2018年中考选择填空压轴题专题7：圆的综合问题(含答案)

2018年中考选择填空压轴题专题7：圆的综合问题(含答案)专题07圆的综合问题例1.如图，点A是半圆上的一个三等分点，点B为弧AD的中点，P是直径CD上一动点，⊙O的半径是2，则PA+PB的最小值为（）解析：由于点A是半圆上的一个三等分点，所以∠BAP=60°，又因为PB=AB-AP，所以PB=2sin60°-AP=sqrt(3)-AP。因此，PA+PB=PA+sqrt(3)-AP=sqrt(3)+(PA-AP)。又因为PA+AP=2，所以PA-AP=2PA-2=2(PA-1)。因此，PA+PB=sqrt(3)+2(PA-1)。当PA=1时，PA+PB=sqrt(3)+2×0=sqrt(3)；当PA=2时，PA+PB=sqrt(3)+2×1=sqrt(3)+2。因此，PA+PB的最小值为sqrt(3)。答案：A同类题型1.1如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，连结CD，延长AC，BD，相交于点F．现给出下列结论：①若AD=5，BD=2，则DE=5/2；②∠ACB=∠DCF；③△FDA∽△FCB；④若直径AG⊥BD交BD于点H，AC=FC=4，DF=3，则cosF=4/8；则正确的结论是（）解析：由于AD平分∠BAC，所以∠ABD=∠ACD，又因为⊙O是△ABC的外接圆，所以∠ACD=∠ABC，因此∠ABD=∠ABC，所以BD平分∠ABC，所以DE=BE=AB-BD=AC-BD=3，因此①正确。由于AD平分∠BAC，所以∠FAD=∠FCD，又因为∠ACB=∠ADB，所以∠FCD=∠ACB，因此∠FAD=∠ACB，所以∠DCF=∠ACB，因此②正确。由于∠DCF=∠ACB，所以△DCF∽△ACB，所以DC/AC=CF/AB，因此DF/AC=CF/AB-AC/AB=BF/AB，所以△FDA∽△FCB，因此③正确。由于直径AG⊥BD，所以∠FAG=90°，又因为AC=FC=4，DF=3，所以△FDA和△FCB都是3-4-5的直角三角形，因此cosF=DF/FC=3/4，因此④错误。综上所述，正确的结论是①③。答案：A同类题型1.2一张圆形纸片，小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．（4）连结AE、AF，如图（5）所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S△AEF：S圆=33：4π，以上结论正确的有（）解析：由于圆形纸片左右对折，所以AB是圆的直径，又因为将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，所以CD∥EF，因此①正确。由于AB是圆的直径，所以BM⊥AB，又因为将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，所以BM=ME，因此四边形MEBF是菱形，因此②正确。由于将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，所以BN=NM，又因为AE=EB，所以AN=NE，因此△AEF为等边三角形，因此③正确。由于圆形纸片左右对折，所以AB是圆的直径，设其长度为d，则圆的面积为πd²/4，又因为将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，所以AM=d/2，BM=d/2，因此ME=√2d/2=d/√2，因此四边形MEBF的面积为d²/4，因此△AEF的面积为πd²/4-d²/4=πd²/4-33/4，因此S△AEF：S圆=πd²/4-33/4：πd²/4=33：4π，因此④正确。综上所述，以上结论全部正确。答案：D例2.如图，△ABC中，BC=4，∠BAC=45°，以42为半径，过B、C两点作⊙O，连OA，则线段OA的最大值为______________．解析：由于以42为半径，过B、C两点作⊙O，所以BO=CO=42，又因为∠BAC=45°，所以∠BOC=90°，因此BC²=BO²+OC²=2×42²，因此BC=2√2×42，又因为OA=2BC，所以OA=4√2×42，因此线段OA的最大值为4√2×42。答案：无同类题型2.1如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，OM=3，则sin∠CBD的值等于（）解析：由于△ABC内接于⊙O，所以AB、BC、CA是⊙O上的弦，因此AB=2sinB，BC=2sinC，CA=2sinA，又因为∠BAC=90°，所以sinA=1/2，因此CA=1，又因为BD⊥AC，所以∠CBD=90°-∠BAC=45°，又因为OM⊥AB，所以OM=sinB，因此BM=2sinB，又因为OM=3，所以sinB=3/2，因此BM=3√2，又因为BD⊥AC，所以△BDC∽△ABC，因此BD/AB=DC/BC，因此BD/2sinB=DC/2sinC，因此BD/2=DC/2sinC×sinB=DC/2sin(45°+B)。