【常考压轴题】2023学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版） 相似三角形的四种基本模型（解析版）

相似三角形的四种基本模型模型一、A字型（8字型）例1．（基本模型）如图，已知D是BC的中点，M是AD的中点．求的值．【答案】【详解】如图，过点D作BN的平行线交AC于点H．在中，因为M为AD的中点，，所以N为AH的中点，即．在中，因为D为BC的中点，，所以H为CN的中点，即，所以．所以．例2．（培优）如图，中，点D在边上，且．

（1）求证：；（2）点E在边上，连接交于点F，且，，求的度数．（3）在（2）的条件下，若，的周长等于30，求的长．【答案】（1）见解析；（2）＝60°；（3）AF＝11【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴．∴，．∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．【变式训练1】如图，点O是△ABC边BC上一点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，且＝m，＝n．（1）若点O是线段BC中点．①求证：m+n＝2；②求mn的最大值；（2）若＝k（k≠0）求m，n之间的关系（用含k的代数式表示）．【答案】（1）①证明见解析；②mn有最大值1；（2）n＝k﹣km+1．【详解】解：设AM＝a，AN＝b.∵＝m，＝n，∴AB＝am，AC＝bn，∴MB＝MA﹣AB＝a﹣am＝（1﹣m）a，CN＝AC﹣AN＝bn﹣b＝（n﹣1）b.（1）①若点O是线段BC中点，如图1，过点B作BH∥AC交MN于H，∴∠OBH＝∠OCN.在△OBH与△OCN中，，∴△OBH≌△OCN（ASA），∴BH＝CN＝（n﹣1）b.∵BH∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝n﹣1，∴m+n＝2；②由①知，m+n＝2，∴m＝2﹣n，∴mn＝（2﹣n）n＝﹣n2+2n＝﹣（n﹣1）2+1，∴当n＝1时，mn有最大值1；（2）若＝k（k≠0），如图2，过点B作BG∥AC交MN于G，∴∠OBG＝∠OCN.在△OBG与△OCN中，，∴△OBG∽△OCN，∴＝，即＝k，∴BG＝b.∵BG∥AN，∴＝，即＝，∴1﹣m＝，∴n＝k﹣km+1.【变式训练2】矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12．将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE．（1）如图①，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值；（2）如图②，若E是AB的中点，EP的延长线交BC于点F，求BF的长．【答案】（1）；（2）BF＝3．【详解】解：（1）如图①中，取DE的中点M，连接PM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，由翻折可知，AO＝OP，AP⊥DE，∠2＝∠3，∠DAE＝∠DPE＝90°，在Rt△EPD中，∵EM＝MD，∴PM＝EM＝DM，∴∠3＝∠MPD，∴∠1＝∠3+∠MPD＝2∠3，∵∠ADP＝2∠3，∴∠1＝∠ADP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠DPC，∴∠1＝∠DPC，∵∠MOP＝∠C＝90°，∴△POM∽△DCP，∴，∴．（2）如图②中，过点P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．则四边形AGHD是矩形，设EG＝x，则BG＝4﹣x∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，∴∠EPG＝∠PDH，∴△EGP∽△PHD，∴，∴PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，∵PH2+DH2＝PD2，∴（3x）2+（4+x）2＝122，解得：x＝（负值已经舍弃），∴BG＝4﹣＝，在Rt△EGP中，GP＝，∵GH∥BC，∴△EGP∽△EBF，∴，∴，∴BF＝3．模型二、X（8）字型X字型（平行）反X字型（不平行）例1．（基本模型）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在边AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．（1）求证：DF•AB=BC•DG；（2）当点E为AC中点时，求证：2DF•EG=AF•DG．