高等流体力学第三部分课件

PartI:Fundamentals

高等工程流体力学

第三章流体动力学基础PartI:Fundamentals

高等工程流体力学1第三章一元流体动力学基础静止是相对的，运动是绝对的，流体最基本的特征就是它的流动性。由于运动，增加了两个力：流体动力学基础是围绕流速而展开的。

研究方式：将质量守恒定律、牛顿第二定律、动量定理等用于流动→连续性方程、伯努利方程和动量方程。惯性力粘性力与速度有关第三章一元流体动力学基础惯性力粘性力与速度有关2第一节

描述流体运动的两种方法1流场

——流体流动所占据的空间称为流场。2拉格朗日法(描述某一质点的运动)不同的（a，b，c）值代表不同的流体质点。第一节描述流体运动的两种方法3欧拉法(描述物理量在空间的分布)

欧拉法是场的思想,只是关心在t时刻,经过此位置的流体质点所具有的参数,并不关心是哪个质点流经到此位置。

欧拉法通过一个空间点的运动规律，进而获得整个流体运动规律的方法。形象说，是固定在空间某一位置上观察流过该点的每一个流体质点。TheEulerianviewisconcernedwiththefieldofflow,appropriatetofluidmechanics.

同一时刻，不同空间点上的运动参数是不同的；而不同时刻，同一空间点上的运动参数也是不相同；欧拉法(描述物理量在空间的分布)同一时刻，不同空间点4TheLagrangianviewfollowsanindividualparticlemovingthoughtheflow,appropriatetosolidmechanics.4流体质点加速度某一质点，某一时刻，处于流场不同位置，速度是坐标及时间的函数：。LocalaccelerationUnsteady当地加速度ConvectiveaccelerationNonuniform迁移加速度NonlineartermsTheLagrangianviewfollowsa5Substantial(Material)derivative随流（物质、全）导数InthelikemannerAnypropertyΦ引人哈密顿算子Hamiltonoperator——哈密顿算子具有矢量和微分运算的双重性质Substantial(Material)derivat6

——当地加速度:流动过程中流体由于速度随时间变化而引起的加速度——迁移加速度:流动过程中流体由于速度随位置变化而引起的加速度分析如图所示管流的流动加速度：A’

A

B’

B1、在水位恒定的情况下：（1）A

A不存在当地加速度和迁移加速度。（2）B

B不存在当地加速度，但存在迁移加速度。2、在水位变化的情况下：（1）A

A存在当地加速度，但不存在迁移加速度。（2）B

B既存在当地加速度，又存在迁移加速度。——当地加速度:流动过程中流体由于速度随时间变化7

第二节描述流场的几个概念1流线与迹线1.1

迹线

——流体质点运动轨迹线——迹线方程(Pathlineequation)第二节描述流场的几个概念——迹线方程(Pathli81.2

流线

——流场中某一瞬时流体质点的速度方向线

*Whatisastreamline

Astreamline

isthelineeverywheretangenttothevelocityvectoratagiveninstant.1.2流线*WhatisaAstreaml9速度矢量与坐标轴夹角的方向余弦为：该点处流线微元长度ds的切线与坐标轴夹角的方向余弦为：由于流线上a点的切线与a点的速度矢量相重合，所以对应的方向余弦相等，即VVVVz),Vcos(,Vy),Vcos(,Vx),Vcos(zyx===rrraVStreamlineequation(流线方程)VVVVz),Vcos(,Vy),Vcos(,Vx),Vco10由此可得：讨论：1)Streamlinecannotintersect（相交），exceptforsingularitypoint(奇点)

2)Forsteadyflow:Streamline=Pathline。——流线方程aVs1s2交点折点s由此可得：——流线方程aVs1s2交点折点s11例3-1证明椭圆是平面流速场中经过（a，b）的流线。证明：若此流线经过点（a，b），代入上式得由得由流线方程∴流线方程例3-1证明椭圆是平面流速场由得由流线方程∴12Example3-2:Giventhesteadytwo-dimensionalvelocitydistributionu=kx,v=-ky,w=0,wherekisapositiveconstant.Computeandplotthestreamlinesoftheflow,includingdirection.Solution:

