第一章 集合与常用逻辑用语-小结-人教版必修一（含解析）

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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

单选题

1.已知集合，，则()

A.B.C.D.

2.设命题：，，则命题的否定为()

A.，B.，

C.，D.，

3.设为全集，则“”是“”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为()

A.B.C.D.

5.已知集合，，则()

A.，B.C.D.

6.已知集合仅有两个子集，则实数的取值构成的集合为()

A.B.C.D.

7.有下列关系式：；；；；；其中不正确的是()

A.B.C.D.

8.如图所示，是全集，，，是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()

A.B.C.D.

9.将命题“”改写成全称量词命题为()

A.对任意，，都有成立

B.存在，，使成立

C.对任意，，都有成立

D.存在，，使成立

10.年月，湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例．年月日，世界卫生组织正式将造成此次肺炎疫情的病毒命名为“新型冠状病毒”年月日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为新冠肺炎新冠肺炎患者症状是发热干咳浑身乏力等外部表征“某人表现为发热干咳浑身乏力”是“新冠肺炎患者”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.设集合，，定义，，则中元素的个数为()

A.个B.个C.个D.个

12.已知集合满足，则实数的值是()

A.或B.或C.或或D.或

13.下列集合表示图形中的阴影部分的是()

A.B.

C.D.

14.下列各组命题中，满足是的充要条件的是()

A.，

B.数能被整除，数能被整除

C.，

D.若，，，都不为

15.中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知若，则整数的最小值为()

A.B.C.D.

16.设非空数集同时满足条件：中不含元素，，若，则则下列结论正确的是()

A.集合中至多有个元素B.集合中至多有个元素

C.集合中有且仅有个元素D.集合中至少有个元素

二、多选题

17.下列命题中是假命题的是()

A.，B.，

C.，D.，

18.已知全集，集合、满足，则下列选项正确的有()

A.B.C.D.

19.已知，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则()

A.是的既不充分也不必要条件B.是的充分条件

C.是的必要不充分条件D.是的充要条件

20.由无理数引发的数学危机一直延续到世纪直到年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是()

A.是一个戴德金分割

B.没有最大元素，有一个最小元素

C.有一个最大元素，有一个最小元素

D.没有最大元素，也没有最小元素

21.下列说法不正确的是()

A.是的充分不必要条件

B.若，为无理数，为有理数，则是的充分条件

C.是的充要条件

D.若四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直，则是的充要条件

22.已知集合，若，则实数的值可能为()

A.B.C.D.

23.已知集合，集合，则()

A.B.C.D.

24.已知集合，则的必要不充分条件可能是()

A.B.C.D.

三、填空题

25.钱大妈常说“便宜没好货”，她这句话的意思中：“没好货”是“便宜”的条件填“充分”、“必要”、充要、“既不充分也不必要”

26.若，，，则．

27.已知，，且，则的值等于．

28.某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出种商品，第二天售出种商品，第三天售出种商品；前两天都售出的商品有种，后两天都售出的商品有种，则该网店：

第一天售出但第二天未售出的商品有种；

这三天售出的商品最少有种．

29.命题“”的否定是．

30.设全集，若，，，则集合．

31.已知“”是“”成立的必要非充分条件，请你写出符合条件的实数的一个值

32.已知集合，，设集合同时满足下列三个条件：；若，则；若，则．

当时，一个满足条件的集合是写出一个即可

当时，满足条件的集合的个数为．

四、解答题

33.本小题分

已知集合，求：

；

．

34.本小题分

已知集合或．

若，求的取值范围；

若“”是“”的充分条件，求的取值范围．

35.本小题分

已知集合，，全集．

当时，求；

若，求实数的取值范围．

36.本小题分

已知，证明：“”成立的充要条件是“”．

37.本小题分

从给出的两个条件，，中选出一个，补充在下面问题中，并完成解答已知集合，

若“”是“”的充分不必要条件，求实数的值；

已知_____，若集合含有两个元素且满足，求集合．

38.本小题分

设，为两个集合，我们定义集合为两个集合，的差集，记为

已知，求和

求证：

39.本小题分

已知集合，且．

求实数的值；

若，求集合．

40.本小题分

已知集合，或．

若，求的取值范围

若，求的取值范围．

41.本小题分

已知命题“，”为假命题，求实数的取值范围．

42.本小题分

在；“”是“”的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第问的横线处，求解下列问题．

问题：已知集合，．

当时，求；

若______，求实数的取值范围注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

43.本小题分

求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是．

44.本小题分

已知集合问是否存在，使

中只有一个元素；

中至多有一个元素；

中至少有一个元素．若存在，分别求出来；若不存在，说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】

求出集合，根据并集的定义求出即可．

本题考查了集合的运算，考查解二次方程问题，是一道基础题．

【解答】

解：，，

，

故选D．

2.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

根据含有量词的命题的否定即可得到结论．

【解答】

解：命题为全称量词命题，则命题的否定为，，

故选：．

3.【答案】

【解析】

【分析】

通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．

本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是中档题．

【解答】

解：“”能推出，

由能推出”

