浙江省宁波市余姚第五高中高三数学理月考试卷含解析

浙江省宁波市余姚第五高中高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数y=1+x+的部分图象大致为（）A． B．C． D．参考答案：D【分析】通过函数的解析式，利用函数的奇偶性的性质，函数的图象经过的特殊点判断函数的图象即可．【解答】解：函数y=1+x+，可知：f（x）=x+是奇函数，所以函数的图象关于原点对称，则函数y=1+x+的图象关于（0，1）对称，当x→0+，f（x）＞0，排除A、C，点x=π时，y=1+π，排除B．故选：D．【点评】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点是常用方法．2.已知双曲线y2=1，则双曲线的离心率为(

)

A．

B．

C．

D．

2参考答案：C3.在平面直角坐标系中,圆的方程为,若直线上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆有公共点,则的取值范围是（）A.

B.或

C.

D.或参考答案：A略4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（）A．18 B．20 C．21 D．25参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】设出等差数列的公差，由题意列式求得公差，再由等差数列的通项公式求解．【解答】解：设公差为d，由题意可得：前30项和S30=390=30×5+d，解得d=．∴最后一天织的布的尺数等于5+29d=5+29×=21．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.已知三个村庄A、B、C所处的位置恰好位于三角形的三个顶点处，且AB＝6km，BC＝8km，AC＝10km.现在△ABC内任取一点M建一大型的超市，则M点到三个村庄A、B、C的距离都不小于2km的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D6.集合M=｛x|｝,N=｛｝,则MN=(

)A.{0}

B.{2}

C.

D.

{

参考答案：A略7.如图，在半径为3的球面上有三点，，球心到平面的距离是，则两点的球面距离是A.

B.

C.

D.

参考答案：B略8.半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）A．16（） B．16（） C．8（2） D．8（2）参考答案：B【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底面边长为a，高为h，根据球的半径使用勾股定理列出方程，得出a，h的关系，使用基本不等式得出ah的最大值，求出侧面积的最大值，做差即可．【解答】解：设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r==2，∴h2+2a2=16≥2ah，∴ah≤4．∴S侧=4ah≤16．球的表面积S=4π×22=16π．∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π﹣16=16（）．故选B．9.以线段AB：x+y-2=0（0≤x≤2)为直径的圆的方程为

(

）A．(x+1)2+(y+1)2=2B．(x-1)2+(y-1)2=2C．（x+1)2+(y+1)2=8D．(x-1)2+(y-1)2=8参考答案：B10.已知双曲线M:的左、右焦点分别为F1、F2.若双曲线M的右支上存在点P，使，并且，则双曲线M的离心率为（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】利用双曲线的定义求出，结合正弦定理求出的值，进而可求得双曲线的离心率为的值.【详解】由题意得，由于点在双曲线的右支上，由双曲线的定义得，解得，在中，由正弦定理得，又，所以，，即，，因此，双曲线的离心率为.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，涉及双曲线定义的应用以及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图，该程序运行后输出的结果是

．参考答案：略12.已知函数的最大值为，则实数的值是

.参考答案：13.我国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有邑方不知大小，各中开门．出北门三十步有木，出西门七百五十步有木．问邑方几何？”示意图如右图，正方形ABCD中，F，G分别为AD和AB的中点，若，，，，且EH过点A，则正方形ABCD的边长为

▲

．参考答案：300因为，，所以，而，故，所以，因为中点，所以，故，所以=150即正方形的边长为300，填300．

14.若不等式的解集为，则实数的取值范围是

.参考答案：略15.若复数满足，其中i是虚数单位，则复数的共轭复数为________.参考答案：解：，则，所以复数的共轭复数为16.等比数列满足是方程的两个根，且，则

___________________.参考答案：9略17.将函数的图象上的每一点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标变为原来的2倍，然后把所得的图象上的所有点沿x轴向左平移个单位，这样得到的曲线和函数的图象相同，则函数的解析式为

．参考答案：或略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知，，．（Ⅰ）求向量与的夹角θ；（Ⅱ）求及向量在方向上的投影．参考答案：【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（Ⅰ）将已知等式展开转化为两个向量的模压机数量积的计算问题，利用数量积公式求θ；（Ⅱ）根据投影的定义，利用数量积公式解答．【解答】解：（Ⅰ）因为，，．所以，即16﹣8cosθ﹣3=9，所以cosθ=，因为θ∈[0，π]，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以==5，||=，所以向量在方向上的投影为：．【点评】本题考查了平面向量的数量积公式的运用求向量的夹角以及一个向量在另一个向量的投影；关键是熟练掌握数量积公式以及几何意义．19.如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,.(Ⅰ)证明:平面A1BD//平面CD1B1;(Ⅱ)求三棱柱ABD－A1B1D1的体积.参考答案：【答案解析】（1）略；（2）1

解析：（1）∵A1B1和AB，AB和CD分别平行且相等，∴A1B1和CD平行且相等，即有四边形A1B1CD为平行四边形，∴A1D和B1C平行，同理A1B和D1C也平行，有D1C和B1C是相交的（相交于C），故平面A1BD平行于CD1B1（2）.在正方形ABCD中,AO=1..（3分）所以，

略20.在△中，角的对边分别为，且，．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，，求边的长和△的面积.参考答案：（Ⅰ）因为，所以，

……………2分因为，所以，所以，

…………4分因为，且，所以．…………6分（Ⅱ）因为，，所以由余弦定理得，即，解得或（舍），所以边的长为.

…………10分．……………12分21.如图1，一条宽为的两平行河岸有村庄和发电站，村庄与的直线距离都是与河岸垂直，垂足为.现要铺设电缆，从发电站向村庄供电.已知铺设地下电缆，水下电缆的费用分别为万元万元.（1）如果村庄与之间原来铺设有电缆（如图1中线段所示）,只需对其改造即可使用，已知旧电缆的改造费用是万元，现决定在线段上找得一点建一配电站，分别向村庄供电，使得在完整利用之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点的位置.（2）如图2,点在线段上，且铺设电缆线路为，若，试用表示出总施工费用（万元）的解析式，并求的最小值.参考答案：（1），到点的距离为；（2）.试题分析：（1）借助题设条件运用解三角形的知识求解；（2）借助题设建立函数关系,运用导数知识探求.试题解析：（1）根据题意得为等边三角形，因为则水下电缆的最短长度为，过作于点，则地下电缆的最短为，因为为等边三角形，则，又因为，则该方案的总费用为:（万元），此时点到点的距离为.（2），则，令，则，因为，所以在此区间内存在唯一的，使得，即，当时，单减；当时，单增，故，则（万元）施工总费用的最小值为（万元）.考点：正弦定理余弦定理及导数知识的综合运用.【易错点晴】本题以现实生活中的一个最为常见的铺设电缆的问题为背景,考查的是导函数与函数的单调性之间的关系的应用问题.解答本题的关键是如何选取变量建立函数关系,最后再运用导数进行求解.解答第一问时,运用解三角形的工具直接解三角形获得答案；第二问的求解过程中,设,建立函数,然后运用导数求得当时,,即施工总费用的最小值为,从而使得问题最终获解.22.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）证明：△ABC为钝角三角形；（2）若△ABC的面积为，求b的值．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得：sinA+sinB=2sinC，即a+b=2c，又a=2b，利用余弦定理可求cosA＜0，可得A为钝角，即可得解．（2）由同角三角函数基本关系式可求sinA，利用三角形面积公式可求bc=24．又，进