四川省盐亭名校2023届高三上学期（12月）第四次模拟数学（文科）试题 (Word版含解析)

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数学测试卷

一、单选题（每题5分共计60分）

1.已知集合，则（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】用因式分解解出集合B，然后依据交集定义可解.

【详解】即解得.

所以，

又，

.

故选:C.

2.若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘除法运算，求得，再求其对应点即可判断.

【详解】∵，∴，

∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．

故选：D．

3.已知命题:若，则;命题:若，则，在命题①;②;③;④中，其中真命题为（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】C

【解析】

【分析】先判断命题，的真假，然后根据真值表逐个判断即可求解．

【详解】命题：当时，，故命题为真命题，

命题：当，时，无意义，故命题为假命题，

所以①为假命题，②为真命题，③为真命题，④为假命题，

故选：C．

4.已知向量，若三点共线，则实数（）

A.B.C.4D.5

【答案】A

【解析】

【分析】先求，然后向量共线的坐标表示可得.

【详解】因为，

所以，

.

又三点共线，所以向量与向量共线，所以，解得.

故选：A

5.函数图象大致为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】先判断函数为奇函数，再求出即可判断

【详解】，

则函数为奇函数，故排除，

当时，，故排除，

故选．

【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.

6.设，则有（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】结合指数、对数函数的性质和三角函数的诱导公式即可求出结果.

【详解】因为是增函数，且，

所以，即

又是增函数，且，

所以，即，

而，

所以

即

综上所述，

故选：B

7.等差数列中，，则（）

A.60B.30C.10D.0

【答案】B

【解析】

【分析】本题可由等差数列的性质即中项公式来求解.

【详解】等差数列中，,

即,

.

故选：B.

8.设函数，若，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】由已知结合对数的运算性质可得，然后结合乘1法，利用基本不等式可求.

【详解】因为数，

若

所以，即，

所以，

当且仅当时取等号.

故选：A

9.已知向量为平面向量的一组基底，且，若三点共线，则实数应该满足的条件为（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】由三点共线，可得进而由共线定理可得，将代入，再利用基本定理可求的的关系.

【详解】若三点共线，

又

又为平面向量的一组基底

故选：D

10.椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点为在轴上方，满足，则该椭圆的离心率为（）

A.B.

C.D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线方程可得，进而可得，再结合椭圆定义运算求解.

【详解】由直线可知：过定点，斜率，即，

则，解得，

又因为，可得，

结合椭圆的定义可得，整理得.

故选：A.

11.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（）

A.1B.C.0D.

【答案】B

【解析】

【分析】由函数在区间上单调递减，等价于在区间上恒成立，分离参数后得到，令，通过即可求出的最大值.

【详解】因为函数在区间上单调递减，

所以在区间上恒成立，

即在区间上恒成立.

令，则，

所以在上单调递减，上单调递增，

故，则，即.

经检验，当时，满足题意，所以实数的最大值是.

故选：B.

12.已知是圆上的两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出点坐标，由几何关系得点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，

点为抛物线上的动点，所以设，先求出，

所以的最小值为

【详解】圆可化为，

所以点.又因为点为线段的中点，且，

所以，所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆.

因为点为抛物线上的动点，所以设，

则，

所以当时，，

所以的最小值为.

故选：C.

二、填空题（每题5分共计20分）

13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

【答案】6

【解析】

【分析】首先根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.

【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：

由，可得，

画出直线，将其上下移动，

结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，

由，解得，

此时，故答案为6.

点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.

14.已知双曲线的实轴端点分别为，点是双曲线上异于另一点，则与的斜率之积为______

【答案】##

【解析】

【分析】设点坐标,，，根据直线的斜率公式结合，即可求得与的斜率之积．

【详解】设,，，且，，，

则，，

所以，

所以与的斜率之积为，

故答案为：．

15.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________.

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：为奇函数且为R上增函数，所以对任意实数恒成立，即

考点：利用函数性质解不等式恒成立

【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.

(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去，即将函数值的大小转化自变量大小关系

16.若函数有两个极值点，则的取值范围为_____________

【答案】

【解析】

【分析】由题意得到有两个不等的零点，且在两零点的两侧，导函数符号相反，参变分离后构造，求导研究其单调性和极值，最值情况，画出图象，数形结合求出的取值范围.

【详解】由，得，

∵函数有两个极值点，

∴有两个零点，且在零点的两侧，导函数符号相反，

令，，则，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

有极小值也是最小值为，

且当时，恒成立，当时，恒成立，

画出的图象，如下：

要使有两个不等实数根，

则，即，经验证，满足要求.

故的取值范围为．

故答案为：.

三、解答题（70分）

17.为进一步增强疫情防控期间群众防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防.某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有100人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求图中的值，并估计这100人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；

（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.

【答案】（1），72

（2）

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，求出参数的值，在根据平均数公式计算可得；

（2）求出，中抽取的人数，利用列举法列出所有可能结果，最后利用古典概型的概率公式计算可得.

【小问1详解】

由图可知，，解得，

估计这人问答成绩的平均数为：

.

【小问2详解】

由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.

用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，

问答成绩在内的有(人)，分别记为、、，

从中任意抽取2人，则实验的样本空间为：

共有个样本点.

设事件为2人的问答成绩均在内，则，

所以这2人的问答成绩均在内的概率.