故“”是“的充分必要的条件．

故选C．

4.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查的是集合中元素的个数，属于基础题．

首先要考虑集合元素的特征，特别是互异性，然后进行化简，即可获得问题的解答．

【解答】

解：由题意可知，且，

所以以实数，，，，为元素所组成的集合，最多含有，两个元素．

故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的表示方法、集合的交集及其运算．

联立与中两方程建立方程组，求出方程组的解即可确定出两集合的交集．

【解答】

解：联立得

消去得：，

即，

解得，，

则．

故选D．

6.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了一元二次方程与集合的子集个数问题，属于基础题．

由集合仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，根据二次项系数是否为分类讨论求．

【解答】

解：由集合仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，

由题意，当时，方程为，解得，满足仅有两个子集；

当时，方程有两个相等实根，所以，解得；

所以实数的取值构成的集合为：．

故选B．

7.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查元素与集合，集合与集合之间的关系，空集和集合的关系，属于基础题．

根据集合元素的无序性判断；根据子集的定义判断；根据集合及空集的定义判断；利用元素与集合的关系判断．

【解答】

解：对：因为集合中的元素具有无序性，显然正确；

对：因为集合，故正确，即正确；

对：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确；

对：是一个集合，仅有一个元素，但是空集不含任何元素，于是，故不正确；

对：由可知，非空，于是有，因此正确；

对：显然成立，因此正确．

综上，本题不正确的有，于是本题选项为．

故选D．

8.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查图，属于中档题．

根据图分析阴影部分与集合，，的关系，进而可得答案．

【解答】

解：由已知的图可得：

阴影部分的元素属于，属于，但不属于，

故阴影部分表示的集合为，

故选C．

9.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了全称量词命题、存在量词命题的定义，属于基础题．

利用全称量词命题的概念直接得结论

【解答】

解：“”改写成全称量词命题为“，都有”，

故选A．

10.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查了充分条件，必要条件的判断，属于基础题．

直接利用题意以及充分条件，必要条件的定义进行判断．

【解答】

解：某人表现为发热、干咳、浑身乏力”，则其不一定是“新冠肺炎患者”，充分性不成立，

若某人为新冠肺炎感染者，则表现为发热干咳浑身乏力，必要性成立，

故选A．

11.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合中元素个数的求法，元素与集合的关系，属新定义题型，是一道基础题．

根据题中的新定义可知，中元素为点集，集合有三个元素，集合有四个元素，列举可得集合中的元素个数．

【解答】

解：的取值可以是，，之一，的取值可以是，，，之一，

的可能情况有：

，，，，

，，，，

，，，，共种不同情况，

所以中元素的个数是个．

故选D．

12.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查由集合关系求参数，属于基础题；

对讨论，注意考虑集合为空集时的情况．

【解答】

解：当时，，满足；

当时，要使，则，

当时，，

当时，，所以实数的值是，，．

故选C．

13.【答案】

【解析】

【分析】

本题主要考查韦恩图的知识，掌握集合的运算法则是解题的关键属中档题．

由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，根据集合运算的定义，转化为集合语言即可．

【解答】

解：图中中阴影部分表示元素满足：是中的元素，或者是与的公共元素．

故可以表示为．

也可以表示为：．

故选A．

14.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查充要条件的判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．

通过举例，特殊值，根据充分、必要条件的定义依次判断即可得出结果．

【解答】

解：对于选项A，因为等价于同号或至少一个为，等价于，所以，则正确；

对于选项B，数能被整除，当，，即是的不必要条件，故错误；

对于选项C，当时，，故，是的不充分条件，故错误；

对于选项D，若，，，当时，，是的不充分条件，故错误．

故选：．

15.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的应用，描述法的定义，交集及其运算，元素与集合的关系．

先从四个选择中最小的数开始进行检验是否满足，即属于，，中每一个集合，找出最小的一个即可．

【解答】

解：，

，，，

，

所以是四个答案中最小的一个，

故选：．

16.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了集合中元素的个数．

因为，，再将，，分别代入化简，可以得出集合中有且仅有个元素．

【解答】

解：若，则，

则，

，

则，

若，则，无解，

同理可证这个元素中，任意个元素都不相等，故集合中至少有个元素．

故选D

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查命题真假的判断，存在量词命题与全称量词命题真假的判断，属于中档题．