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【详解】证明：（1）∵BC2=BF•BA，∴BC：BF=BA：BC，而∠ABC=∠CBF，∴，∵DE∥BC，∴，∴，∴DF：BC=DG：BA，∴DF•AB=BC•DG；（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，∵DE∥BC，∴AH∥DE，∵点E为AC的中点，为的中位线，∴AH=2EG，∵AH∥DG，∴，∴，∴，即2DF•EG=AF•DG．例2．（培优）如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．①求证：AB·BE=AD·BC；②若DE=4DF，请直接写出SΔABC:SΔDEC的值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②．【详解】（1）证明：∵AC=AB，∴∠ACB=∠B，∵DC=DE，∴∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠ACB=∠B+∠BDE，∴∠BDE=∠ACD；（2）证明：如图1，∵EG∥AC，∴∠DAC=∠DGE，∠BEG=∠ACB，由（1）知：∠DCA=∠BDE，∵DC=DE，∴△DCA≌△EDG（AAS），∴AD=EG，∵∠B=∠ACB=∠BEG，∴EG=BG=AD，∴DG=AB，∵DE=2DF，AF∥EG，∴，∴DG=2AD=2AG，∴AB=DG=2AG；（3）解：①如图2，过点E作EG∥AC，交AB的延长线于点G，则有∠A=∠G，∵AB=AC，CD=DE，∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，∴∠ACD+∠DCE=∠EDG+∠DEC，∴∠ACD=∠EDG，在△DCA和△EDG中，∵，∴△DCA≌△EDG（AAS）．∴DA=EG，∵AC∥EG，∴△ACB∽△GEB，∴，∵EG=AD，AC=AB，∴AB•BE=AD•BC；②如图3，过A作AH⊥BC于H，过D作DP⊥BC于P，则AH∥PD，∵AF∥EG，∴，∵DE=4DF，∴，设AF=a，则EG=AD=4a，DG=16a，∵∠ACB=∠ABC，∴∠GBE=∠BEG，∴BG=EG=4a，∴BD=12a，∵AH∥PD，∴，设PD=3h，AH=4h，∵EG∥AC，∴，设BE=y，BC=4y，∴S△ABC=BC•AH===8yh，S△DCE=CE•PD==yh，∴S△ABC：S△DEC=8yh：yh=16：15．【变式训练1】

如图，正方形的边长为，点是射线上的一个动点，连接并延长，交射线于点，将沿直线翻折，点落在点处．

（1）当时，如图，延长，交于点，①的长为________；②求证：．（2）当点恰好落在对角线上时，如图，此时的长为________；________；（3）当时，求的正弦值．【答案】（1）①12；②见解析；（2），；（3）或．【详解】解：①如图，由可得：，∴，即，∴的长为．故答案为：．②证明：∵四边形为正方形，∴，∴，由折叠可知：，∴，∴．（2）如图2，由折叠可得，∠BAE＝∠CAE，由ABCD可得，∠BAE＝∠CFE，∴∠CAE＝∠CFE，∴FC＝AC，又∵等腰Rt△ABC中，AC＝AB＝12，∴CF＝12，即CF的长为12，由折叠可得，BE＝B'E，∴等腰Rt△CEB'中，CE＝B'E＝BE，∴；故答案为：；；①当点在线段上时，如图3，的延长线交于点，由可得：，∴，即，∴，由②可知．设，则，则，在中，，即，解得：，则，∴．②当点在的延长线上时，如图4由可得：，∴，即，∴，则，设，则，在中，，即，解得：，则，∴．综上所述：当时，的正弦值为或．【变式训练2】如图1，在矩形ABCO中，OA＝8，OC＝6，D，E分别是AB，BC上一点，AD＝2，CE＝3，OE与CD相交于点F．（1）求证：OE⊥CD；（2）如图2，点G是CD的中点，延长OG交BC于H，求CH的长．【答案】（1）见解析；（2）CH的长为6．【详解】（1）∵四边形ABCO是矩形，∴OA=BC=8，OC=AB=6，在Rt△OCE中，CE=3，∴OE=，∵AB∥OC，即AD∥OC，且AD=2，∴，∴，∴PA=4，∴PO=PA+OA=12，∴在Rt△OPC中，OC=6，∴CP=，∵OA∥BC，即OP∥CE，∴，∴，∴EF=OE=，CF=CP=，∵()2+()2==9，∴EF2+CF2=CE2，∴△CEF是直角三角形，∴∠CFE=90°，∴OE⊥CD；（2）在Rt△CBD中，CB=8，BD=AB﹣AD=6﹣2=4，根据勾股定理，得CD=，∵点G是CD的中点，∴CG=DG=2，由（1）知：CP=6，∴DP=CP﹣CD=2，∴点G是CP的三等分点，∵OA∥BC，即OP∥CH，∴，∴，∴CH=6．答：CH的长为6．【变式训练3】已知：矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P是线段AD上一点，连接CP，点E在对角线AC上（不与点A，C重合），∠CPE＝∠ACB，PE的延长线与BC交于点F．