜想：若为正整数，那么猜想______．(2)知识运用，选用上面的知识计算的结果．(3)知识拓展：试着写出的结果．【答案】(1)；；(2)(3)【解析】【分析】（1）根据题意分解形式求解即可；（2）根据式子规律求解即可；（3）将分解成的形式，其余各式比照该分解形式进行分解，然后求和计算即可．(1)解：由题意知故答案为：；；．(2)解：(3)解：【点睛】本题考查了数字类规律的探究．解题的关键在于概括出分解运算规律．3．（1）观察下列各式：根据你发现的规律回答下列问题：①的个位数字是___________；的个位数字是___________；②的个位数字是___________；的个位数字是___________；（2）自主探究回答问题：①的个位数字是___________，的个位数字是___________；②的个位数字是___________，的个位数字是___________．（3）若n是自然数，则的个位上的数字（

）A．恒为0

B．有时为0，有时非0

C．与n的末位数字相同

D．无法确定【答案】（1）①9；7

②7；7

（2）①3；3

②8；8

（3）A【解析】【分析】（1）根据已知式子可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（2）可以先列出7的乘方及2的乘方的式子，可以得到末尾数字4个一循环，据此解得即可；（3）根据（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同即可得出答案．【详解】解：（1）①3的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是9；13的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是7；故答案为：9；7；②由①可知尾号为3的数的乘方的个位数字依次是3，9，7，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是7，的个位数字是7；故答案为：7；7；（2）①7的乘方的个位数字依次是7，9，3，1，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是3，的个位数字是3故答案为：3；3②2的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环52的乘方的个位数字依次是2，4，8，6，以此4个数为一个循环依次进行循环的个位数字是8，的个位数字是8故答案为：8；8（3）由（1）（2）中的结论可知与个位上的数字相同的个位上的数字恒为0故选A．【点睛】本题考查数字的变化规律，找出数字之间的规律是解题的关键．4．观察下列各式：，而；，而；，而；(1)猜想并填空：______________；(2)根据以上规律填空：______________；(3)求解：．【答案】(1)，225(2)，(3)29700【解析】【分析】观察题中一系列等式发现，从1开始的连续正整数的立方和等于这几个连续正整数和的平方，据些规律来求解．（1）根据上述规律填空即可求解；（2）根据上述规律填空，然后把变为个相乘来求解；（3）对所求的式子前面加上1到15的立方和，然后根据上述规律分别求出1到15的立方和与16到20的立方和，再求出两数相减即可求解．(1)解：由题意可知：．故答案为：，225；(2)解：．故答案为：，；(3)解：故答案为：29700．【点睛】本题考查了探究数字规律，主要要求学生综合运用观察、想象、归纳、推理概括等思维方式，运用总结的规律解决问题的能力．找出规律是解答关键．5．爱读书的乐乐在读一本古书典籍上有这么一段记载：相传大禹治水时，“洛水”中出现了一个神龟，其背上有美妙的图案，史称“洛书”．用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方，三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数，且幻和恰好等于中心数的3倍．如图1，是由1、2、3，4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2所示，则幻和＝______；(2)若b＝4，c＝6，求a的值；(3)通过研究问题（1）和（2），利用你发现的规律，将5，7，-5，3，9，-1，11，-3，1这九个数字分别填入图3的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等．【答案】(1)-6(2)8(3)图形见解析(答案不唯一)【解析】【分析】(1)根据幻和等于九宫格中最中心数的3倍即可得答案；(2)根据b=4先求出第二行第三列的数字，根据c=6求出第一行第三列的数字，根据对角线求出第一行第一列的数字，最后根据第一行三个数字之和等于幻和即可求解；(3)根据九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍先求出中心数为3，幻和为9，进一步将数据分成5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，按照此条件分组将数据填入九宫格中即可．(1)解：由题意可知：幻和等于九宫格中最中心数的3倍，∴图2中幻和=-2×3=-6．(2)解：由(1)知幻和为-6，当b＝4，c＝6时：第二行第三列的数字为：-6-b-(-2)=-6-4+2=-8，第一行第三列的数字为：-6-(-8)-c=-6+8-6=-4，根据对角线可知：第一行第一列的数字为：-6-(-2)-6=-10，∴a=-6-(-10)-(-4)=-6+10+4=8．