变换与拉氏变换的关系课件

§8.6z变换与拉普拉斯变换的关系一．z平面与s平面的映射关系二．z变换与拉氏变换表达式之对应返回至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互相转化。在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。§8.6z变换与拉普拉斯变换的关系一．z平面与s平面的代入比较一．z平面与s平面的映射关系在引入z变换的定义时，引入符号z=esTs(直角坐标):s=s+jwsOjwjw00ssjw+=ss平面式中T是序列的时间间隔，重复频率ws=2p/T幅角:q=wT=2p半径：r=esT=所以代入比较一．z平面与s平面的映射关系在引入z变换的定义时，引s~z平面映射关系这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部s；z的幅角q仅对应于s的虚部w。（1）s平面的原点，s=0w=0r

=1q=0z平面，即z=1。s平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)原点(s

=0,w=0)ojwsz=1ojImzRez1（2）s平面上的虚轴（s=0，s=jw）映射到z平面是单位圆；

s平面的左半平面（s<0）映射到z平面是单位圆的圆内；s~z平面映射关系这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部s

s平面的右半平面（s>0）映射到z平面是单位圆的圆外；

平行于虚轴的直线（s=常数）映射到z平面是圆。s平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)虚轴(s=0,s=jw)0jws单位圆（r=1,q任意）jImzRez01左半平面（s

<0）单位圆内（r<1,q任意）0jwsjImzRez01s平面的右半平面（s>0）映射到z平面是单位圆的圆外右半平面（s>0）单位圆外（r>1,q任意）01RezjImz平行于虚轴的直线（s=常数:-¥®+¥）圆（s>0，r>1s<0，r<1r为常数:0®+¥q任意）0jws0jwsRezjImz0（3）s平面上的实轴（w=0，s=s）映射到z平面是正实轴；平行于实轴的直线（w

=常数）映射到z平面是始于原点的辐射线；通过jkws/2(k=+1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面是负实轴。右半平面单位圆外01RezjImz平行于虚轴圆0jws0jws平面(s=s

+jw)

z平面(z=rejq

)实轴(w

=0,s=s)0jws正实轴（q=0，r任意）jImzRez0平行于实轴的直线（w

=常数）始于原点的辐射线（q=常数，r任意）0jws-jw2jw1jImzRez0w1T-w2T通过+jkws/2

平行于实轴的直线（k=1,3...）负实轴（q=p，r任意）jImzRez00jwsjws/2-jws/2s平面(s=s+jw)z平面(z=rejq)（4）由于z=rejq是q=wT的周期函数，因此当w由-p/T~p/T时，

q由-p~p，

幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。因此w每增加一个ws=2p/T，q就相应增加2p，也就重复旋转一周，z平面就重叠一次。

所以，z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。01RezjImz0jwsws/2-ws/20jwsws/2-ws/21RezjImz0（4）由于z=rejq是q=wT的周期函数，因此当w由-p0jwsws/2-ws/2RezjImz10jws0-ws/2ws/2RezjImz10jws-ws/2ws/20RezjImz10掌握了s~z平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统时域特性、频响特性以及稳定性的关系。返回0jwsws/2-ws/2RezjImz10jws0-ws/二．z变换与拉氏变换表达式之对应

我们知道：当把x(t)以等间隔T抽样后：其z变换为：二．z变换与拉氏变换表达式之对应我们知道：当把x(t)以等此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的离散序列z变换式的关系式。该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：X(s)的诸极点例如：当X(s)有一单阶极点s1时此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时

若连续时间信号(t)由N项指数信号相加组合而成xˆ

以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式与z变换式的关系式。容易求得，它的拉式变换为若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成下面把信号按部分分式分解进行讨论若连续时间信号(t)由N项指数信号相加组合而成xˆ它的z变换为注意跳变值借助模拟滤波器设计数字滤波器例8-6-1例8-6-2返回注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列样值有区别。例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2;阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。它的z变换为注意跳变值借助模拟滤波器设计数字滤波器例8-6-注意跳变值返回注意跳变值返回已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为，求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。X(s)只有一个一阶级点s=-a，可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为解：例8-6-1返回已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为，X(s)于是，X(s)可以展成部分分式已知正弦信号sin(w0t)u(t)的拉式变换为，求抽样序列sin(w0nT)u(nT