（1）如图1，当AP＝2时，求CF的长；（2）如图2，当PF⊥BC时，求AP的长；（3）当△PFC是等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1）CF＝；（2）AP＝；（3）AP的长为6．【详解】（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，∵AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝10，Rt△PDC中，∵AP＝2，∴PD＝CD＝6，∴PC＝＝6，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵∠CPE＝∠ACB，∴∠DAC＝∠CPE，∵∠PCE＝∠PCA，∴△CEP∽△CPA，∴，即，∴CE＝7.2，∴AE＝10﹣7.2＝2.8，∵AP∥CF，∴，即，∴CF＝；（2）如图2，∵AD∥BC，PF⊥BC，∴AD⊥PF，∴∠APE＝90°，tan∠DAC＝设EP＝3x，AP＝4x，则AE＝5x，BF＝AP＝4x，∴CE＝10﹣5x，PD＝8﹣4x，由（1）知：CP2＝CE•AC，Rt△PCD中，PC2＝PD2+CD2，∴PD2+CD2＝CE•AC，∴62+（8﹣4x）2＝10（10﹣5x），解得：x＝0（舍）或x＝，∴AP＝4x＝；（3）分三种情况：①当PF＝PC时，如图3，设AP＝x，则PD＝8﹣x，CF＝2PD＝16﹣2x，∵AP∥CF，∴，即，∴，∴，由（2）知：用CE•CA＝CP2＝CD2+DP2，∴＝62+（8﹣x）2，∵x≠0，∴x2﹣32x+156＝0，（x﹣6）（x﹣26）＝0，x＝6或26（舍），∴AP＝6；②当FC＝PC，如图4，连接AF，∴∠CPE＝∠CFP＝∠APE＝∠ACB＝∠PAC，∴AE＝EP，EF＝CE，∵∠AEF＝∠PEC，∴△AEF≌△PEC（SAS），∴AF＝PC＝CF，设CF＝AF＝a，则BF＝8﹣a，Rt△ABF中，由勾股定理得：62+（8﹣a）2＝a2，解得：a＝，∴CF＝CP＝，设AP＝x，则PD＝8﹣x，∵CP2＝CD2+DP2，∴，解得：x＝（舍）或；当x＝时，AP＝CP＝CF＝AF，且AC＝PF∴四边形AFCP是正方形，此种情况不存在；③当FC＝FP，如图5，P与A重合，该情况不符合题意；综上：AP的长为6．模型三、子母型已知：∠1=∠2；结论：△ACD∽△ABC例1．（基本模型）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AE＝1，EC＝3，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）2【详解】解：（1）证明：∵∠DEC=∠DAE+∠ADE，∠ADB=∠DAE+∠C，∠DEC=∠ADB，∴∠ADE=∠C．又∵∠DAE=∠CAD，∴△AED∽△ADC．（2）∵△AED∽△ADC，∴，即，∴AD＝2或AD＝﹣2（舍去）．又∵AD＝AB，∴AB＝2例2.（培优）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴设，则（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，过作于，如图2所示：则，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：过点作于，如图3所示：∵，∴设，则（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案为：．【变式训练1】在矩形中，，，是边上一点，交于点，过点作，交射线于点，交射线于点．（1）如图，当点与点重合时，求的长．（2）如图，当点在线段上时，设，，求与之间的函数关系式，并写出它的定义域．（3）连接，当与相似时，求线段的长．【答案】（1）3；（2）；（3）或1【详解】（1）∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．（2）过点作，垂足为点，∴四边形是矩形，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，，，∴2x-y=4,当点在线段上时，∴．（3）∵，∴，∵，∴，∴，∴，当与相似时，①若，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵设，，，∴．②若，设与交于点，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵AB=4，BC=3，则AC=5，设，由EO∥BC∴△AEO∽△ABC∴即则，，∴，∴，∴，，∴，综上所述，线段的长为或1时与相似．【变式训练2】如图，锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）求证：△ACD∽△ABE；（2）若将点D，E连接起来，则△AED和△ABC能相似吗？