(3)解：将图3中的九宫格分别标记为A~I，如下图所示：由于九宫格中横行、纵向的数字之和均相等，其和叫做幻和，∴九宫格中所有数字相加，其和为幻和的3倍，∴幻和=(5+7-5+3+9-1+11-3+1)÷3=9，又幻和为九宫格中最中心数的3倍，∴最中心的E代表的数为3，∵对角线、横行、纵向的数字之和是幻和的3倍，∴A+I=6，B+H=6，C+G=6，D+F=6，故5与1一组，7与-1一组，-5与11一组，9与-3一组，只需要满足此条件写出来九宫格必然满足题目要求，取A=5、B=7时，此时I=1，H=-1，G=9，C=-3，D=-5，F=11，如下图所示(答案不唯一)：【点睛】本题主要考查数字的变化规律，读懂题意，解题的关键是掌握幻方的定义及幻和与中心数的关系即可．6．探究规律，完成相关题目．将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”．中国古代称“幻方”为“河图”“洛书”等．如图所示的三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的方格中得到的，其每一行，每一列，每一条对角线上的三个数字之和都相等．（1）设下面的三阶幻方中间的数字是（其中为正整数），请用含的代数式将下面的幻方填充完整；________________________（2）若设（1）幻方中9个数的和为，则与中间的数字之间的数量关系为______；（3）现要用9个数：－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下面的方格中．【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由第列的三个代数式的和为再利用每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等逐一填好其余的空格，即可得到答案；（2）由每行，每列，每一条对角线上的三个代数式之和相等，可得从而可得答案；（3）由（2）的规律先确定最中间的数据把－40，－30，－20，－10，0，10，20，30，40按从小到大的顺序排列，再把第个数据放在四角的位置，再根据每行，每列，每一条对角线上的三个数之和相等，填好其余空格即可．【详解】解：（1）（2）由每行每列及对角线上的三个代数式的和相等可得：故答案为：（3）幻方如图所示（答案不唯一）：10－4030200－20－3040－10【点睛】本题考查的是数或代数式的排列的规律的探究，有理数的加减运算，整式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．7．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化(1)平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是A.（＋3）＋（＋2）＝＋5；B．（＋3）＋（﹣2）＝＋1；C．（﹣3）﹣（＋2）＝﹣5；D．（﹣3）＋（＋2）＝﹣1②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是．(2)翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2017的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2018（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示B点表示．③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为．（用含有a，b的式子表示）【答案】(1)①D；②﹣1009(2)①﹣2015；②﹣1008，1010；③【解析】【分析】（1）①根据有理数的加法法则即可判断；②探究规律，利用规律即可解决问题；（2）①根据对称中心是1，即可解决问题；②由对称中心是1，AB＝2018，可知A点是1左边距1为1009个单位的点表示的数，B点是1右边距1为1009个单位的点表示的数，即可求出点A、B所表示的数；③利用中点坐标公式即可解决问题．(1)解：①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动3个单位长度，再向正方向移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数为（﹣3）+（+2），故选D．②一机器人从数轴原点处O开始，第1次向负方向跳一个单位，紧接着第2次向正方向跳2个单位，第3次向负方向跳3个单位，第4次向正方向跳4个单位，…，依次规律跳，当它跳2017次时，落在数轴上的点表示的数是（﹣1）+（+2）+（﹣3）+（+4）+…+（+2016）+（﹣2017）＝1×1008+（﹣2017）＝﹣1009，故答案为：﹣1009．(2)①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，＝1，∴对称中心为1，∴2017﹣1＝2016，∴1﹣2016＝﹣2015，∴表示2017的点与表示﹣2015的点重合，故答案为：﹣2015；②∵对称中心为1，AB＝2018，∴点A所表示的数为：1﹣＝﹣1008，点B所表示的数为：1+＝1010，故答案为：﹣1008，1010；③若数轴上折叠重合的两点的数分别为a，b，折叠中间点表示的数为；故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、有理数的加减混合运算、折叠等知识，理解题意，灵活应用所学知识是解决问题的关键．8．观察下面三行数：2，，8，，32，，……；

