第三章-刚体和流体的运动课件

本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴转动。核心内容：刚体的转动惯量定轴转动的转动定理

定轴转动的功能原理定轴转动的角动量守恒

这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。1本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴核心内一.刚体——力学中物体的一种理想模型。刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体视为刚体。(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。(b)刚体有确定的形状和大小。(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形状都始终保持不变。刚体的特征：§3-1刚体模型及其运动2一.刚体——力学中物体的一种理想模型。刚体：运动中形状和二.刚体的平动和转动如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来代表整个刚体的平动。比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动还是转动？3二.刚体的平动和转动如果刚体在运动中,刚体内任

刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看作是平动和转动的结合。

如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动的,就称为定轴转动。

刚体在作定轴转动时,由于各质点到转轴的距离不同,所以各质点的线速度、加速度一般是不同的。二.定轴转动的描述r图3-1但由于各质点的相对位置保持不变,所以描述各质点运动的角量,如角位移、角速度和角加速度都是一样的。4刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般运动可看r图3-1

1描述定轴转动刚体的运动的角量角坐标：角位移：单位：rad角速度方向：与转向成右手螺旋关系。5r图3-11描述定轴转动刚体的运动的角量角角加速度角加速度为角速度对时间t的一次导数，或为角坐标对时间t的二次导数。单位：弧度/秒2，rad/s2,s-2方向：角速度变化的方向。6角加速度角加速度为角速度对时间t的一次导数，或为角坐标对

对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？2线量与角量之间的关系刚体转过刚体上的一点位移线位移和角位移的关系7对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速速度与角速度之间的关系加速度与角加速度之间的关系

将质点的加速度可分解为切向加速度和法向加速度.将式两边同除8速度与角速度之间的关系加速度与角加速度之间的关系由若角加速度=c(恒量)，则有9由若角加速度=c(恒量)，则有9

例3－1一飞轮转过角度和时间关系为式中a、b、c均为常量。求它的角加速度。解：飞轮角速度表达式角加速度是角速度对时间的导数表达式可见飞轮在作变速转动。10例3－1一飞轮转过角度和时间关系为式中a、b决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目，叫做这个系统的自由度数。三.自由度意义：物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。例如：一个质点在三维空间自由运动时，决定其空间位置需三个独立坐标，如直角坐标系的x，y，z，因此，自由质点的自由度为3，这三个自由度叫平动自由度．11决定这个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确定刚体的位置，我们可先确定刚体质心的位置，这需要三个平动自由度；然后取通过刚体质心的某一轴线作转轴，为了确定该轴的空间取向，需要知道该转轴与直角坐标系三个坐标轴之间的夹角α、β、γ，但α、β、γ之间存在关系式cos2α+cos2β+cos2γ=1，即α、β、γ三者中只有两个是独立的，因而，决定刚体转轴所需自由度为2；最后，还需知道刚体绕转轴转过的角度φ，故自由刚体的转动自由度为3，总自由度为6．问题：

定轴转动刚体的自由度是多少？答案：112对于自由刚体，它既有平动又有转动，为了确定刚

§3-2力矩转动惯量

定轴转动定理一.力矩力的作用线通过转轴或是平行于转轴，无法使物体转动。力的大小、方向和力的作用点相对于转轴位置，是决定转动效果的几个重要因素。13§3-2力矩转动惯量定轴转动定理一.力矩力力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示在转动平面内不在转动平面内只考虑垂直于转轴的作用力14力的大小与力臂乘积为力对转轴的力矩。用M表示在转动平面内不力矩有大小和方向,是矢量力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示。M方向垂至于r和F所构成平面。由右手螺旋法则确定。15力矩有大小和方向,是矢量力矩矢量M可用矢径r和力F的矢积表示对各质点求和，并注意到按质点角动量定理，有

设有一质点系,第i个质点的位矢为ri,外力为Fi,内力为,mi：得二定轴转动定律16对各质点求和，并注意到按质点角动量定理，有设=M质点系所受的合外力矩=L质点系的总角动量于是得(3-2)式(3-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量定理。显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。17=M质点系所受的合外力矩=L质点系的总角动量于是得(3-上式称为物体定轴转动方程。

对定轴转动的刚体,J为常量,d/dt=,故式(4-7)又可写成

上式是一矢量式,它沿通过定点的固定轴z方向上的分量式为这就是刚体定轴转动定律，它是刚体定轴转动的动力学方程。

M=J(3-5)(3-4)(3-3)(Lz=J)18上式称为物体定轴转动方程。上式是一矢量式,2当一定时，是刚体转动惯性大小的量度注意：1改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是力矩，而不是力！如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速度一定大，则错。192当一定时，是刚体转动惯性大小的量度注意：2为瞬间作用规律。一旦，立刻，匀角速度转动。3和，均对同一转轴而言。4代表作用于刚体的合外力矩，特别强调：系统所受合外力为零，一对力偶产生的力矩不为零。

以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问题的方法。202质量m—物体平动惯性大小的量度。转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。

