安徽省宿州市霸王中学高三数学文测试题含解析

安徽省宿州市霸王中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2009?东城区模拟）函数y=f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）﹣f（x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：A考点：函数的图象．专题：数形结合．分析：根据题意列出不等式，进而分析可得在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大，分析选项可得答案．解答：解：根据增函数定义，设x1＞x2g（x1）﹣g（x2）＞0f（x1+a）﹣f（x1）＞f（x2+a）﹣f（x2）f（x1+a）﹣f（x2+a）＞f（x1）﹣f（x2）由此我们可知在自变量增大的过程中函数值增加的量要越来越大故有f′（x1）＞f′（x2）∴只有A图象符合故选A．点评：本题考查了增函数列不等式的知识，注意巧妙求导的技巧．2.已知两个单位向量，满足，则的夹角为（

）A． B． C． D．参考答案：C∵，∴，∴，∴，∴．3.平面上动点满足，，,则一定有（

）

参考答案：B4.设函数与函数的图象恰有3个不同的交点，则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：易，在时，不合题意，因此只能有，注意的函数定义域是，由题意方程有三个不同的解，即有三个解，也可理解为直线与函数的三个交点．考虑函数，由知，当时，，当时，，因此在时，取得极大值也是最大值，而，因此当和时，递减，当时，递增，因此要使方程有三个解，则，即．故选C．考点：函数的零点．【名师点睛】解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．常见的方法和技巧有：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域问题加以解决．（3）数形结合：先对解析式变形，在同一坐标系中画出函数的图象，然后观察求解．此时需要根据零点个数命合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍．5.函数的图像为

参考答案：A略6.已知，则（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】通过反例可否定；根据对数函数单调性可确定正确.【详解】若，A中，，，则，错误；B中，，，则，错误；C中，在上单调递增

当时，，正确；D中，，，则，错误.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，涉及到对数函数单调性的应用，属于基础题.7.已知集合A＝{20，17}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为(

)(A)1

(B)2

(C)3

(D)4参考答案：C8.已知，把数列的各项排列成如右图所示的三角形状，记表示第行的第个数，则=(

)A.

B.

ks5u

C.

D.参考答案：B略9.定义在R上的函数满足当，，则下列结论中正确的是（

）A.B.

C.D.

参考答案：D略10..函数f（x）=的大数图象为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；再由当时，函数值小于0，排除B，即可得到答案.【详解】由题知，函数满足，所以函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C、D项；又由当时，函数的值小于0，排除B，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.等腰的顶角，，以为圆心，为半径作圆，为直径，则的最大值为__________参考答案：

知识点：向量的内积，解三角形

难度：412.已知平面向量、，||=1，||=，且|2+|=，则向量与向量+的夹角为

．参考答案：【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】由题意可得⊥，由平行四边形法则结合图象可得．【解答】解：∵||=1，||=，且|2+|=，∴|2+|2=7，∴4+4+=7，∴4×1+4+3=7，∴=0，∴⊥，设向量与向量+的夹角为θ结合平行四边形法则可得tanθ=，∴θ=故答案为：【点评】本题考查数量积和向量的夹角，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13.已知，函数在区间单调递减，则的最大值为

.参考答案：14.的展开式中，含的项的系数为______.（用数字填写答案）.参考答案：70【分析】求得二项展开式的通项为，令，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式的通项为，令时，，即的项的系数为．

15.某校1000名学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N（90，σ2），若分数在（70，110]内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70分的人数为人．参考答案：325【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】利用正态分布曲线的对称性结合已知求得P（X≤70），乘以1000得答案．【解答】解：由X服从正态分布N（90，σ2）（σ＞0），且P（70≤X≤110）=0.35，得P（X≤70）=（1﹣0.35）=．∴估计这次考试分数不超过70分的人数为1000×=325．故答案为：325．16.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线的准线上，则该双曲线的方程为

．参考答案：略17.某中学高一、高二、高三的学生人数之比为4:4:5，现用分层抽样法从该校的高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高一年级抽取的学生人数为