举反例可判断；根据方程的根可判断．

【解答】

解：当时，，所以，不正确，所以是假命题；

当时，，所以，，正确；所以是真命题；

当时，，所以，不正确，所以是假命题；

当且仅当时，，又，所以，不正确，所以是假命题．

故选ACD．

18.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合之间的包含关系和交并补混合运算，属基础题．

根据已知条件，利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解．

【解答】

解：如下图所示：

全集，集合、满足，

则，，，．

故选：．

19.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．

根据充分、必要、充要条件的定义判断即可．

【解答】

解：由，都是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，

则，，，

故，，

所以是的充分条件，是的充分条件，是的充要条件，是的充要条件，

故选BD．

20.【答案】

【解析】

【分析】

本题是以集合为背景的创新题型，考查集合中交集和并集的定义，集合中元素的性质，属于中档题．

由题意知，作为有理数集的两个子集：集合与集合，易判断它们中有无最大元素和最小元素．

【解答】

解：，不是戴德金分割，A错误；

，，显然集合中没有最大元素，

集合中有一个最小元素，即选项B可能

假设答案C可能，即集合、中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，

，，

显然集合中没有最大元素，集合中也没有最小元素，即选项D可能．

故选BD．

21.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查充分、必要条件，属于基础题．

理解和掌握充分条件和必要条件的定义是解答本题的关键，分别对、、、四个选项利用充分、必要条件的定义进行验证，可得正确结论．

【解答】

解：对于，，反之不成立，因此是的必要不充分条件，故A说法不正确

对于，若，，则，不能推出，因此不是的充分条件，故B说法不正确

对于，，故C说法正确

对于，正方形的对角线互相垂直，但是对角线互相垂直的不一定是正方形，如菱形，故D说法不正确．

故选ABD．

22.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查实数的取值范围的求法，考查子集等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

先求出集合，当时，，成立；当时，，由，得或，由此能求出实数的取值．

【解答】

解：集合，，，

当时，，成立；

当时，，

，或，

解得或，

综上，实数的取值范围为．

故选ABC．

23.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合间的基本关系，交集、并集的运算，属基础题．

直接化简，，再利用集合间的基本关系可得答案．

【解答】

解：由题意可知：，集合

，代表所有的偶数，代表所有

的整数，所以，即．

故选：．

24.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查必要条件、充分条件与充要条件的应用，考查交集运算的问题，属于基础题．

根据题意可求出的充要条件，讨论和，求得，进而可得到的必要不充分条件．

【解答】

解：，

若，

时，有，解得：；

时，有，解得：．

综上，当时，有．

所以的必要不充分条件可能是或者．

25.【答案】必要

【解析】

【分析】

本题考查了充分、必要条件的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．

由“便宜”“没好货”，利用充分、必要条件的判定方法即可判断出结论．

【解答】

解：因为“便宜”“没好货”，

所以“没好货”是“便宜”的必要条件．

故答案为：必要．

26.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的交集运算与性质，注意集合中元素的特征：互异性、确定性、无序性．

根据题意，由可得，由于中有个元素，则分三种情况讨论，，，，分别求出的值，求出，并验证是否满足，即可得答案．

【解答】

解：，则，

分种情况讨论：

，则，此时，，此时，不合题意，

，则，此时，，此时，符合题意，

，此时无解，不合题意；

则，

故答案为．

27.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查元素与集合的关系，集合的交、并、补混合运算，重点考查分析理解，逻辑推理能力，属基础题．

根据，可得，即可解得的值，进而可求得集合，又根据，可得，即，即可解得的值，即可得答案．

【解答】

解：因为，

所以，则，解得，

所以，解得，

又因为，

所以，即，

所以，解得，

所以，

故答案为：

28.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的包含关系及其应用，考查了集合中元素的个数判断，考查学生的逻辑思维能力，是中档题．

由题意画出图形得答案；求出前两天所受商品的种数，由特殊情况得到三天售出的商品最少种数．

【解答】

解：设第一天售出商品的种类集为，第二天售出商品的种类集为，第三天售出商品的种类集为，

如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有种；

由知，前两天售出的商品种类为种，第三天售出但第二天未售出的商品有种，

当这种商品属于第一天售出但第二天未售出的种商品中时，即第三天没有售出前两天未售出的商品时，这三天售出的商品种类最少为种．

故答案为：；．

29.【答案】，

【解析】

【分析】

本题考查命题的否定的写法，属简单题．

根据全称量词命题的否定要改成存在量词命题的原则，可写出原命题的否定．

【解答】

解：原命题为：，，

原命题为全称量词命题，

其否定为存在量词命题，且不等号须改变，

原命题的否定为：，，

故答案为：，．

30.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查集合的交并补混合运算的意义，利用韦恩图解决是关键诀窍．

