高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版

任意角及任意角的三角函数任意角及任意角的三角函数要点梳理(1)角:角可以看做平面内由_________绕着端点从时的射线叫做角α的____,旋转终止时的射线叫做角α的____,射线的端点叫做角α的____.(2)角的分类:角分____、____、____(按角的旋转方向).一条射线旋转图形始边终边顶点正角零角负角一条射线旋转图形始边终边顶点正角零角负角(3)在直角坐标系内讨论角①象限角:角的顶点为坐标原点,始边在___________上,建立平面直角坐标系,这样角的终边在第几象限,就说这个角是___________.②象限界角:若角的终边在______上，就说这个角不属于任何象限,它叫象限界角.③与角α终边相同的角的集合:________________________.(4)弧度制①1弧度的角：______________________________叫做1弧度的角.x轴的正半轴第几象限角坐标轴{β|β=k·360°+α,k∈Z}长度等于半径的圆弧所对的圆心角(3)在直角坐标系内讨论角②规定:正角的弧度数为____,负角的弧度数为____,零角的弧度数为__,|α|=____,l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长,r为半径.值与所取的r的大小__关,仅与__的大小有关.④弧度与角度的换算:360°=___弧度;180°=__弧度.⑤弧长公式:_______,扇形面积公式:S扇形=______=________.正数负数0l=|α|r无角②规定:正角的弧度数为____,负角的弧度数为____,正(1)任意角的三角函数定义设α是一个任意角,角α的终边上任意一点P(x,y),它与原点的距离为r(r>0),那么角α的正弦、余弦、正切分别是:sinα=___,cosα=___,tanα=___,它们都是以角为______,以比值为_______的函数.(2)三角函数在各象限内的符号口诀是:______________________________.自变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦自变量函数值一全正、二正弦、三正切、四余弦α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过P作PM垂直于x轴于M,则点M是点P在x知,点P的坐标为(cosα,sinα),即P(cosα,sinα),其中cosα=____,sinα=___,单位圆与x轴的正半轴交于点A,单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T(T′),则tanα=___.我们把有向线段OM、MP、AT(或AT′)叫做α的______、______、_______.OMMPAT余弦线正弦线正切线α的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,OMMPAT余弦3．三角函数的定义(1)在直角坐标系中，利用单位圆可得任意角的三角函数的定义．设α是一任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么①y叫做α的正弦值，记作sin_α，即sinα＝y；②x叫做α的余弦值，记作cos_α，即cosα＝x；③y/x叫做α的正切值，记作tan_α，即tanα＝y/x(x≠0)．(2)已知角α终边上任意一点P(x，y)，它到坐标原点的距离是r(r＞0)，那么任意角三角函数的定义是：①y叫做α的正弦值，记作sin_α，即sinα＝y；(3)三角函数线图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、余弦线和正切线．(3)三角函数线图中有向线段MP，OM，AT分别表示正弦线、基础自测1.A={小于90°的角},B={第一象限的角},则A∩B=______(填序号).①{小于90°的角}②{0°~90°的角}③{第一象限的角}④以上都不对

解析小于90°的角由锐角、零角、负角组成,而第一象限角包含锐角及其他终边在第一象限的角,所以A∩B是由锐角和终边在第一象限的负角组成,又{0°~90°的角}={θ|0°≤θ<90°}，故①、②、③都不对.④基础自测④2.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的中心角的弧度数是_______.

解析

设此扇形的半径为r,弧长是l,1或42.已知扇形的周长是6cm,面积是2cm2,则扇形的中α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),则sinα=________.

解析∵角α终边上一点P(2sin2,-2cos2),∴x=2sin2,y=-2cos2,-cos2α终边上一点P的坐标是(2sin2,-2cos2),-4.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα=则sinα=____.

解析4.α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且【答案】D【答案】D6．与2010°终边相同的最小正角为________．【解析】设β＝2010°＋k·360°(k∈Z)，当k＝－5时，β＝2010°－1800°＝210°，∴与2010°终边相同的最小正角为210°.【答案】210°6．与2010°终边相同的最小正角为________．高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版9如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9如果点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号；(2)若tan(cosθ)·tan(sinθ)＞0，试指出θ所在象限，并用图形表示出所取的范围．(1)若θ在第四象限，试判断sin(cosθ)·cos(s高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版高三数学-任意角的三角函数课件-北师大版【例1】若α是第二象限的角，试分别确定2α,的终边所在位置.判断角θ在哪个象限,只需把θ

改写成θ0+

k·360°(k∈Z),其中0°<θ0<360°.

解∵α是第二象限的角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z).(1)∵2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°(k∈Z),∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y轴的非正半轴上.分析分析(2)∵k·180°+45°<<k·180°+90°(k∈Z),当k=2n(n∈Z)时,n·360°+45°<<n·360°+90°;当k=2n+1(n∈Z)时,n·360°+225°<<n·360°+270°.∴是第一或第三象限的角.(2)∵k·180°+45°<<k·180°+90°((3)∵k·120°+30°<<k·120°+60°(k∈Z),当k=3n(n∈Z)时,n·360°+30°<<n·360°+60°;当k=3n+1(n∈Z)时,n·360°+150°<<n·360°+180°;当k=3n+2(n∈Z)时,n·360°+270°<<n·360°+300°.∴是第一或第二或第四象限的角.