▲

名．参考答案：20略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标，直线l：y=x﹣3经过椭圆E：（a＞b＞0）的一个焦点，且点（0，b）到直线l的距离为2．（1）求椭圆E的方程；（2）A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称，且|AC|=|CB|．问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求此时点C的坐标；若不存在，说明理由．参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）先求出c，再利用点（0，b）到直线l的距离为2，求出b，从而可求a，即可得出椭圆E的方程；（2）分类讨论，直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，求出A的坐标，同理求出C的坐标，表示出面积，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）对于直线l：y=x﹣3，令y=0，可得x=，∴焦点为（，0），∴c=，∵点（0，b）到直线l的距离为2，∴=2，∵b＞0，∴b=1，∴a=2，∴椭圆E的方程；（2）①当AB为长轴（或短轴）时，由题意，C是椭圆的上下顶点（或左右顶点），；②当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB：y=kx，代入椭圆方程，可得，∵|AC|=|CB|，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∴直线OC的方程为y=﹣，同理可得，∴，，∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=，当且仅当1+4k2=4+k2，即k=±1时取等号，∴k=±1时，△ABC的面积最小值，此时，C（，±）或C（﹣，±）．19.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选修在，的前提下，求a的一个值，是它成为的一个充分但不必要条件。参考答案：略20.在四棱锥P﹣ABCD中，∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）求证：CE∥平面PAB．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）由线面垂直得PA⊥CD，由直角性质得CD⊥AC，由此能证明平面PAC⊥平面PCD．（2）法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．从而得到EM∥平面PAB．再由MC∥AB，得到MC∥平面PAB，由此证明平面EMC∥平面PAB，从而EC∥平面PAB．（2）法二：延长DC，AB交于点N，连PN．由已知条件推地出EC∥PN．由此能证明EC∥平面PAB．【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，…又∠ACD=90°，则CD⊥AC，而PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC，因为CD?平面ACD，…所以，平面PAC⊥平面PCD．…（2）证法一：取AD中点M，连EM，CM，则EM∥PA．因为EM?平面PAB，PA?平面PAB，所以EM∥平面PAB．…在Rt△ACD中，AM=CM，所以∠CAD=∠ACM，又∠BAC=∠CAD，所以∠BAC=∠ACM，则MC∥AB．因为MC?平面PAB，AB?平面PAB，所以MC∥平面PAB．…而EM∩MC=M，所以平面EMC∥平面PAB．由于EC?平面EMC，从而EC∥平面PAB．

…（2）证法二：延长DC，AB交于点N，连PN．因为∠NAC=∠DAC，AC⊥CD，所以C为ND的中点．而E为PD中点，所以EC∥PN．因为EC?平面PAB，PN?平面PAB，所以EC∥平面PAB．…21.（12分）已知之间的一组数据如下表：x13678y12345

（Ⅰ）从中各取一个数，求的概率；（Ⅱ）对于表中数据，甲．乙两同学给出的拟合直线分别为与，试利用最小二乘法判断哪条直线拟合程度更好？参考答案：解析：（Ⅰ）从各取一个数组成数对共有25对，其中满足的有（6，4）,（6，5），（7，3），（7，4），（7，5），（8，2），（8，3），（8，4），（8，5）共9对故所求的概率为，所以使的概率是（Ⅱ）用作为拟合直线时，所得值与y的实际值的差的平方和为用作为拟合直线时，所得值与y的实际值的差的平方和为∵，故用直线拟合程度更好22.已知函数f（x）=2（a+1）lnx﹣ax，g（x）=x2﹣x．（1）若函数f（x）在定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（2）证明：若﹣1＜a＜7，则对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，有＞﹣1．参考答案：考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）先求f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域，再求导f′（x）=2（a+1）﹣a=，从而由题意知f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，从而化为最值问题；（2）由二次函数的性质易知g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，从而不妨设x1＞x2，从而可得g（x1）＞g（x2）；故＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，从而利用导数证明H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x在（1，+∞）上是增函数即可．解答： 解：（1）f（x）=2（a+1）lnx﹣ax的定义域为（0，+∞），f′（x）=2（a+1）﹣a=，∵f′（2）=1，又∵函数f（x）在定义域内为单调函数，∴f′（x）=≥0在（0，+∞）上恒成立，∴a（2﹣x）+2≥0在（0，+∞）上恒成立，即﹣ax+2a+2≥0在（0，+∞）上恒成立，故，解得，﹣1≤a≤0；（2）证明：∵g（x）=x2﹣x在（1，+∞）上是增函数，∴对于任意x1、x2∈（1，+∞），x1≠x2，不妨设x1＞x2，则g（x1）＞g（x2）；则＞﹣1可化为f（x1）﹣f（x2）＞﹣（g（x1）﹣g（x2）），即证f（x1）+g（x1）＞f（x2）+g（x2），令H（x）=f（x）+g（x）=2（a+1）lnx﹣ax+x2﹣x，H′（x）=2（a+1）﹣a+x﹣1=，令M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1），①﹣1＜a≤1时，0＜a+1≤2，故M（x）=x2﹣（a+1）x+2（a+1）在（1，+∞）上是增函数，故M（x）＞M（1）=1﹣a﹣1