说说你的理由．【答案】（1）见详解；（2）相似，理由见详解；【详解】证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC＝∠AEB＝90°．∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABE（2）连接DE，∵△ACD∽△ABE,∴AD：AE＝AC：AB．∴AD：AC＝AE：AB．∵∠A＝∠A．∴△AED∽△ABC，【变式训练3】已知正方形的边长为4，点在边上，点在边上，且，和交于点．（1）如图，求证：①②（2）连接并延长交于点，①若点为的中点（如图），求的长．②若点在边上滑动（不与点重合），当取得最小值时，求的长．【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）①；②【详解】（1）证明：①∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=4，∠ABC=∠BCD=90°，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE=BF；②由①得：△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，∵∠CBF+∠ABF=90°，∴∠BAE+∠ABF=90°，∴∠AGB=90°，∴AE⊥BF；（2）解：①如图2所示：∵E为BC的中点，∴CF=BE=BC=2，∴BF=，由（1）得：AE⊥BF，∴∠BGE=∠ABE=90°，∵∠BEG=∠AEB，∴△BEG∽△AEB，∴，设GE=x，则BG=2x，在Rt△BEG中，由勾股定理得：x2+（2x）2=22，解得：x=，∴BG=2×=，∵AB∥CD，∴，即，解得：BH=；②由（1）得：∠AGB=90°，∴点G在以AB为直径的圆上，设AB的中点为M，由图形可知：当C、G、M在同一直线上时，CG为最小值，如图3所示：∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴GM=AB=BM=2，∵AB∥CD，∴=1，∴CF=CG，∵CF=BE，∴CF=CG=BE，设CF=CG=BE=a，则CM=a+2，在Rt△BCM中，由勾股定理得：22+42=（a+2）2，解得：a=2-2，即当CG取得最小值时，BE的长为2-2．模型四、旋转型例1．（基本模型）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，点A为公共顶点，．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合．【探究】求证：．【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．(1)的值为______．(2)若，则MN的长为______．【答案】(1)8(2)【探究】利用三角形外角的性质可证，又由，可证明结论；【应用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角边长，再由，得，则；（2）由，得，由（1）知，得，从而得出答案．（1）∵△ABC为等腰直角三角形，，∴，同理，，∵，，∴，∴；（2）（1）∵等腰直角三角形的斜边长为4，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：8；（2）∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．例2．（培优）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为斜边BC上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；【探究证明】如图2，在Rt△ABC和Rt△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一条直线上时，BD与CE具有怎样的位置关系，说明理由；【拓展延伸】如图3，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，过点C作CA⊥BD于A．将△ACD绕点A顺时针旋转，点C的对应点为点E．设旋转角∠CAE为（0°＜＜360°），当C，D，E在同一条直线上时，画出图形，并求出线段BE的长度．【答案】BD＝CE，BD⊥CE；BD⊥CE，理由见解析；图见解析，【详解】解：（1）BD＝CE，BD⊥CE；（2）BD⊥CE．理由如下：在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠AEC＝45°，∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△CEA≌△BDA，∴∠BDA＝∠AEC＝45°，∴∠BDE＝∠BDA＋∠ADE＝90°，∴BD⊥CE．