①0，，6，，30，，……；

②，2，，8，，32，……；

③观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题．（1）第①行的第8个数是________，第个数是________；（2）第②行的第个数是________，第③行的第个数是________；（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和．【答案】（1）；；（2），或；（3）【解析】【分析】（1）第①行有理数是按照排列的；（2）第②行为第①行的数减2；第③行为第①行的数的一半的相反数，分别写出第n个数的表达式即可；（3）根据各行的表达式求出第10个数，然后相加即可得解．【详解】解：（1）第①行的有理数分别是﹣1×2，﹣1×22，23，﹣1×24，…，故第8个数是，第n个数为（﹣2）n（n是正整数）；故答案为：；；（2）第②行的数等于第①行相应的数减2，即第n的数为（n是正整数），第③行的数等于第①行相应的数的一半的相反数，即第n个数是或（n是正整数）；故答案为：，或；（3）∵第①行的第10个数为，第②行的第10个数为，第③的第10个数为，所以，这三个数的和为：【点睛】本题是对数字变化规律的考查，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法，观察出第②③行的数与第①行的数的联系是解题的关键．9．在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6＋7|＝6＋7；|7－6|＝7－6；|6－7|＝－6＋7；|－6－7|＝6＋7（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式：①|7＋2|＝；②|－＋|＝；（2）用简单的方法计算：|－|＋|－|＋|－|＋……＋|－|．【答案】（1）①7+2；②；（2）【解析】【分析】（1）①②根据正数的绝对值等于本身，负数的绝对值是其相反数可得答案；（2）根据绝对值的性质化简，再相互抵消可得答案．【详解】解：（1）①∵，∴|7＋2|＝7+2；②∵，∴|－＋|＝；（2）原式＝，，＝．【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键．10．给定一列数，我们把这列数中的第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第个数记为（n为正整数）．例如下面这列数1，3，5，7，9中，，，，，．规定运算，即从这列数的第一个数开始依次加到第个数，如在上面这列数中：．（1）已知一列数-1，2，-3，4，-5，6，-7，8，-9，10．则______．（2）已知一列有规律的数：，，，，，按照规律，这列数可以无限的写下去．①求的值．②是否有正整数满足等式成立？如果有，请直接写出的值．如果没有，请说明理由．【答案】（1）5；（2）①-1011；②n=99．【解析】【分析】（1）直接根据题中所给定义运算进行求解即可；（2）①由题意可知，由此可得，然后求解即可；②由题意易得，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意得：，故答案为5．（2）解：由题意得：，∴=-1+2-3+4···+2020-2021=1×1010-2021=-1011．②由题意得：，∴当n为奇数时，则有，解得：n=99，当n为偶数时，则有，解得：，（不符合题意，舍去），∴综上所述：n=99．【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算及数字规律问题，熟练掌握含乘方的有理数混合运算及数字规律问题是解题的关键．11．细心观察下面三个图形，按下述方法找出规律．（1）分别写出前面三个图形四角中四个数的积分别是、、；（2）分别写出前面三个图形四角中四个数的和分别是、、；（3）请你说明你发现的规律找出第四个正方形中的数，并说明理由．【答案】（1）24，60，120；（2）-10，-13，-16；（3）191，理由见解析【解析】【分析】（1）根据有理数乘法的性质计算，即可得到答案；（2）根据有理数加法的性质计算，即可得到答案；（3）根据有理数乘法和加法的性质计算，并结合前三个图形的数字规律，即可完成求解．【详解】（1）(－1)×(－2)×(－3)×(－4)＝24；(－1)×(－3)×(－5)×(－4)＝60；(－1)×(－4)×(－5)×(－6)＝120；故答案为：24，60，120；（2）(－1)＋(－2)＋(－3)＋(－4)＝－10；(－1)＋(－3)＋(－5)＋(－4)＝－13；(－1)＋(－4)＋(－5)＋(－6)＝－16；故答案为：-10，-13，-16；（3）(－1)×(－5)×(－6)×(－7)＝210；(－1)＋(－5)＋(－6)＋(－7)＝－19；∵第1个正方形中的数第2个正方形中的数第3个正方形中的数∴第四个正方形中的数．【点睛】本题考查了有理数加减法、乘法，以及数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握有理数加减法和乘法的性质，结合数字规律，从而完成求解．12．一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2；第二次从点A2向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点A3；第三次从点A3向左移动5个单位，再向右移动6个单位到达点A4，…，点P按此规律移动，那么：（1）第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是；（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是；（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是；（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是．【答案】（1）﹣1；（2）0；（3）3；（4）﹣2+n．【解析】【分析】（1）根据题意可得第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1；（2）第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是；（3）第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是；（4）这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数．【详解】解：（1）记某次向左移动个单位长度，则向右移动个单位长度，从而每次移动的实际量为：∵一跳蚤P从数轴上表示﹣2的点A1开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点A2∴，即第一次移动后这个点P在数轴上表示的数是﹣1故答案为﹣1（2）∵∴第二次移动后这个点P在数轴上表示的数是0故答案为0（3）∵∴第五次移动后这个点P在数轴上表示的数是3故答案为3（4）∵，∴这个点P移动到点An时，点An在数轴上表示的数是﹣2+n故答案为﹣2+n，【点睛】本题考查的是点在数轴上的移动规律的探究，有理数的加法运算，掌握数轴上点的移动后对应的数的变化规律是解题的关键．13．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52（1）请写出满足上述规律的第6行等式：__________；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+39=_____；（写出具体数值）（3）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=_____；（用含n的式子表示）（4）请用上述规律计算：51+53+55+…+87+89．（写出计算过程）【答案】（1）1+3+5+7