【微专题】2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）二次函数中的相似三角形（原卷版）

二次函数中的相似三角形1．已知，如图二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，，点，抛物线的对称轴为，直线交抛物线于点．（1）求二次函数的解析式并写出点坐标；（2）点是中点，点是线段上一动点，当和相似时，求点的坐标．2．如图，平面直角坐标系中，点、、在轴上，点、在轴上，，，，直线与经过、、三点的抛物线交于、两点，与其对称轴交于．点为线段上一个动点（与、不重合），轴与抛物线交于点．（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；（2）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，抛物线与轴相交于、，与轴相交于点，过点作轴，交抛物线点．（1）求梯形的面积；（2）若梯形的对角线、交于点，求点的坐标，并求经过、、三点的抛物线的解析式；（3）点是直线上一点，且与相似，求符合条件的点坐标．4．已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在点的左边），以为直径作，与轴正半轴交于，点为劣弧上一动点，连接、两弦相交于点，连接，，（1）求点的坐标；（2）若的半径为3时，求的值；（3）请探索当点运动到什么位置时，使得与相似，并给予证明．5．如图，直线分别交轴、轴于、两点，绕点按逆时针方向旋转后得到，抛物线经过、、三点．（1）填空：，、，、，；（2）求抛物线的函数关系式；（3）为抛物线的顶点，在线段上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．6．已知：二次函数的图象与轴交于，与轴交于点，（1）求该二次函数的关系式；（2）求点的坐标，并判断的形状，说明理由；（3）点是该抛物线轴上方的一点，过点作轴于点，是否存在，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，抛物线经过，，三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）是抛物线上一动点，过作轴，垂足为，是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点，使得的面积最大，求出点的坐标．8．如图，抛物线与直线交于，两点，交轴于，两点，连接，，已知，．（Ⅰ）求抛物线的解析式和的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）条件下：（1）为轴右侧抛物线上一动点，连接，过点作交轴于点，问：是否存在点使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒一个单位速度运动到点，再沿线段以每秒个单位的速度运动到后停止，当点的坐标是多少时，点在整个运动中用时最少？9．如图，已知抛物线（且与轴分别交于、两点，点在点左边，与轴交于点，连接，过点作交抛物线于点，0为坐标原点．（1）用表示点的坐标，；（2）若，连接，①求出点的坐标；②在轴上找点，使以、、为顶点的三角形与相似，求出点坐标；（3）若在直线上存在唯一的一点，连接、，使，求的值．10．如图，设抛物线与轴交于两个不同的点、，对称轴为直线，顶点记为点．且．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）已知过点的直线交抛物线于另一点．若点在轴上，以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，的外接圆半径等于．（直接写答案）11．如图，已知矩形，点，分别在，轴上，抛物线经过，两点，且与轴交于点．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿射线方向运动，设运动的时间为（秒，射线交抛物线于．（1）求抛物线的解析式；（2）连接，是否存在这样的时刻，使得？若存在请求出的值；若不存在，请说明理由．（3）连接和，若，求的取值范围．12．如图，抛物线经过、，点在抛物线上，轴，且平分．（1）求抛物线的解析式；（2）线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，求线段的最大值；（3）抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．13．如图已知点和点都在抛物线上．（1）求、；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线的交点为点，试在轴上找点，使得以点、、为顶点的三角形与相似．14．已知抛物线与轴交于，两点，在的左侧），与轴交于，若，且．①求抛物线的解析式；②设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；③在抛物线上是否存在一点，过作轴于，以、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有符合条件的点坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，一次函数的图象与二次函数图象的对称轴交于点．（1）写出点的坐标；（2）将直线沿轴向上平移，分别交轴于点、交轴于点，点是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当的面积取最大值时，点的坐标；（3）已知点是二次函数图象在轴右侧部分上的一个动点，若的外接圆直径为，试问：以、、为顶点的三角形与能否相似？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，已知抛物线的顶点坐标是，且经过点，又与轴交于点、（点在点左边），与轴交于点．（1）抛物线的表达式是；（2）四边形的面积等于；（3）问：与相似吗？并说明你的理由；（4）设抛物线的对称轴与轴交于点．另一条抛物线经过点与不重合），且顶点为，对称轴与轴交于点，并且以、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等，求、的值．（只需写出结果，不必写解答过程）．17．如图，已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．（1）求此抛物线的解析式．（2）过点作交抛物线于点，求四边形的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点，过作轴于点，使以、、三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点的坐标；否则，请说明理由．18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交点（1）求抛物线的解析式以及顶点的坐标；（2）若是线段的中点，连接，猜想线段与线段之间有怎样的数量关系，并证明你的猜想；（3）在坐标轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．19．已知：如图，抛物线的顶点坐标是，与轴的交点为．（1）求抛物线的解析式；（2）若，，是（1）中抛物线上的点，，垂足为，．①求点的坐标；②试判定以为直径的圆与轴有怎样的位置