2022-2023学年河南省商丘重点中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知全集，集合，满足，，则()

A.B.C.D.

2.命题：，的否定是()

A.，B.，

C.，D.，

3.已知是定义域为的奇函数，时，，则()

A.B.C.D.

4.下列函数中，值域是的函数是()

A.B.C.D.

5.设函数在区间单调递减，则的取值范围是()

A.B.C.D.

6.已知为奇函数，则()

A.B.C.D.

7.若则()

A.B.C.D.

8.已知函数，则函数的零点的个数是()

A.B.C.D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.若，则下列不等式成立的是()

A.B.C.D.

10.设，，则下列结论正确的是()

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若且，，则

11.某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为单位：，环境温度为，单位，物体的温度冷却到，单位：需用时单位：分钟，推导出函数关系为，为正的常数现有一壶开水放在室温为的房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则参考数据：()

A.函数关系也可作为这壶外水的冷却模型

B.当时，这壶开水冷却到大约需要分钟

C.若，则

D.这壶水从冷却到所需时间比从冷却到所需时间短

12.若函数同时满足：

对于定义域上的任意，恒有；

对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．

下列四个函数中，能被称为“理想函数”的有()

A.B.

C.D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知：或，：，若是的充分不必要条件，则的取值范围是______．

14.若函数同时具有下列性质：

；

当时，．

请写出的一个解析式．

15.若，则实数的取值范围是______．

16.定义在上的函数满足，，当时，，则函数有______个零点．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分

若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且．

求的解析式；

若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．

18.本小题分

设，若，求的取值范围．

19.本小题分

求不等式的解集；

求关于的不等式的解集，其中．

20.本小题分

设为实数，已知．

若函数，求的值；

当时，求证：函数在上是单调递增函数；

若对于一切，不等式恒成立，求的取值范围．

21.本小题分

已知函数是偶函数．

求的值；

若函数的图象与的图象有且只有一个公共点，求的取值范围．

22.本小题分

已知函数和．

若存在零点，求实数的取值范围；

当函数和有相同的最小值时，求．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：因为全集，集合，满足，，

则；；

故A；

故选：．

先求出，进而求得结论．

本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集的定义的合理运用．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．

利用含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可．

【解答】

解：由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

可得命题：，的否定是：，．

故选A．

3.【答案】

【解析】解：，由于是定义域为的奇函数，

所以．

故选：．

根据奇函数的性质即可求解．

本题主要考查了函数的奇偶性在函数求值中的应用，属于基础题．

4.【答案】

【解析】解：的值域为；的值域为；的值域为；，的值域为．

故选：．

根据指数函数、对数函数和的值域求每个选项函数的值域即可．

本题考查了指数函数、对数函数和的值域，指数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

5.【答案】

【解析】解：设，对称轴为，抛物线开口向上，

是的增函数，

要使在区间单调递减，

则在区间单调递减，

即，即，

故实数的取值范围是．

故选：．

利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．

本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．

6.【答案】

【解析】解：由于函数为奇函数，

则，

即，

解得，经检验符合题意．

故选：．

由奇函数的性质可知，，由此可得的值．

本题考查奇函数，考查运算求解能力，属于基础题．

7.【答案】

【解析】解：令，则，

函数在上单调递减，

，

即．

故选：．

令，则，可得函数在上单调递减，即可得出．

本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8.【答案】

【解析】解：令，

当时，，易知在上单调递增，

由于，，

由零点存在定理可知，存在，使得；

当时，，

则，解得，，

作出、、、的图象，如图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有三个交点；

直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象只有一个交点；

综上所述，函数的零点的个数为．

故选：．

令，根据、分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据图象即可求出函数的零点．

本题考查了函数的零点与方程、转化思想和数形结合思想，属于中档题．

9.【答案】

【解析】解：对于：当时，，成立；

对于：当时，，不成立；

对于：当时，，即，成立；

对于：，，，，即，不成立．

故选：．

利用不等式的性质判断，利用作差法判断．

本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．

10.【答案】

【解析】解：若，则，所以，故A正确；

若，则，所以，故B不正确；

若，则，

当且仅当时取等号，故C正确；

设函数，则在上单调递增，

若，且，，则，故D正确．

故选：．

根据不等式的性质即可判断选项A正确，B错误，根据基本不等式即可判断C正确，根据指数函数和反比例函数的单调性，即可判断选项D正确，

本题考查了不等式的性质，基本不等式的应用，指数函数和反比例函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．

11.【答案】

【解析】解：对于：，则，

，整理得，故A错误；

对于：由题意得，

则当时，，故B正确；

对于：，

，解得，

，故C正确；

对于：设这壶水从冷却到所需时间为分钟，

则，

设这壶水从冷却到所需时间为分钟，

则，

，

，故D正确．

故选：．

根据函数，逐一分析选项，即可得出答案．

本题考查根据实际问题选择函数类型，考查函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数性质是解本题的关键．