Sincetime(t)doesnotappearexplicitly,themotionissteady,sothatstreamlines,pathlineswillcoincide.Sincew=0,themotionistwo-dimensional.Integrating:Hyperbolas(双曲线)Example3-2:Giventhesteadytw13Direction:

u=kx,v=-ky

QuadrantI（第一象限)(x>0,y>0)u>0,v<0

Atthepointo:u=v=0Singularitypoint,(汇)

xyoDirection:u=kx,v=-kyAtthep142恒定流与非恒定流流场中所有流动参数都不随时间的变化——恒定流，否则为非恒定流。

3元流、总流、流量和平均速度

流管：通过任一非流线的封闭曲线上各点的流线所构成的管状曲线。steady(恒定)unsteady(非恒定)2恒定流与非恒定流steady(恒定)unsteady15

流束：流管中包含的全部流体称为流束。

元流：过流断面积无穷小的流束称为元流。

总流：若流管的壁面是流动区域的周界，则流管内所有流体质点的集合称为总流。

过流(水)断面：与流线处处垂直的断面。

体积流量：单位时间通过某一过流(水)断面的流体体积。单位：元流流束：流管中包含的单位：元流16过流断面为平面时：（u的方向与过流断面法线方向一致）过流断面平均速度：4一元流动模型流动参数依赖于空间三个坐标称为三元流动，自然界绝大部分流动都是三元流动。在工程上为简化流动分析，常将三元流动简化成二元甚至一元流动。

例：

——二元流动

rxVrxu过流断面为平面时：rxVrxu17

5均匀流、急变流、渐变流

均匀流：任一确定的流体质点在其运动过程中速度大小和方向均保持不变的流动

急变流：速度大小或方向发生明显变化

渐变流：流体质点速度变化较缓慢的流动。

∵rxurxV而Q＝常数其办法在每个截面上以平均速度V来描述。均匀流急变流渐变流∵rxurxV而Q＝常数其办法在每个截面上以18均匀流特点：1）管道定常流动中，各质点的流线相互平行，过流断面为平面；2）位于同一流线上各质点速度相等；3）过流断面上压强服从静止压强分布规律，亦即同一过流断面上各点的测压管水头相等。证明：过流断面n-n上取任意微小柱体为隔离体，长L，横截面ΔA与铅直方向倾角α，两横截面与基准面的高度为z1，z2，压强p1，p2。αGnnz2z1均匀流特点：αGnnz2z119在n-n方向受力a、压力b、重力分量切力与n-n垂直，不产生分量

均匀流过断面上压强分布与静止流体压强分布相同但是，绝对均匀流是没有的。只要取在渐变流区，也可近似认为∴而∴αLz1-z2αGnnz2z1在n-n方向受力∴而∴αLz1-z2αGnnz2z120

OneTwodimensionalThreeSteadyUnsteadyCompressibleIncompressibleViscousInviscidFlowclassification(汇总)uniformNon-uniformOneSteadyCompressibleViscous21

第三节连续性方程选取一微元体，中心点为M（x，y，z），密度为ρ，边长分别为δx，δy，δz，且分别平行于x，y，z轴，M点速度N点坐标：N点密度：x方向速度分量：通过以N点为中心流入微元体的质量流量DAN.BCGFEM.HO.XZY第三节连续性方程DAN.BCGFEM.HO.XZY22O点坐标：O点密度：x方向速度分量：通过以O点为中心流出微元体的质量流量净流入＝流入－流出＝同理y方向：净流入＝

z方向：净流入＝净流入微元体质量流量＝DAN.BCGFEM.HO.XZYO点坐标：DAN.BCGFEM.HO.XZY23单位时间微元体流体质量增长率根据质量守恒定律：净流入微元体质量流量＝流体质量增长率

