初中数学几何模型大全+经典题型

初中数学几何模型大全+经典题型全等变换全等变换有平移、对称和旋转三种类型。平移可以用来平行移动等线段，形成平行四边形。对称可以用角平分线、垂线或半角作为轴进行对称全等，即形状完全相同。旋转可以用相邻等线段绕公共顶点旋转，也可以用特定的角度旋转，如60度旋60度可以造成等边三角形。半角和自旋转半角是指一个角含有1/2角及相邻线段，可以通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，形成对称全等。自旋转是指有一对相邻等线段，需要构造旋转全等。中点旋转则是将倍长中点相关线段转换成旋转全等问题。模型变形和剪拼模型变形主要是两个正多边形或等腰三角形的夹角变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。当遇到复杂图形找不到旋转全等时，可以先找两个正多边形或等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。剪拼则是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。对称最值和射影定理对称最值可以通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。射影定理则可以用来找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变。以上是初中数学几何模型的基本内容，掌握这些模型和相关题型可以帮助学生更好地理解和解决数学问题。推广：当两个三角形相似且旋转一定角度时，它们就是旋转相似。在证明相似时，需要注意边和角的对应关系，等量代换可以通过相等线段或比值来构造相似三角形。说明：（1）三垂线和三等角的演变，三等角通常以30度、45度和60度形式出现。（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，这些定理之间有相同和不同之处。在证明相似、射影定理和相交弦定理（可以推广到圆幂定理）时，可以将比值转换为乘积，并通过等线段、等比值、等乘积进行代换，以达到需要的结论。说明：在相似证明中，最常用的辅助线是平行线，可以根据题目条件或结论比值来绘制相应的平行线。初中数学经典几何题（附答案）经典难题（一）1、已知：如图，$O$是半圆的圆心，$C$、$E$是圆上的两点，$CD\perpAB$，$EF\perpAB$，$EG\perpCO$．求证：$CD=GF$．（初二）2、已知：如图，$P$是正方形$ABCD$内点，$\anglePBC$是正三角形，求证：$\anglePAD=\anglePDA=15$．（初二）3、如图，已知四边形$ABCD$、$A_1B_1C_1D_1$都是正方形，$A_2$、$B_2$、$C_2$、$D_2$分别是$AA_1$、$BB_1$、$CC_1$、$DD_1$的中点，求证：四边形$A_2B_2C_2D_2$是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形$ABCD$中，$AD=BC$，$M$、$N$分别是$AB$、$CD$的中点，$AD$、$BC$的延长线交$MN$于$E$、$F$，求证：$\angleDEN=\angleF$．经典难题（二）1、已知：$\triangleABC$中，$H$为垂心，$O$为外心，且$OM\perpBC$于$M$．（1）求证：$AH=2OM$；（2）若$\angleBAC=60$，求证：$AH=AO$．（初二）2、设$MN$是圆$O$外一直线，过$O$作$OA\perpMN$于$A$，自$A$引圆的两条直线，交圆于$B$、$C$及$D$、$E$，直线$EB$及$CD$分别交$MN$于$P$、$Q$，求证：$AP=AQ$．（初二）3、如果将第二题中的直线$MN$从圆外平移至圆内，则可得以下命题：设$MN$是圆$O$的弦，过$MN$的中点$A$任作两弦$BC$、$DE$，设$CD$、$EB$分别交$MN$于$P$、$Q$，求证：$AP=AQ$．（初二）1.如图，以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧分别作正方形ACDE和正方形CBFG，点P为EF的中点。证明：点P到边AB的距离等于AB的一半。证明：连接BP和AP，设BP的延长线与AC的交点为M，AP的延长线与BC的交点为N。则易证三角形BPC和APC相似，且BP=2PM，AP=2PN。又因为PF=PE，所以三角形EPF为等腰三角形，即PE=PF。因此，PN=PE，PM=PF。又因为△BAC为等边三角形，所以AM=MC，BN=NC。因此，AB=AM+BN=MC+NC=2PM+2PN=2(PM+PN)=2BP。故点P到边AB的距离等于AB的一半。2.如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F。证明：CE＝CF。证明：连接AF和CF，因为DE∥AC，所以∠AFE=∠CFA。又因为AE=AC，所以△AFE和△CFA全等，从而CE=CF。3.如图，设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE。证明：PA＝PF。证明：连接AF和DF，因为CF平分∠DCE，所以∠ACF=∠DCF。又因为正方形ABCD中，AD∥BC，所以∠ADF=∠ACF。从而∠ADF=∠DCF，即△ADF和△CDF相似。因此，AP/CD=AF/CF，即AP=AF×CD/CF。又因为PF⊥AP，所以AP=PF。因此，PA=PF。4.如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D。证明：AB＝DC，BC＝AD。证明：连接BD和PC，因为PC是圆O的切线，所以∠CPB=90°。又因为PEF是圆O的割线，所以∠APE=∠DPC。因此，△APE和△DPC相似，从而AP/DP=AE/DC，即AP×DC=AE×DP。又因为AE和DP分别与直线PO交于B和D，所以AE/EB=DP/PD，即AE×PD=EB×DP。因此，AP×DC=EB×DP。又因为AC为圆O的直径，所以AB=AE+EB=AP+PD=DC。又因为BC=PC-PB=2PC-AB=2OC-AB=AD。故AB=DC，BC=AD。1.顺时针旋转△ADE到△ABG，连接CG。因为∠ABG=∠ADE=90+45=135，所以B、G、D在一条直线上，从而可得△AGB≌△CGB。推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。又因为∠AGB=30，所以∠EAC=30，从而可得∠AEC=75。又∠EFC=∠DFA=45+30=75，所以可证CE=CF。2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=30，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=15。又∠FAE=90+45+15=150，所以可知∠F=15，从而得出AE=AF。3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y-X。由tan∠BAP=tan∠EPF=X/Y=Z/(XZ/Y)，可得YZ=XY-X+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，从而得出X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。4.顺时针旋转△ABP60，连接PQ，则△PBQ是正三角形。可得△PQC是直角三角形，所以∠APB=150。作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC。可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，从而可得AEBP共圆（一边所对两角相等）。可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得BE/BC=AD/AC，即AD·BC=BE·AC，①。又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得AB/AC=DE/DC，即AB·CD=DE·AC，②。由①+②可得AB·CD+AD·BC=AC(BE+DE)=AC·BD，得证。5.（1）顺时针旋转△BPC60，可得△PBE为等边三角形。既得PA+PB+PC=AP+PE+EF要使最小只要AP在一条直线上，即如下图：可得最小L=。（2）过P点作BC的平行线交AB、AC与点D、F。因为∠APD>∠ATP=∠ADP，推出AD>AP。1.根据条件BP+DP>BP和PF+FC>PC以及DF=AF，可以得出最大L<2，同时有≤L＜2。2.顺时针旋转△BPC60度，可以得到△PBE为等边三角形，因此PA+PB+PC=AP+PE+EF。为了使最小值达到，需要让AP、PE、EF在一条直线上，如图所示，可以得到最小值为AF=62/2。3.顺时针旋转△ABP90度，可以得到正方形边长L=(2