因此BD/DC=sin(45°+B)/2，因此sin∠CBD=BD/BC=sin(45°+B)/2sinB=sin(45°+B)/3。答案：C同类题型2.2如图，直线l经过⊙O的圆心O，与⊙O交于A、B两点，点C在⊙O上，∠AOC=30°，点P是直线l上的一个动点（与圆心O不重合），直线CP与⊙O相交于点M，且MP=OM，则满足条件的∠OCP的大小为_______________．解析：由于直线l经过⊙O的圆心O，所以AB是直径，又因为∠AOC=30°，所以∠ABC=60°，因此BC=AB/2，又因为∠OMC=90°，所以OM=MC=1，又因为MP=OM，所以三角形OMP是等腰三角形，因此∠OMP=∠OPM，又因为∠AOC=30°，所以∠OAB=∠OBA=75°，因此∠ACB=150°，所以∠MCB=75°，又因为OM=1，所以BM=2sin75°=2(√6+√2)/4=(√6+√2)/2，又因为MP=OM=1，所以BP=BM-1=(√6+√2)/2-1/2=(√6+√2-1)/2，又因为MP=OM=1，所以△MCP是等腰三角形，因此∠MCP=∠MPC，又因为MP=OM=1，所以△OMP是等腰三角形，因此∠OMP=∠OPM，因此∠OCP=∠MCP+∠OMP=2∠MCP，又因为M是圆上的点，所以∠MCP=∠BCP，因此∠OCP=2∠BCP。又因为BC=AB/2，所以∠BCP=∠BAP=75°/2=37.5°，因此∠OCP=2×37.5°=75°。答案：75°同类题型2.3如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=12，AB=10，D是AC上一个动点，以AD为直径的⊙O交BD于E，则线段CE的最小值是（）解析：由于∠BAC=90°，所以BC=√(AC²-AB²)=2√19，又因为以AD为直径的⊙O交BD于E，所以∠ADE=∠ABE=∠ACB，因此△ADE∽△ACB，因此DE/AC=AC/BC，因此DE=AC²/BC=72/19，又因为BD=DC+BC，所以CE=BD-BE=BD-AE=AB-AD=8，因此线段CE的最小值是8。答案：D如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于圆O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则GH的值为多少？解析：因为正方形ABCD和正三角形AEF都内接于圆O，所以OA=OB=OC=OD，OE=OF，且∠AOF=60°，∠BOC=90°，所以∠EOF=∠BOC-∠BOE-∠EOC=90°-30°-60°=0°，所以E、O、F三点共线，且OE=OF=OG=OH，所以四边形OGHE是菱形，GH=OG=OH=OE=OF=AG=AF=√2/2×AB=AB/√2=1/√2×AB。改写后：已知正方形ABCD和正三角形AEF都内接于圆O，且EF与BC，CD分别相交于点G，H。因为正方形ABCD和正三角形AEF都内接于圆O，所以OA=OB=OC=OD，OE=OF，且∠AOF=60°，∠BOC=90°，所以∠EOF=∠BOC-∠BOE-∠EOC=90°-30°-60°=0°，所以E、O、F三点共线，且OE=OF=OG=OH，所以四边形OGHE是菱形。因此，GH=OG=OH=OE=OF=AG=AF=√2/2×AB=AB/√2=1/√2×AB。题目5.1：在半径为2cm，圆心角为90°的扇形OAB中，分别以OA、OB为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为多少？解析：根据题意，可以画出如下图所示：由于阴影部分是由两个半圆和一个扇形组成，因此可以分别计算它们的面积，再相减得到阴影部分的面积。扇形OAB的面积为：$$S_{\text{扇形}}=\frac{1}{2}\timesr^2\times\theta=\frac{1}{2}\times2^2\times90^\circ=\pi\text{cm}^2$$半圆OAC的面积为：$$S_{\text{半圆}}=\frac{1}{2}\times\pir^2=\frac{1}{2}\times\pi\times2^2=2\pi\text{cm}^2$$半圆OBD的面积也是$2\pi\text{cm}^2$。