18.已知中，角的对边分别为，，.

（1）求的值；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）1（2）

【解析】

【分析】（1）由正弦定理得到，结合，，得到；

（2）根据第一问求出，结合，求出，由正弦定理得到，再由三角形面积公式和二倍角公式，诱导公式求出答案.

【小问1详解】

因为，

由正弦定理得：，

，

，又，

∵，

故；

【小问2详解】

因为，所以，

由（1）知：，

又因为，

解得：，

又，则由正弦定理，

，又

.

19.设数列的前项和为，且;数列为等差数列，且.

（1）求数列的通项公式.

（2）若，求数列的前项和.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用前项和和通项公式的关系来解.

（2）使用错位相减法解数列前项和.

【小问1详解】

当时，，得.

当时，两式相减有

即.

因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列.

则.

所以数列的通项公式为.

【小问2详解】

在等差数列中，设首项为公差为，

则解得

所以.

则

①

②

所以①②得

即

解得

20.已知函数是自然对数的底数）.

（1）若函数在处的切线方程为，求实数的值；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）首先对函数求导，再求出在处的导数值，根据题目所给直线的斜率即可求解.

（2）首先构造新函数，根据题意的分析，只要即可，然后通过对分类讨论，求出的最小值即可.

【小问1详解】

由题意，知，则.

因为函数在处的切线方程为，

所以，解得.

【小问2详解】

令，

则，即，

所以，即

因为，使得成立，

即，使得成立，

所以.

①当时，在上恒成立，函数在区间上单调递增，

所以，

所以.

②当时，令，解得；令，解得，

所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，

所以，即，故

综上所述，实数的取值范围为.

21.已知曲线上的任意一点到点的距离和它到直线的距离的比是常数，过点作不与轴重合的直线与曲线相交于两点，过点作垂直于直线，交直线于点，直线与轴相交于点.

（1）求曲线的方程;

（2）求面积的最大值.

【答案】（1）

（2）.

【解析】

【分析】（1）设动点坐标为，依据所给条件列式计算.

（2）设适合的直线方程和交点坐标，联立方程使用韦达定理，合理选择三角形面积的求解形式，最后构造函数求导解最值.

【小问1详解】

设曲线上的任意一点的坐标为.

由题意，得，即，

所以曲线的方程为.

【小问2详解】

由题意，设直线的方程为，则.

联立方程得，则，

所以，

所以.

又因为，

所以直线的方程为.

令，则，

所以.

因为，

所以.

令，则.

令，则

当时.

则函数在上单调递增，

所以当时，，此时，

故面积的最大值为.

【点睛】方法点睛：联立方程是解圆锥曲线问题的常规方法，为避免分类讨论，在直线与轴不重合时可设直线方程为.在三角形面积求解时，选择合理的面积求解形式很重要.

22.在直角坐标系中，圆，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求的极坐标方程；

（2）若直线的极坐标方程为，设，的交点为，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）利用得到的极坐标方程；

（2）方法一：代入，得到或，求出，利用垂径定理求出高，从而求出面积；

方法二：化为直角坐标方程为，求出圆心到直线的距离，利用垂径定理得到的长，从而求出面积.

【小问1详解】

已知圆，得，

因为，

所以为圆的极坐标方程．

【小问2详解】

方法一：代入，

可得，

解得或，

∴，

又因为半径，则，

∴；

方法二：直线：化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离，

由半径

∴，

∴.

23.已知：，．

（1）若，求不等式的解集；

（2），若的图象与轴围成的三角形面积不大于54，求的取值范围．

【答案】（1）；

（2）

【解析】

【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；

（2）先求出，由，解得：，则，由函数单调性得到，根据函数图象与轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出的取值范围.

【小问1详解】

当时，

，

当时，成立；

当时，，则；

当时，不合题意，

综上，的解集为；

【小问2详解】

因为，所以，

由，解得：，则，

当时，单调递增，当时，单调递增，当时，单调递减，

所以当时，取得最大值，，

∴图象与轴围成的三角形面积为，

解得：，又，则，

∴的取值范围是.四川省盐亭中学高2023级高三第四次模拟考试（文科）

数学测试卷

一、单选题（每题5分共计60分）

1.已知集合，则（）

A.B.

C.D.

2.若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

3.已知命题:若，则;命题:若，则，在命题①;②;③;④中，其中真命题为（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

4.已知向量，若三点共线，则实数（）

A.B.C.4D.5

5.函数的图象大致为（）

A.B.C.D.

6.设，则有（）

AB.C.D.

7.等差数列中，，则（）

A.60B.30C.10D.0

8.设函数，若，则的最小值为（）

A.B.C.D.

9.已知向量为平面向量的一组基底，且，若三点共线，则实数应该满足的条件为（）

A.B.

CD.

10.椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，若直线与椭圆的一个交点为在轴上方，满足，则该椭圆的离心率为（）

A.B.

CD.

11.若函数在区间上单调递减，则实数的最大值是（）

A.1B.C.0D.

12.已知是圆上两个动点，，点为线段的中点，点为抛物线上的动点，则的最小值为（）

A.B.C.D.

二、填空题（每题5分共计20分）

13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．

14.已知双曲线的实轴端点分别为，点是双曲线上异于另一点，则与的斜率之积为______

15.已知函数，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是_________.

16.若函数有两个极值点，则的取