三

转动惯量

动量:p=m角动量:L=J1.转动惯量的物理意义21质量m—物体平动惯性大小的量度。三转动惯量J=Δmiri2

(3-6)即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘以它到转轴距离的平方的总和。(2)质量连续分布刚体(3-7)式中:r为刚体上的质元dm到转轴的距离。(1)质量离散分布刚体2.转动惯量的计算22J=Δmiri2

3.平行轴定理Jo=Jc+Md2

(3-8)Jc通过刚体质心的轴的转动惯量;M

刚体系统的总质量;d

两平行轴(o,c)间的距离。JoJcdCMo图3-2233.平行轴定理Jo=Jc+Md2o

通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为

JO=

(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的细杆连接,如图3-3。系统对通过质心C且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为3+ml2=2ml2=ml2+(3m)r2=2ml2例题3-2质量离散分布刚体:J=Δmiri2ml2lll·cr图3-3mmm24o通过o点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为

(2)用质量不计的细杆连接的五个质点,如图3-4所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点,转动惯量为JO=m.02=30ml2+2m(2l2)+3m(2l)2+4ml2+5m(2l2)om2m3m4m5mllll图3-425(2)用质量不计的细杆连接的五个质点,如记住！

(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。例题3-3质量连续分布刚体:

若棒绕一端o转动，由平行轴定理，则转动惯量为

图3-5Cdxdmxxo解方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx,然后积分得o26记住！(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通R

(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽dr的圆环积分：

(2)均质细圆环(m,R)绕中心轴转动时，其转动惯量为

dm图3-6rdr27R(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转动时，可将圆盘划确定转动惯量的三个要素:(1)与刚体总质量有关。总质量越大，刚体转动惯量越大。(2)与质量分布有关。刚体上质量分布离轴越远，转动惯量越大。(3)与转轴的位置有关。28确定转动惯量的三个要素:28

解由M=J,=o+t有外力矩时,

例题3-4以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。撤去外力矩时,-Mr=J2,

2=/t2(2)代入t1=10s,t2=100s,

=(100×2)/60=10.5rad/s,解式(1)、(2)得

J=17.3kg.m2。20=J1，1=/t1(因o=0)20-Mr=J1，1=/t1(因o=0)(1)29解由M=J,=

解

对柱体,由转动定律M=J有

mg.R=J这式子对吗？错！此时绳中张力Tmg。正确的解法是用隔离体法。

例题3-5质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mgT图3-7mMR对m:mg-T=ma对柱：TR=J

a=R解得=2mg/[(2m+M)R],T=Mmg/(2m+M)。30解对柱体,由转动定律M=J有例题3-5

m:

mg-T2=maa=R1=r2,2=2ah求解联立方程，代入数据，可得

=2m/s,T1=48N,T2=58N。m1:T1R=m1R21

m2:T2r-T1r=m2r22例题3-6两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量m1=24kg，m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开始下落h=0.5m时，物体m的速度及绳中的张力。

解各物体受力情况如图所示。T1T1图3-8m1R1m22rT2mgm31m:mg-T2=mam1:T1R小结:若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动处理办法：对平动的物体，分析受力，按照列方程。对转动的刚体，分析力矩，按照列方程。补加转动与平动的关联方程联立求解各方程。32小结:若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动处理办法：对平

例题3-7匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？

解将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环，用积分计算出摩擦力矩。o图3-9水平桌面rdr33例题3-7匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速于是得由=

o+t=0得

又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为o图3-9水平桌面rdr34于是得由=o+t=0得又由2-o2§3-3定轴转动中的功能关系(3-10)力矩的功率是一力矩的功(3-11)ZF图3-10dsdopr即：力矩的元功等于力矩M和角位移d的乘积。

设物体在力F作用下，绕定轴oz转动，则力F的元功是

dA=Fdscos(90o-)=Frsind=Md(3-9)35§3-3定轴转动中的功能关系(3-10)力矩的功刚体的转动动能为刚体的转动动能

=刚体上各质点动能之和。

设刚体绕一定轴以角速度转动，第i个质点

Δmi到转轴的距离为ri,

Δmi的线速度i=ri,(各质点的角速度相同)；

相应的动能质点的平动动能为对比！(3-12)二.刚体的转动动能36刚体的转动动能为刚体的转动动能=刚体上各质点动能之和。质点

上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。这便是定轴转动的动能定理。

(3-13)三定轴转动的动能定理对比:质点动能定理：（J=恒量）37上式说明：合外力矩的功等于刚体转动动能的增量。这便是刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定重力势能。根据质心定义，该刚体质心高度为重力势能可以表示为四刚体的重力势能(3-14)38刚体受到保守力作用，可引入势能概念。重力场中刚体就具有一定重

一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,则这系统的机械能也同样守恒。(3-15)式中,hc为刚体质心到零势面的高度。

五机械能守恒定律在刚体系统中的应用在计算刚体的重力势能时，可将它的全部质量集中在质心。刚体的机械能为39一个包括有刚体在内的系统,如果只有保守内力作功,例题3-8均匀细直棒：质量m、长为l，可绕水平光滑固定轴o转动。开始时，棒静止在竖直位置，求棒转到与水平面成角时的角速度和角加速度。Chco图3-11