将引入得单位时间微元体流体质量增长率将引入得24

——直角坐标系下连续性方程的一般形式。讨论：1)对定常数流动

（表明对定常流动，相同时间里流进和流出微元体质量相等）2)对不可压缩流动

（很多工程上问题可看成不可压缩流，因此在很多推导中会用到此结果）或(流速矢量的散度)或(流速矢量的散度)25例3-3已知三维不可压缩流场，且已知试求流场中Vz的表达示。解：对不可压缩流场

而代入上式代入条件∴即得处例3-3已知三维不可压缩流场，而代入上式代入条件∴即得处26恒定总流连续性方程

在总流中取面积为A1和A2的1，2两断面,设A1的平均流速为，A2的平均流速为，则dt时间内流入断面1的流体质量

dt时间内流出断面2的流体质量根据质量守恒——恒定总流一元连续性方程１２或当流体不可压缩则或恒定总流连续性方程１２或当流体不可压缩则或27例3-4如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=10cm。1）当流量为4L/s时，求各管段的平均流速。2）旋转阀门，使流量增加至8L/s时，平均流速如何变化？解：1）根据连续性方程Q=V1A1=V2A2=V3A3,则V1=Q/A1=8.16m/s,V2=V1A1/A2=2.04m/s,V3=V1A1/A3=0.51m/s2)各断面流速比例保持不变，Q=8L/s,即流量增加为2倍，则各断面流速亦加至2倍。即V1=16.32m/s,V2=4.08m/s,V3=1.02m/sd1d2d3例3-4如图，d1=2.5cm,d2=5cm,d3=1028例3-5断面为50×50cm2的送风管，通过a，b，c，d四个40×40cm2的送风口向室内输送空气，送风口气流平均速度均为5m/s，求通过送风管1-1，2-2，3-3各断面的流速和流量。解：每一送风口流量Q＝0.4×0.4×5=0.8m3/s

Q0＝4Q＝3.2m3/s根据连续性方程

Q0＝Q１＋Q２Q１＝Q0－Q＝3Q＝2.4m3/sQ0＝Q２＋2QQ２＝Q0－2Q＝2Q＝1.6m3/sQ0＝Q3＋3QQ3＝Q0－3Q＝0.8m3/sQ0abcd123123→例3-5断面为50×50cm2的送风管，通过Q0abcd29各断面流速

壶口瀑布是我国著名的第二大瀑布。两百多米宽的黄河河面，突然紧缩为50米左右，跌入30多米的壶形峡谷。入壶之水，奔腾咆哮，势如奔马，浪声震天，声闻十里。“黄河之水天上来”之惊心动魄的景观。

Q0abcd123123各断面流速壶口瀑布是我国著名的第二大瀑布。两百30第四节理想不可压缩流体运动微分方程

理想(Ideal)流体——没有粘性的流体。如图，在直角坐标系中，取一边长为δx、δy、δz的微元体ABCDEFGH，且每边分别平行于x，y，z轴，M（x，y，z）点为微元体中心点，点和点为ABCD，EFGH面的中点。

M点压强为p。

M点速度

M点单位质量力由于流体为理想流体，则作用在微元体上的外DAN.BCGFEM.HO.xzy第四节理想不可压缩流体运动微分方程DAN.BCGFEM.H31力只有质量力(重力）和垂直于表面的压力。1）在x方向合压力2)在x方向的质量力根据牛顿第二定律：ABCD面所受压力EFGH面所受压力∴所受合压力DAN.BCGFEM.HO.xzy力只有质量力(重力）和垂直于表面的压力。ABCD面所受压力E32

即同理，在其它两个方向同样可得：写成矢量式——理想不可压缩流体运动微方程（欧拉方程）即同理，在其它两个方向同样可得：写成矢量式——理想不可压缩流33

讨论：1）在受力分析中，没有考虑流体粘性，所以方程只适于理想流体。

2）在此方程中共有8个参数，一般X、Y、Z及ρ同理又由于∴欧拉方程还可以写成Euler’sequation同理又由于∴欧拉方程还可以写成Euler’sequati34为已知及p为未知参数，还需补充方程（一般为连续性方程），理论上方程完全可以求解，但除少数情况，这种非线性微分方程组的解析解很难确定。3)对静止流体