（3）如图所示，过点A作AF⊥CE，垂足为点F．根据题意可知，Rt△ABC∽Rt△AED，∠BAC＝∠EAD，∴，∴．∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∠BEC＋∠DEA＝∠DEA＋90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥CE．在旋转前，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝2CD＝4，∴，∵AC⊥BD，∴，∴．∴，在Rt△ACD中，CD边上的高，旋转后，得，，∴．【变式训练1】如图，等腰三角形ABC和等腰三角形ADE，其中AB＝AC，AD＝AE．(1)如图1，若∠BAC＝90°，当C、D、E共线时，AD的延长线AF⊥BC交BC于点F，则∠ACE＝______；(2)如图2，连接CD、BE，延长ED交BC于点F，若点F是BC的中点，∠BAC＝∠DAE，证明：AD⊥CD；(3)如图3，延长DC到点M，连接BM，使得∠ABM＋∠ACM＝180°，延长ED、BM交于点N，连接AN，若∠BAC＝2∠NAD，请写出∠ADM、∠DAE它们之间的数量关系，并写出证明过程．【答案】(1)22.5°；(2)见解析(3)∠DAE+2∠ADM=180°，详见解析【解析】（1）解：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，由三角形外角性质知，∠ADE=∠ACE+∠DAC，∠AED=∠ECB+∠B，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠ACE+∠DAC=∠ECB+∠B，∵AF⊥BC，∴∠BAF=∠CAD=45°，∴∠ACE=∠BCE，又∠ACB=45°，∴∠ACE=22.5°，故答案为：22.5°．（2）解：连接AF，过A作AH⊥EF于H，如图所示，∵∠BAC=∠DAE，AD=AE，AB=AC，∴∠CAF=∠BAF=∠DAH=∠EAH，∴∠CAD=∠HAF，由△ACF∽△ADH知，∴，∴△ACD∽△AFH，∴∠ACD=∠AFH，∴∠CDF=∠CAF，∵∠ADE=∠AED=90°－∠DAE，∴∠ADE+∠CDF=90°，故∠ADC=90°，即AD⊥CD．（3）解：将AN绕A逆时针旋转∠BAC的度数，交MD延长线于Q，∵∠BAC=∠QAN，∴∠QAC=∠BAN，∵∠ABM+∠ACM=180°，∠ACM+∠ACQ=180°，∴∠ABM=∠ACQ，∵AB=AC，∴△ACQ≌△ABN，∴AN=AQ，∵∠BAC=2∠NAD=∠NAQ，∴∠QAD=∠NAD，又AD=AD，∴△AND≌△ADQ，∴∠AND=∠ADQ，即∠ADM+∠MDN=∠ADE+∠EDQ，∴∠ADM=∠ADE，∵AD=AE，∴∠DAE+2∠ADE=180°，即∠DAE+2∠ADM=180°．【变式训练2】［问题发现］(1)如图1，在Rt△ABC中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点与点重合，已知．请直接写出线段与的数量关系；［实验研究］(2)在（1）的条件下，将正方形绕点旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；［结论运用］(3)在（1）（2）的条件下，若的面积为8，当正方形旋转到，，三点共线时，请求出线段的长．【答案】(1)(2)，证明见解析(3)线段的长为或【解析】（1）解：，，，四边形是正方形，，，，，，点与点重合，，，，；，，，；（2）解：．证明：由（1）得，，四边形是正方形，，，，，，，，，；（3）解：如图1，，，点为的中点，，，，的面积为8，，，，，点与点重合，四边形是正方形，；如图2，、、三点共线且点在线段上，，，，．，；如图3，、、三点共线且点在线段上，则，．，，综上所述，线段的长为或．模型五、一线三垂直型例1．（模型探究）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明）【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长．【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长．【答案】【探究】3；【拓展】4或．