解

棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功，故机械能守恒。取水平面为零势面，于是有由上得40例题3-8均匀细直棒：质量m、长为l，可

讨论：本题也可先由M=J求出，再用=d/dt积分求出。Chco图3-11角加速度：41讨论：Chco图3-11角加速度：41

例题3-9如图3-12所示，有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，该系统在弹簧为原长时被静止释放。运动过程中绳与滑轮间无滑动。求:(1)重物M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。

，=r

解

(1)系统机械能守恒：h零势面mrMk图3-1242例题3-9如图3-12所示，有一由弹簧、h零势面mrMk图3-12(2)求弹簧的最大伸长量。

令=0，得弹簧的最大伸长量为：

hmax=2Mg/k。43h零势面mrMk图3-12(2)求弹簧的最大伸长量。一.刚体的角动量

刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。

图3-13ZLmiirio式中:

J=Δmiri2称为刚体对z轴的转动惯量。

Li=Δmiiri=Δmiri2

刚体对z轴的角动量就是

Lz=(Δmiri2)

设刚体以角速度绕固定轴z转动(见图3-13),质量为Δmi的质点对o点的角动量为

=J

§3-4定轴转动刚体的角动量定理和角动量守恒定律

44一.刚体的角动量图3-13ZLmiirio式问题：为何动量的概念对刚体已失去意义？P=0图3-13ZLmiirio刚体对z轴的角动量：Lz=J

(3-16)显然，刚体的角动量的方向与角速度的方向相同，沿z轴方向(见图3-13),故也称为刚体对固定轴z的角动量。45问题：为何动量的概念对刚体已失去意义？P=0图(3-17)

上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于物体角动量的增量。这就是定轴转动刚体的角动量定理。由定轴转动方程:若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则

J=常量

(3-18)这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律。

二

定轴转动刚体的角动量定理46(3-17)上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩

当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量的矢量和就保持不变。

对比：

系统角动量守恒是：

系统动量守恒是：

在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。

系统角动量守恒定律：时,时,

(3-19)

三

定轴转动刚体的角动量守恒定律

47当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量的矢量和图3-1448图3-1448

角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞机在未发动前总角动量为零,发动以后旋翼在水平面内高速旋转必然引起机身的反向旋转。为了避免这种情况,人们在机尾上安装一个在竖直平面旋转的尾翼,由此产生水平面内的推动力来阻碍机身的旋转运动。与此类似,鱼雷尾部采用左右两个沿相反方向转动的螺旋浆来推动鱼雷前进,也是为了避免鱼雷前进中的自旋。安装在轮船、飞机、导弹或宇宙飞船上的回转仪(也叫“陀螺”)的导航作用，也是角动量守恒应用的最好例证。

以上内容的学习要点：掌握角动量守恒的条件及用角动量守恒定律求解问题的方法。49角动量守恒在现代技术中有着非常广泛的应用。例如直升飞

例题3-10一匀质细棒：长度为l、质量为m，可绕水平光滑固定轴o转动。棒自水平位置静止摆下，在竖直位置处与物体m相碰，碰后物体沿地面滑行距离S后停止，设物体与地面间的摩擦系数为，求刚碰后棒的角速度。

解

(1)棒的转动，机械能守恒：图3-15om(2)碰撞过程，角动量守恒：50例题3-10一匀质细棒：长度为l、质量为(3)物体的滑行，由功能原理：解得讨论：当l>6S时，

>0,表示碰后棒向右摆；当l<6S时，

<0,表示碰后棒向左摆。图3-15om51(3)物体的滑行，由功能原理：解得讨论：当l>6S时，

解(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：

解得

例题3-11匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3,求:(1)子弹射入后瞬间杆的角速度;(2)杆能转过的最大角度。mooA图3-1652解(1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：mooA图3-16由前转动动能零势面平动动能53由此得：(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：mooA图3-

解

(1)碰撞过程角动量守恒:

例题3-12长为2L、质量为m的匀质细杆，静止在粗糙的水平桌面上，杆与桌面间的摩擦系数为µ。两个质量、速率均为m和的小球在水平面内与杆的两端同时发生完全非弹性碰撞(设碰撞时间极短),如图3-17所示。求:(1)两小球与杆刚碰后，这一系统的角速度为多少？(2)杆经多少时间停止转动？(不计两小球的质量）图3-17mm.o54解(1)碰撞过程角动量守恒:例题解得

(2)摩擦力矩为由=o+t得：图3-17mm.odmdxfr.xo55解得(2)摩擦力矩为由=o+t得：图3-17

例题3-13匀质园盘(M、R)与人(m,视为质点)一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如图3-18所示。当此人从盘的边缘走到盘心时，圆盘的角速度是多少？

解(1)系统(圆盘+人)什么量守恒？系统角动量守恒：o图3-1856例题3-13匀质园盘(M、R)与人(m例题3-14两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将。(填：增大、减小或不变)减小.oo图3-19mmrrJo=(J+2mr2)57例题3-14两个同样的子弹对称地同时射入转

解(1)系统(圆盘+人)什么量守恒？系统角动量守恒：上式正