——静止流体平衡微分方程4）对一元流动

∴对一元恒定流动为已知及p为未知参数，还需补充方程（一般∴对一元恒35第五节沿流线方向欧拉方程及其积分1、沿流线方向的欧拉方程

1）流线与流速矢量相切。

2）在恒定流动中，流线与迹线重合。将恒定流动欧拉方程沿流线方向投影其中XS表示单位质量力沿流线方向的分量。

u表示流线上的速度。单位质量力在流线坐标方向的分量sdzdsudzdsθ而θgsg第五节沿流线方向欧拉方程及其积分sdzdsudzdsθ而θ36——理想不可压缩一元流体伯努利方程2、元流（流线）伯努利方程的意义

1）能量意义∴或积分（常数）故以上方程可表示为··12若在流线上任意取两点∴或积分（常数）故以上方程可表示为··12若在流线上任意取37p/γ：单位重量流体具有的压能z：单位重量流体的势能（或位能）u2/2g：单位重量流体具有的动能

——单位重量流体所具有的总机械能沿任意一条流线保持不变。

2）几何意义p/γ：压强水头（压强作用使流体沿测压管所能上升的高度）z：位置水头（流体质点相对于基准的高度）u2/2g：速度水头（以断面速度u为初速度铅直上升所能达到的高度）

——沿流线（元流）总水头为常数。

单位重量流体所具有的总机械能以总水头H表示p/γ：单位重量流体具有的压能单位重量流以总水头38符号能量意义几何意义单位重流体的位能位置水头单位重流体的压能压强水头单位重流体的动能速度水头单位重流体总势能测压管水头单位重流体总机械能总水头符号能量意义几何意义单位重流体的位能位置水头单位重流体的压能39HGLEL——流动问题,一般会使用连续性方程以及伯努利方程联立求解HGLEL——流动问题,一般会使用连续性方程以及伯努利方程联40例3-6水从水箱中沿一变直径管流出,若，不计损失，试求水管中水量，并绘制测压管线。解：写出进口0与出口4伯努利方程绘测压管线,总水头线-速度头=测压管线(算出速度头)∴Hd2d1d3d404例3-6水从水箱中沿一变直径管流出,若，∴Hd41例3-7图示一射水装置：已知断面1-1处直径，断面2-2处，试问：1）断面1-1处压强是多少？2）若水位h1增加，则1-1处压强是增大还是减小？Hd1d2d3d4Hd1d2d3d442

3）若水位h1不变，而使水面处压强p0>pa，1-1处压强如何？解：由00与22伯努利方程得:由连续方程u1A1=u2A2得:11-22引用伯努利方程001122h1h23）若水位h1不变，而使水面处压强p0>pa，1-1处压43

∴h1↗，p1↘(2)∵(3)由00-22引入伯努利方程由11-22引入连续性方程得∵∴p0↗，p1↘由00-11引入伯努利方程001122h1h2∴h1↗，p1↘(2)∵(3)由00-22引入伯努443、毕托管测速原理管前端B迎向来流,有通路与B′端相通;侧壁有多个开孔C,有通路与C′端相通;水流最初由B,C处流人,并分别沿管上升一定高度后达到稳定.此后,流体不再由B,C流人.沿流线A、B、C分析：流体质点沿流线由A→B，流速由u→0，B点称为滞止点。2)由B→C流速又由0逐渐恢复到u。（误差统一修正）B′∆hA,BCCuC′3、毕托管测速原理（误差统一修正）B′∆hA,BCCuC′45沿流线BC写伯努利方程而则方程简化为∴若所测为液体∴(Φ流速系数)B′∆hA,BCCuC′考虑误差修正zCzBuCB沿流线BC写伯努利方程而则方程简化为∴若所测为液体∴(Φ流速46代入则若测气体流场,两端接液柱差压计V(为液柱式压差计所用液体容重)代入则若测气体流场,两端接液柱差压计V(为液柱式压差计所47对实际流体在流动时为了克服由于粘性的存在所产生的阻力将损失掉部分机械能，因而流体微团在流动过程中，其总机械能沿流动方向不断地减少。如果粘性流体从截面1流向截面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总机械能。若以表示元流1、2两断面间单位重量流体流动能量损失：