因此，阴影部分的面积为：$$S_{\text{阴影}}=S_{\text{扇形}}-S_{\text{半圆}}-S_{\text{半圆}}=\pi\text{cm}^2-2\pi\text{cm}^2=-\pi\text{cm}^2$$由于阴影部分的面积不能是负数，因此题目有误。题目5.2：某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（E为上切点），与左右两边相交（F，G为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，根据设计要求，若∠EOF＝45°，则此窗户的透光率（透光区域与矩形窗面的面积的比值）为多少？解析：根据题意，可以画出如下图所示：由于圆O与矩形ABCD相切，因此可以得到：$$AD=2r=2\text{m}$$由于圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，因此可以得到：$$AC=2AD=4\text{m}$$根据勾股定理，可以得到：$$AB=\sqrt{AC^2+AD^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\text{m}$$由于圆O与矩形上下两边相切，因此可以得到：$$EF=2r=2\text{m}$$由于圆O与矩形左右两边相交，因此可以得到：$$FG=2r=2\text{m}$$根据题意，可以得到∠EOF＝45°，因此可以得到：$$\angleEOG=90^\circ-\angleEOF=45^\circ$$由于圆O的圆心与矩形ABCD对角线的交点重合，因此可以得到：$$OG=OD-EG=AD-EG=AD-r=2\text{m}-1\text{m}=1\text{m}$$因此，矩形ABCD的面积为：$$S_{\text{矩形}}=AB\timesAD=2\sqrt{5}\text{m}\times2\text{m}=4\sqrt{5}\text{m}^2$$圆O的面积为：$$S_{\text{圆}}=\pir^2=\pi\text{m}^2$$半圆EOF的面积为：$$S_{\text{半圆}}=\frac{1}{2}\times\pir^2=\frac{1}{2}\times\pi\times1^2=\frac{1}{2}\pi\text{m}^2$$由于阴影部分是由矩形ABCD、圆O、半圆EOF、三角形EOG、三角形FOG组成，因此可以分别计算它们的面积，再相加得到阴影部分的面积。三角形EOG的面积为：$$S_{\triangle\text{EOG}}=\frac{1}{2}\timesEG\timesOG=\frac{1}{2}\times1\text{m}\times1\text{m}=\frac{1}{2}\text{m}^2$$三角形FOG的面积也是$\frac{1}{2}\text{m}^2$。因此，阴影部分的面积为：$$S_{\text{阴影}}=S_{\text{矩形}}-S_{\text{圆}}-S_{\text{半圆}}-S_{\triangle\text{EOG}}-S_{\triangle\text{FOG}}=4\sqrt{5}\text{m}^2-\pi\text{m}^2-\frac{1}{2}\pi\text{m}^2-\frac{1}{2}\text{m}^2-\frac{1}{2}\text{m}^2$$因此，此窗户的透光率为：$$\frac{S_{\text{透光区域}}}{S_{\text{矩形}}}=\frac{S_{\text{矩形}}-S_{\text{阴影}}}{S_{\text{矩形}}}=\frac{\pi\text{m}^2+\frac{1}{2}\pi\text{m}^2+\frac{1}{2}\text{m}^2+\frac{1}{2}\text{m}^2}{4\sqrt{5}\text{m}^2}=\frac{3\pi+1}{8\sqrt{5}}\approx0.41$$因此，此窗户的透光率约为0.41。题目中的图未给出，无法准确判断，建议补充图或删除该题。同类题型1.2小芳进行了如下连续操作：（1）将圆形纸片左右对折，折痕为AB，如图（2）所示．（2）将圆形纸片上下折叠，使A、B两点重合，折痕CD与AB相交于M，如图（3）所示．（3）将圆形纸片沿EF折叠，使B、M两点重合，折痕EF与AB相交于N，如图（4）所示．（4）连结AE、AF，如图（5）所示．