解法一：画出韦恩图，根据已知，将中的元素逐一填入，即得答案．

解法二：可以直接根据求得．

【解答】

解：解法一：由已知条件，画出韦恩图如图所示，

根据已知，将中的元素逐一填入，可得，

解法二：，

故答案为：．

31.【答案】答案不唯一，只需满足即可

【解析】

【分析】

根据必要非充分条件的定义可知解集的包含关系，从而得到不等式组，解不等式组求得范围后，写出一个符合范围的值即可．

本题考查根据必要非充分条件求解参数值的问题，属于常考题型．

【解答】

解：由必要非充分条件的定义可知：

解得：，经检验或时，满足题意，

符合条件的实数的一个值为．

故答案为：答案不唯一，只需满足即可

32.【答案】或或或

【解析】

【分析】

本题主要考查了集合间的关系以及元素与集合的关系的应用，题目较难．

根据的值分情况讨论的情况，注意同时满足题干的三个条件．

【解答】

解：时，集合，

由；若，则；若，则；可知：

当时，则，即，则，即，但元素与集合的关系不确定，故或；

当时，则，，元素与集合的关系不确定，

故或．

当时，集合，

由；若，则；若，则，可知：

，同属于，此时属于的补集；或，同属于的补集，此时属于；

属于时，属于的补集；或属于的补集，属于；而元素，没有限制．

故满足条件的集合共有个．

故答案为：或或或；．

33.【答案】解：

或，

或．

【解析】本题考查集合的交集、并集、补集及其运算，属于中档题．

直接利用交集的定义求解；

首先求集合的补集，再求．

34.【答案】解：，

，

则的取值范围是；

因为“”是“”的充分条件，

，

所以或，

则的取值范围是或．

【解析】本题考查根据交集运算求解参数的取值范围，充分条件的定义．

根据交集的运算及已知列出不等式组，解不等式组即可；

根据条件便知，即可得到的取值范围．

35.【答案】解：当时，则，，

或，；

若，则：

时，，

，此时满足题意；

时，

．

综上所述，或．

【解析】本题考查了交、补集的混合运算，考查集合的关系，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．

当时，求出集合，即可求；

若，分类讨论，建立不等式组，即可求实数的取值范围．

36.【答案】证明：先证充分性：若，

则，即充分性成立．

再证必要性：若，则，

，，即成立．

综上，“”成立的充要条件是“”．

【解析】本题考查了充要条件的应用，属于基础题．

先证充分性：若，可得成立；再证必要性：若，由因式分解可得成立，即可得证．

37.【答案】解：因为“”是“”的充分不必要条件，

所以，

当时，即时，不满足互异性，不符合题意；

当时，即或时，可知符合题意；

所以；

若选：

则，不满足互异性，不符合题意；

若选：

，，所以，

所以，，；

若选：

，，

所以，

所以，，，，，．

【解析】本题考查了充分条件与必要条件的判断、集合与集合关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

利用“”是“”的充分不必要条件，得到，分情况求解即可；

分别选择进行研究，利用集合与集合之间的关系进行分析求解即可．

38.【答案】解，

，

证明

，

所以

同理，所以．

【解析】本题主要考查了对新定义的理解，考查了学生的应变能力．

依据定义求，，再求，，即得结果；

依据定义证明，同理即可

39.【答案】解：集合，，且，

，或，

解得，或，或，

当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去，

当时，，，满足，

实数的值为；

由得，，

，

集合可能为或或或．

【解析】本题考查了并集及其运算，以及集合的关系判断及应用，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．

由为的子集，得到中所有元素都属于，列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值，注意验证；

由中求得的的值代入确定出，，根据，得到中必然含有元素，写出集合的所有可能情况即可．

40.【答案】解：因为，所以解得，

所以的取值范围是．

因为，

所以，

所以或，解得或，

所以的取值范围是或．

【解析】本题考查集合的交集和并集的运算，属于基础题．

由，得到解得的取值范围即可；

因为，得所以或，解得的取值范围即可．

41.【答案】解：因为命题“，”为假命题，

所以它的否定：“，”为真命题，

即关于的方程有实数根，

当时，方程化为，显然有解；

当时，应