由已知新定义知，函数在定义域上为奇函数且单调递减，结合各选项分别检验即可判断．

【解答】

解：对于定义域上的任意，恒有，则为奇函数；

对于定义域上的任意，，当时，恒有，则单调递减，

选项，，，故A选项错误；

选项为奇函数且为减函数，所以选项正确；

选项为增函数，所以选项错误；

选项，通过图像可以发现为奇函数且为减函数，所以选项正确

故选：．

13.【答案】

【解析】解：条件：或，条件：，

且是的充分而不必要条件

集合是集合的真子集，

即，

故答案为：．

把充分性问题，转化为集合的关系求解．

本题主要考查命题的真假判断与应用、充分条件及必要条件的含义．

14.【答案】答案不唯一

【解析】

【分析】

本题主要考查求函数解析式，属于基础题．

直接由已知函数的性质，联想相关函数的性质，从而求出函数解析式．

【解答】

解：根据；

当时，．

所以满足的函数关系式为．

故答案为：，答案不唯一．

15.【答案】

【解析】解：根据幂函数的定义域为，

且满足，

函数为偶函数．

又由幂函数的性质，可得函数在单调递增，在单调递减．

根据不等式，可得，解得或且．

实数的取值范围．

故答案为：．

由幂函数的定义域与单调性即可解出不等式．

本题主要考查幂函数的定义域与单调性，属于基础题．

16.【答案】

【解析】解：因为定义在上的函数满足，

所以是以为周期的周期函数，

因为当时，，

所以的图象如图所示，

由，得，

所以将问题转化为的图象与交点的个数，

因为，，

，，

所以的图象与的图象共有个交点，

所以有个零点，

故答案为：．

由题意可得的周期为，画出的图象，由，得，所以将问题转化为的图象与交点的个数，由图象可得答案．

本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．

17.【答案】解：由为二次函数，可设，

图象的对称轴为，最小值为，且，

，，

．

，即在上恒成立，

又当时，有最小值，

，

实数的取值范围为．

【解析】根据已知条件列方程组来求得，，，也即求得．

由分离常数，进而求得的取值范围．

本题主要考查函数恒成立问题，考查二次函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．

18.【答案】解：，

，，．

，

，

，

，

当时，，满足题意；

当集合中只有一个元素时，，

此时，满足题意；

当集合中有两个元素时，

；

综上的取值范围或．

【解析】本题考查了交集的定义及其运算，考查了分类讨论思想，熟练掌握分类讨论解答问题的步骤是解题的关键．

由，得，先求得集合，利用分类讨论方法分别求得集合，集合中只有一个元素和集合中有两个元素时的范围，再综合．

19.【答案】解：可化为，即，

解得或，

所以不等式的解集为或；

当时，不等式的解集为，

当时，不等式可化为，不等式的解集为，

当时，不等式可化为，

当即时，不等式的解集为，

当即时，不等式的解集为或，

当即时，不等式的解集为或，

综上，当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为或，

当时，不等式的解集为或．

【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式，解不等式即可；

分类讨论的范围解不等式即可．

本题主要考查了分式不等式及含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．

20.【答案】解：，

，可得，解得．

证明：．

，

当时，解析式可化简为：，

设，是上任意两个不相等的实数，则有

，

因为，，所以，

因此有，即，所以函数是上的递增函数；

解：当时，而，所以，

因为，所以有，即，

化为在恒成立，

设，

对称轴为：，，，故在上是增函数，要想恒成立，

只需该不等式恒成立，故；

当时，，

此时函数是单调递增函数，要想在上恒成立，只需这与矛盾，故不成立；

当时，，

当时，函数是单调递增函数，当时，由可知函数是单调递增函数，

所以函数在时，最小值为，

要想在上恒成立，只需，而，所以，

综上所述：的取值范围为：．

【解析】利用函数的解析式求解即可．

化简函数的解析式，利用函数的单调性的定义，证明即可．

推出，设，说明在上是增函数，要想恒成立，

只需恒成立，然后转化求解即可．

本题考查函数与方程的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．

21.【答案】解：因为函数是偶函数，

所以，

所以，

即，

得对任意实数恒成立，

所以，解得；

由题意，函数的图象与的图象有且只有一个公共点，

则方程只有一解，

即，

即有且只有一个实根，

令，则，

所以方程有且只有一个正实根，

当时，舍去；

当时，若判别式，则，

即，解得或，

经检验，当时，，不满足条件，舍去；

当时，，满足条件；

若，即，解得或，

则方程的两根异号，

所以，即，

所以；

综上，实数的取值范围是．

【解析】本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数图象的应用，对数函数及其性质，指数函数与对数函数的综合应用，考查分类讨论思想和运算求解能力．

根据函数奇偶性的性质建立方程进行求解．

根据函数和的图象只有一个交点，可得方程只有一解，利用换元法，令，可得方程有且只有一个正实根，对的范围进行分类讨论，即可求出结果．

22.【答案】解：因为，所以，

当时，，此时在单调递增，

，所以在存在唯一零点，

所以在存在唯一零点；

当时，，所以在无零点；

当时，，，

此时在单调递减，单调递增，

所以，