经过以上操作小芳得到了以下结论：①CD∥EF；②四边形MEBF是菱形；③△AEF为等边三角形；④S圆＝33：4π，以上结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：由题意，可知：①CD∥EF，故①正确；②根据垂径定理，BM垂直平分EF，又∵纸片沿EF折叠，B、M两点重合，∴BN＝MN，∴BM、EF互相垂直平分，∴四边形MEBF是菱形，故②正确；③如图，连接ME，则ME＝MB＝2MN，△AEF为等边三角形，故③正确；④根据圆的面积公式，S圆＝πr²，可知S圆＝π×(AB/2)²，又AB=2r，代入可得S圆＝πr²＝π×(AB/2)²＝π×(5/2)²＝25π/4，故S圆＝33：4π不正确，故④不正确。综上所述，正确的结论有3个，故选C。首先，文章中的符号和公式有格式错误，需要进行修正。修正后的文章如下：由于AM=ME（都是半径），因此∠AEM=∠EAM。又因为∠EMN=2×60°=30°，所以∠AEM=2∠EMN=30°。因此，∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°。同理可得∠AFE=60°，所以∠EAF=60°。因此，△AEF是等边三角形，故选项③正确。设圆的半径为r，则MN=2r，EN=2r，因此EF=2EN=3r，AN=r+2r=2r。因此，S△ABC=(1/2)×3r×r=3/2r²，所以S△ABC:S圆=(3/2r²):πr²=33:4π，故选项④正确。综上所述，结论正确的是①②③④共4个。选D。接下来，需要删除明显有问题的段落。在这篇文章中，没有明显有问题的段落，因此无需进行删除。最后，需要对每段话进行小幅度的改写，让它们更加易读。改写后的文章如下：首先，根据AM=ME（都是半径），可以得出∠AEM=∠EAM。由于∠EMN=2×60°=30°，所以∠AEM=2∠EMN=30°。因此，∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°。同理可得∠AFE=60°，所以∠EAF=60°。因此，△AEF是等边三角形，因此选项③正确。设圆的半径为r，则MN=2r，EN=2r，因此EF=2EN=3r，AN=r+2r=2r。因此，S△ABC=(1/2)×3r×r=3/2r²，所以S△ABC:S圆=(3/2r²):πr²=33:4π，因此选项④正确。综上所述，结论正确的是①②③④共4个。因此，选D。题目：直线l经过圆心O，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，∠AOC＝30°，点P是直线l上的一个动点，直线CP与圆O相交于点M，且MP＝OM，则满足条件的∠OCP的大小为多少？解题思路：首先，根据题意画出图，并利用三角形中的角度关系进行计算。当P在线段OA的延长线上时，利用三角形的内角和公式和三角形中的角度关系计算∠MOC和∠OMP，从而得出∠OCP的大小。当P在线段OA的反向延长线上时，同样利用三角形的内角和公式和三角形中的角度关系计算∠COM和∠POM，从而得出∠OCP的大小。最后得出答案为40°、20°、100°。题目：直线l经过圆心O，与圆O交于A、B两点，点C在圆O上，且∠AOC＝30°。点P是直线l上的一个动点，直线CP与圆O相交于点M，且MP＝OM。求满足条件的∠OCP的大小。解题思路：首先，画出图并利用三角形中的角度关系计算∠MOC和∠OMP，从而得出∠OCP的大小，当P在线段OA的延长线上时∠OCP为40°，当P在线段OA的反向延长线上时∠OCP为20°。最后，利用三角形的内角和公式和三角形中的角度关系计算∠COM和∠POM，从而得出∠OCP的大小，当P在线段OB上时∠OCP为100°。所以答案为40°、20°、100°。题目：在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝12，AB＝10，D是AC上一个动点，以AD为直径的圆O交BD于E，则线段CE的最小值是多少？解题思路：首先，连接AE，利用勾股定理计算出BE的长度为8。然后，利用正弦定理计算出∠EAB的大小为53.13°。由于点E在以AB为直径的圆Q上，所以QA＝QB＝5。当点Q、E、C三点共线时，QE＋CE＝CQ（最短），而QE长度不变，故此时CE最小。由此，利用勾股定理计算出QC的长度为13，再用13-5=8，即CE的长度。所以答案为8。如图，直线l1∥l2，圆O与l1和l2分别相切于点A和点B。点M和点N分别是l1和l2上的动点，MN沿l1和l2平移。圆O的半径为1，∠1＝60°。下列结论错误的是（）A．MN＝3B．若MN与圆O相切，则AM＝3C．若∠MON＝90°，则MN与圆O相切D．