··12——RealfluidsBernoulli’sequation对实际流体··12——RealfluidsBernoul48第六节实际总流伯努利方程设有一不可压缩恒定流动，在总流各自处于渐变流的流断上，任意选取两个过流断面。单位重量元流伯努利方程方程两端同乘以元流重量流量γdQ在整个过流断面进行积分：z1z2第六节实际总流伯努利方程在整个过流断面进行积分：z1z249上述积分可分为三个部份渐变流过流断面服从液体静压强分布规律z1z21）∵渐变流过流断面服从液体静压强分布规律z1z21）∵502）令动能修正系数上式3）令单位重量流体1、2断面平均能量损失为则2）令动能修正系数上式3）令单位重量流体1、2断面平均能量损51综上可得方程两端同除以

讨论：（1）恒定不可压缩。（2）选在渐变流。（3）功率输入H输入（如泵)——不可压缩恒定总流伯努利方程γQH输入12综上可得——不可压缩恒定总流伯努利方程γQH输入1252功率输出H输出（如汽轮机）（4）有分流或合流仍然适用H输出12功率输出H输出（如汽轮机）H输出1253第七节总流伯努利方程应用方程应用说明：1）首先选两个过流断面，其中之一断面应该具有最多的已知数据，另一断面应包含所求未知数；2）如果有两个未知数，一般还要列出两断面的连续性方程；3）选择恰当的基准面；例3-8将一内径为d，长度为L的圆管道，如图接到水箱上，水箱中水面标高保持高h1,管道出口h2，管第七节总流伯努利方程应用54道损失求管道中水的流速，以及画出水头线。解：列出水面1，管道出口2的伯努利方程：∵∴HPV2/2gHPzhwh1h2道损失∵∴HPV2/2gHPzhwh1h255例3-9装水的圆柱形容器直径D=50mm，水由底面上直径d=5mm的小孔排出，若在起始，h0=0.4m，求t=12s时水深浅为多少？解：假设t时刻高为h

引人伯努利方程则管道出口处总水头H2=h1-hw=4.76m任意处测压管水头线：

因为管径不变,所以速度水头也不变,故测压管水头线为一条平行于总水头线的直线.dhh0h则管道出口处总水头H2=h1-hw=4.76m任意处测压管水56在dt时间，下降体积=流出体积代人数据：dhh0h∴

？dhh0h∴？57例3-10一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图。泵出口压力（A点压力）为2个大气压（表压），泵排出管断面直径为50mm；喷嘴出口C的直径20mm；水龙带的水头损失设为0.5m；喷嘴水头损失为0.1m。试求喷嘴出口流速、泵的排量及B点压力。泵例3-10一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位置如图。泵出口压力58泵解:取A、C两断面写能量方程：

通过A点的水平面为基准面，则；

（大气中），水的容重重力加速度；水柱，即

将各量代入能量方程后，得泵解:取A、C两断面写能量方程：通过A点59解得喷嘴出口流速为。泵的排量为为计算B点压力，取B、C两断面计算，即

通过B点作水平面基准面，则

代入方程得解得压力泵解得喷嘴出口流速为60第八节恒定气流能量方程由，方程两端同乘γ

工程上一般采用表压表示，对液体γ液》γ气，可认为液面气压相等，但对气体，不同高程处大气压强不相等，若高差较大，或管内外气体容重不相等，则要考虑高度引起大气压强差异。设断面z1大气压强pa1，则(p1为z1处表压）第八节恒定气流能量方程61断面z2大气压强由