(3)∵k·120°+30°<<k·120°+60°(【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R,若扇形的周长是一定值c(c>0),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积？考查扇形的面积、弧长公式,求最值需转化为基本不等式或二次函数.

解设扇形的弧长为l,则2R+l=c,即2R+αR=c,当且仅当α=2时,等号成立,即当α为2弧度时,该扇形有最大面积分析【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是分析跟踪练习2已知扇形的面积为S,当扇形的中心角为多少弧度时,扇形的周长最小？并求出此最小值.

解设l为扇形的弧长,由故扇形的周长即2r2-c·r+2S=0.由于r存在,故方程有解,因此有Δ=c2-16S≥0,即c≥∴周长c的最小值为所以当扇形的中心角为2rad时,扇形的周长最小,最小值为跟踪练习2已知扇形的面积为S,当扇形的中心角为【例3】(2008·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0,则

α是第___象限角.

解析∵sinα<0,∴α是第三、四象限角;又tanα>0,∴α是一、三象限角.故α是第三象限角.跟踪练习3如果点P(sinθcosθ,2cosθ)位于第三象限,那么角θ所在的象限是第___象限.

解析因为点P(sinθcosθ，2cosθ)位于第三象限,所以sinθcosθ<0,2cosθ<0,即,θ为第二象限角.三二【例3】(2008·全国Ⅱ)若sinα<0且tanα>0【例4】(14分)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求sinα,cosα,tanα的值.本题求α义,可在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),求出r,由定义得出结论.解题示范

解∵角α的终边在直线3x+4y=0上,

∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t)(t≠0),[2分]则x=4t,y=-3t,当t>0时,r=5t,分析【例4】(14分)已知角α的终边在直线3x+4y=0上,求[8分]当t<0时,r=-5t,

[12分]

[14分]

一、填空题1.(2009·江苏常州一模)已知角α是第三象限角,则角-α的终边在第___象限.

解析∵α是第三象限角,∴k·360°+180°<α<k·360°+270°,k∈Z,则-k·360°-270°<-α<-k·360°-180°,k∈Z,则-α的终边在第二象限.二二2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示为_____________________.

解析与610°角终边相同的角为n·360°+610°=n·360°+360°+250°=(n+1)·360°+250°=k·360°+250°(k∈Z,n∈Z).k·360°+250°(k∈Z)2.(2010·连云港模拟)与610°角终边相同的角表示k3.(2010·浙江潮州月考)已知则θ所在象限为第_______象限.

解析

∴sin2θ>0,∴2kπ<2θ<π+2kπ(k∈Z),∴kπ<θ<+kπ(k∈Z).∴θ表示第一或第三象限的角.一或三3.(2010·浙江潮州月考)已知则θ4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点

P(-4cosα,3cosα)则sinθ+cosθ=____.

解析

=5|cosα|=-5cosα,4.(2010·南通模拟)已知角θ的终边经过点5.（2010·福州调研）已知θ∈且sinθ+cosθ=a,其中a∈(0,1),则关于tanθ的值，以下四个答案中,可能正确的是____(填序号).

解析在单位圆中,由三角函数线可知a<1,∴θ不在第一象限,θ∈又∵a>0,∴sinθ+cosθ>0,∴θ∈∴tanθ∈(-1,0).③5.（2010·福州调研）已知θ∈且sin6.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x重合且sinα<0,又P(m,n)是角α终边上一点,且|OP|=则m-n=____.

解析依题意知解得:m=1,n=3或m=-1,n=-3,又sinα<0,∴α的终边在第三象限,∴n<0,∴m=-1,n=-3,∴m-n=2.26.(2009·江西九江模拟)若角α的终边与直线y=3x7.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线

y=-3x(x<0)上,则=____.

解析

∵角α的终边落在直线y=-3x(x<0)上,在角α的终边上取一点P(x0,-3x0)(x0<0),∴-3x0>0,∴P在第二象限,27.(2010·山东济南月考)已知角α的终边落在直线28.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点BA、B两点间的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=___________,其中t∈［0,60］.

解析将解析式可写为的形式,由题意易知A=10,当t=0时,d=0,得=0;当t=30时,d=10,可得8.(2010·南京模拟)某时钟的秒针端点A到中心点O9.(2010·泰州模拟)若0<x<则sinx____(用“>”,“<”或“=”填空).

解析利用数形结合,作出在的图象,同时作出x∈(0,)内的正弦线,由图象易得答案.>9.(2010·泰州模拟)若0<x<则sinx__二、解答题10.（2010·镇江模拟）已知角θ的终边上一点