【详解】探究：证明：∵是的外角，∴，即，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，，，∴，解得：；拓展：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA，∵∠A=∠CPE，∴∠ACP=∠BPE，∵∠A=∠B，∴△ACP∽△BPE，当CP=CE时，∠CPE=∠CEP，∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B，∴CP=CE不成立；当PC=PE时，△ACP≌△BPE，则PB=AC=8，∴AP=AB-PB=128=4；当EC=EP时，∠CPE=∠ECP，∵∠B=∠CPE，∴∠ECP=∠B，∴PC=PB，∵△ACP∽△BPE，∴，即，解得：，∴AP=ABPB=，综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或．例2．（培优）问题提出（1）如图1，在矩形中，，点E为的中点，点F在上，过点E作交于点G．若，则的面积为_________．问题探究（2）如图2，在矩形中，，点P是边上一动点，点Q是的中点将．沿着折叠，点A的对应点是，将沿着折叠，点D的对应点是．请问是否存在这样的点P，使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时的长度；若不存在，请说明理由．问题解决（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务，部件要求：如图3，在四边形中，，点D到的距离为，且．若过点D作，过点A作的垂线，交于点E，交的延长线于点H，过点C作于点F，连接．设的长为，四边形的面积为．①根据题意求出y与x之间的函数关系式；②在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低．已知这种金属材料每平方厘米造价60元，请你帮忙求出这种四边形金属部件每个的造价最低费用．【答案】（1）；（2）存在，或；（3）①；②963.3元．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴．∵，∴．∵点E为的中点，∴故答案为：；（2）存在，理由如下：∵四边形是矩形，∴．∵Q是的中点，∴．由折叠的性质得：，当点P、、三点在同一条直线上时，，∴．∵，∴．∵∵，∴，∴，即，解得：或；（3）①根据题意做出辅助线，如图所示．由题意得：．∵，∴．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．由，则．∵，∴，∴，∴；②由①知，，当时，四边形的面积取得最小值为，∴最低造价为（元），∴四边形金属部件每个的造价最低费用约为963.3元．【变式训练1】问题提出：（1）如图①，矩形ABCD中，AD＝6．点E为AD的中点．点F在AB上，过点E作EGAB交FC于点G．若EG＝7．则S△EFC＝．问题探究：（2）如图②．已知矩形ABCD纸片中．AB＝9，AD＝6，点P是CD边上一动点．点Q是BC的中点．将△ADP沿着AP折叠，在纸片上点D的对应点是，将△QCP沿着PQ折叠．在纸片上点C的对应点是．请问是否存在这样的点P．使得点P、、在同一条直线上？若存在，求出此时DP的长度．若不存在，请说明理由．问题解决：（3）某精密仪器厂接到生产一种特殊四边形金属部件的任务．部件要求：如图③，四边形ABCD中，AB＝4厘米，点C到AB的距离为5厘米，BC⊥CD．且BC＝CD．在满足要求和保证质量的前提下，仪器厂希望造价最低，已知这种金属材料每平方厘米造价50元．请问这种四边形金属部件每个的造价最低是多少元？（≈1.73）【答案】（1）21；（2）存在，6或3；（3）802.75元【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，BC＝AD＝6，∵EG∥AB，∴CD∥EG∥AB，∵点E为AD的中点，∴S△EFC＝S△EGC+S△EGF＝×EG×BC+×EG×BC＝×EG×BC＝×7×6＝21，故答案为：21；（2）存在，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠DCB＝90°，AB＝CD＝9，AD＝BC＝6，∵Q是BC的中点，∴CQ＝3，由折叠的性质得：∠DPA＝∠D′PA，∠CPQ＝∠C′PQ，当点P、D′、C′三点在同一条直线上时，∠DPA+∠D′PA+∠CPQ+∠C′PQ＝180°，∴∠DPA+∠CPQ＝90°，∵∠DPA+∠DAP＝90°，∴∠DAP＝∠CPQ，∵∠ADP＝∠PCQ＝90°，∴△ADP∽△PCQ，∴，即，解得：DP＝6或DP＝3；（3）如图，过点C作MN∥AB，过点D作MN的垂线，交MN于点E，交BA的延长线于点H，过点B作BF⊥MN于点F，连接BD，如图③所示：则BF＝EH＝5cm，∵DC⊥BC，∴∠ECD+∠BCF＝90°，∵BF⊥MN，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠CBF，又∵∠DEC＝∠CFB＝90°，∴△DEC∽△CFB，∴，设DE＝x，则DH＝5﹣x，∵BF＝5，BC＝CD，∴，∴，，∴S四边形ABCD＝S四边形EDBF﹣S△CED﹣S△CFB+S△DAB当x＝c