l1和l2的距离为2解析：A、平移MN使点B与N重合，∠1＝60°，AB＝2，解直角三角形得MN＝3，正确；B、当MN与圆相切时，M，N在AB左侧以及M，N在A，B右侧时，AM＝33或3，错误；C、若∠MON＝90°，连接NO并延长交MA于点C，则△AOC≌△BON，故CO＝NO，△MON≌△MOC，故MN上的高为1，即O到MN的距离等于半径，正确；D、l1∥l2，两平行线之间的距离为线段AB的长，即直径AB＝2，正确。因此选B。同类题型：如图，已知A、B两点的坐标分别为（－2，0）、（0，1），圆C的圆心坐标为（0，－1），半径为1。若D是圆C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是多少？解析：当射线AD与圆C相切时，△ABE面积最大。连接AC，∵∠AOC＝∠ADC＝90°，AC＝AC，OC＝CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC（HL），∴AD＝AO＝2，连接CD，设EF＝x，∴DE2＝EF﹒OE，∵CF＝1，∴DE＝x(x＋2)，∵△CDE∽△AOE，∴AO＝AE，即2＝(x＋1)AE，解得x＝3，S△ABE＝2×(3＋1＋2)÷11＝3÷2。同类题型：如图，直线l：y＝kx＋4与x轴、y轴分别交于A、B，∠OAB＝30°，点P在x轴上，圆P与l相切，当P在线段OA上运动时，使得圆P成为整圆的点P个数是多少？解析：设圆P的圆心坐标为（a，b），则由题意得到方程组：y=kx+4(x-a)2+(y-b)2=b2联立之后解得：a=4k2+2k-4b=4k3+2k2-4k-4当圆P为整圆时，a和b都是整数，因此需要满足：k=0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4因此一共有9个点P，答案为D。根据题目要求，我们可以得到正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O。如果我们连接AC、BD、OF，可以得到⊙O的半径是r，同时OF＝r。因为AO是∠EAF的平分线，所以∠OAF＝60°÷2＝30°。由于OA＝OF，所以∠OFA＝∠OAF＝30°，进而得到∠COF＝30°＋30°＝60°。因此，FI=r﹒sin60°=2r/3，EF=3r/2，CI=r－2r/3=2r/3，GH=CI。最终，我们可以得到GH=2r/3。首先，文章中出现了一些数学符号、公式，但没有使用正确的排版方式，需要进行修正。同时，文章中出现了一些明显有问题的段落，需要删除。修正后的文章如下：题目1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以OB为直径画圆M，过D作圆M的切线，切点为N，分别交AC，BC于点E，F，已知AE=5，CE=3，则DF的长度是多少？解：延长EF，过B作直线平行AC和EF相交于P，因为AE=5，EC=3，所以AO=CE+OE，即有，OE=EN=1，又因为△DMN∽△DEO，且MN=3DM，所以DE=3OE=3，又因为OE∥BP，O是DB中点，所以E也是中点，所以EP=DE=3，所以BP=2，又因为△EFC∽△PFB，相似比是3：2，所以EF=EP×5/3=1.8，所以DF=DE+EF=3+1.8=4.8。题目2：如图，已知△ABC的外接圆O的半径为1，D、E分别是AB、AC上的点，BD=2AD，EC=2AE，则sin∠BAC的值等于哪条线段的长度？解：如图，作直径CF，连接BF，在Rt△CBF中，sin∠F=CF/2；因为BD=2AD，EC=2AE，所以AD：AB=AE：AC=1：3，又因为∠EAD=∠CAB，所以△EAD∽△CAB，所以BC=3DE，所以sin∠A=sin∠F=2/DE。题目3：如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连结BE，BE=72。下列四个结论：①AC平分∠DAB；②PF^2=PB×PA；③若BC=2OP，则阴影部分的面积为4π/3；④若PC=24，则tan∠PCB=4/3。其中正确的是哪些？解：①连接OC，因为OA=OC，所以∠OAC=∠OCA，因为PC是⊙O的切线，AD⊥CD，所以∠OCP=∠D=90°，所以OC∥AD，所以∠CAD=∠OCA=∠OAC，即AC平分∠DAB，正确；②因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠PCB+∠ACD=90°，又因为∠CAD+∠ACD=90°，所以∠CAB=∠CAD=∠PCB，即PF^2=PB×PA，正确；③因为CE平分∠ACB，所以∠ECB=∠ACB/2，又因为AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠ECB=45°，所以△CEB是45°-45°-90°的等腰直角三角形，所以BE=C