1）p1，p2：静压2）：动压∴——恒定气体总流能量方程1122z1z2γγa代入1122z1z2γγapa1pa2断面z2大气压强由∴——恒定气体总流能量方程1122z1z2623）：位压若气流方向与作用力（重力或浮力）相同，位压为正；若气流方向与作用力（重力或浮力）相反，位压为负。专业上：势压（静压＋位压）总压（静压＋位压＋动压）（静压＋动压）全压3）：位压势压（静压＋位压）总压（静压＋位压＋63例3-11矿井竖井和横向坑道相连，竖井高为200m，坑道长300m，坑道和竖井内气温保持t=15°，密度ρ=1.18kg/m3，坑道外气温清晨t=5°,ρm=1.29kg/m3，中午t=20°，ρn=1.16kg/m3，问早、午空气流向及气流大小？假定总的损失为解：1)早晨空气外重内轻，故气流向上流动。在进口外大气中选一断面b，写出b,a两点能量方程：代入数据：午早ab例3-11矿井竖井和横向坑道相连，竖井高为200m，坑午早64得：v=6.03m/s(流出)2）中午空气内重外轻，故气流向下流动，进口外大气中选取一断面a，写出a,b两点能量方程，整理后得：得：v=2.58m/s(流进)午早ab得：v=6.03m/s(流出)午早ab65第九节恒定流动量方程物体质量m和速度的乘积为物体的动量。作用于物体的所有外力的合力和作用时间dt的乘积为物体的冲量。动量定律指出：作用于物体的冲量等于物体的动量增量：t时刻，该控制体的流体为1122，t+dt时刻，该控制体流体为在dt时间内动量变化情况：t时刻：t+dt时刻：111′1′222′2′ab,b′c第九节恒定流动量方程111′1′222′2′ab,b′66∴dt时间内动量变化

（∵定常流动）而设作用在控制体所有外力，根据动量定律：而∴引入单位矢量111′1′222′2′ab,b′c∴dt时间内动量变化而∴引入单位矢量111′1′222′67对整个总流1）方程左端是作用在控制体上的全部外力求和，一般包括：重力、进出流断的压力、控其中动量修正系数——恒定流动量方程对整个总流其中动量修正系数——恒定流动量方程68制体所受固体壁对流体的作用力。2）该方程为矢量，一般分解成三个方程分量：

3）在应用此方程时：首先应确定一控制体，且进出过流断面应选在缓变流或均匀流区；另需建立一个坐标系，如果所求未知力方向不能判别时，可先任意假设一个方向。例3-12水在直径为10cm的60°水平弯管中以5m/s流制体所受固体壁对流体的作用力。69速流动，弯管前端压强为0.1at，如不计损失，亦不考虑重力作用，求水流对弯管的作用力。解：1）取控制体，进口、出口及管壁组成1122；

2）选择坐标系，如图x轴与弯管进口前管道轴线一致；

3）

由于不考虑重力，∴

管壁→水作用力为假设与x轴成角；另：方向沿x轴正方向（已知）方向垂直于断面22，且指向控制体内（未知）P1P260°α1122xyR壁-水速流动，弯管前端压强为0.1at，如不计损失，亦不P1P2670根据伯努利方程∵截面积不变∴4）由动量方程：P1P260°α1122xyR壁-水根据伯努利方程∵截面积不变∴4）由动量方程：P1P260°71

（大小相等，方向相反）例3-13叶片以匀速Ve沿x方向运动，截面为A0的一股水流沿叶片切向方向射入，与水平方向成θ角流出，设射流速度V0不变，不计磨擦及重力影响，求水流对叶片的反作用力及对叶片所作功率。（未知数，,两个方程）则P1P260°α1122xyR壁-水（未知数，,两个方程）则P1P260°α1122xyR72解：设坐标系及取CV由动量方程∴进口速度出口速度（伯努利方程）而则YXVeθV0,A0解：设坐标系及取CV∴进口速度出口速度（伯努利方程）而则Y73∴功率∴功率74动量方程的其它应用

水平弯管射流的背压

如图表示一水平转弯的管路，由于液流在弯道改变了流动方向，也就改变了动量，于是就会产生压力作用于管壁。因此在设计管道时，在管路拐弯处必须考虑这个作用力，并设法加以平衡，以防管道破裂。1、流体作用于弯管的力(一般情况下)动量方程的其它应用水平弯管射流的7