辽宁省大连市瓦房店第十六高级中学高三数学理月考试卷含解析

辽宁省大连市瓦房店第十六高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若无穷等差数列{an}的首项a1＜0，公差d＞0，{an}的前n项和为Sn，则以下结论中一定正确的是（）A．Sn单调递增 B．Sn单调递减 C．Sn有最小值 D．Sn有最大值参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】Sn=na1+d=n2+n，利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：Sn=na1+d=n2+n，∵＞0，∴Sn有最小值．故选：C．2.右图给出了红豆生长时间（月）与枝数（枝）的散点图：那么“红豆生南国，春来发几枝．”的红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？

A．指数函数：

B．对数函数：

C．幂函数：

D．二次函数：参考答案：A略3.在复平面内，复数（i是虚数单位）对应的点位于（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出在复平面内，复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，在复平面内，复数对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：A．4.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若，则的最大值为A.

B.C.

D.参考答案：C5.学校组织同学参加社会调查，某小组共有5名男同学，4名女同学。现从该小组中选出3位同学分别到A，B，C三地进行社会调查，若选出的同学中男女均有，则不同安排方法有（）A.70种 B.140种 C.840种 D.420种参考答案：D试题分析：采用反面来做，首先从9名同学中任选3名参加社会调查有种，3名同学全是男生或全是女生的有种，故选出的同学中男女均有，则不同安排方法有种不同选法考点：排列与组合6.

函数y＝的定义域为()A．(－4，－1)

B．(－4,1)C．(－1,1)

D．(－1,1参考答案：C7.定义在R上的偶函数，f（x）满足：对任意的x1,x2（x1≠x2）,有（x1-x2）[f（x2）-f（x1）]>0,则当n时，有（

）A．f（-n）<f（n-1）<f（n+1）B．f（n-1）<f（-n）<f（n+1）C．f（n+1）<f（-n）<f（n-1）D．f（n+1）<f（n-1）<f（-n）参考答案：B．试题分析：因f（x）满足：对任意的x1,x2（x1≠x2）,有（x1-x2）[f（x2）-f（x1）]>0,可得函数f（x）在单调递减，又f（x）是偶函数，可得f（x）在单调递增，当时，有，则，即，故选B.考点：函数的单调性及奇偶性.8.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}的前n项和，则的最小值为（）A． B． C． D．3参考答案：A【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列通项公式和等比数列性质，列出方程求出d=2，从而an=2n﹣1，，进而得到，由此能求出结果．【解答】解：∵a1=1，a1，a3，a13成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d，解得d=2或d=0（舍去），∴an=2n﹣1，∴，∴，n+1=2时原式取得最小值为．故选：A．9.剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.【详解】设圆的半径为r，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为．∴所求的概率为P=．故选：B．

10.直线与曲线有且只有一个交点，则的取值范围是（

）A．

B．或

C．或

D．

参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设向量，，若，则

．参考答案：12.若从区间（为自然对数的底数，）内随机选取两个数，则这两个数之积小于的概率为

．参考答案：13.曲线在点(1,1)处的切线方程为________参考答案：略14.已知点为等边三角形的中心,,直线过点交边于点，交边于点，则的最大值为

.参考答案：略15.已知函数f(x－1)＝2x2－x，则＝

。参考答案：4x＋3略16.已知平面区域Ω=，直线l:和曲线C:有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。参考答案：略17.已知函数,在区间内任取两个实数,且,若不等式恒成立，则实数的取值范围为

。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知参考答案：证明：法1相加得，即证。

………………10分

法2由柯西不等式得即得

………………10分19.设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】开放型；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．20.（本题满分12分）已知数列满足，（1）求，，；

（2）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式。参考答案：（1）

∴___________________________3分

(2)证明：易知，所以_____________________4分

当

=

=1

所以__________8分（3）由（2）知__________________10分

所以__________________________12分21.（本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。（1）求点P的轨迹方程；（2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。参考答案：（1）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： （2）由前知，点P的轨迹包含两部分圆S：

①与双曲线T： ②因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分（ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得该方程有唯一实数解的充要条件是 ④或 ⑤解方程④得，解方程⑤得。综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。 22.已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）若对于任意都有成立，求实数的取值范围；

（3）若过点可作函数图象的三条不同切线，求实数的取值范围．参考答案：.考点：导数的综合运用试题解析：（1）当时，，得．

因为，

所以当时，，函数单调递增；

当或时，，函数单调递减．

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．

（2）方法1：由，得，

因为对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

即对于任意都有成立，

令，要使对任意都有成立，

必须满足或

即或

所以实数的取值范围为．

方法2：由，得，

因为对于任意都有成立，

所以问题转化为，对于任意都有．

因为，其图象开