2020年高考数学试卷-全国1(理科)

2020年高考数学试卷--全国1(理科)2020年全国高考数学试卷一，选择题部分1.若$z=1+i$，则$|z^2-2z|=$（）。A.0B.1C.2D.22.已知集合$A=\{x|x^2-4\leqslant0\}$，$B=\{x|2x+a\leqslant0\}$，且$A\capB=\{x|-2\leqslantx\leqslant1\}$，则$a=$（）。A.$-4$B.$-2$C.2D.43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）。$\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$$\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$$\dfrac{4-\sqrt{2}}{2}$$\dfrac{4+\sqrt{2}}{2}$4.已知$A$为抛物线$C:y^2=2px(p>0)$上一点，点$A$到$C$的焦点的距离为$12$，到$y$轴的距离为$9$，则$p=$（）。A.2B.3C.6D.95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率$y$和温度$x$（单位：℃）的关系，在$20$个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据$(x_i,y_i)(i=1,\cdots,20)$得到下面的散点图：[图片]由此散点图，在$10℃$至$40℃$之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率$y$和温度$x$的回归方程类型的是（）。A.$y=a+bx$B.$y=a+bx^2$C.$y=a+be^x$D.$y=a+b\lnx$6.函数$f(x)=x^4-2x^3$的图像在点$(1,f(1))$处的切线方程为（）。A.$y=-2x-1$B.$y=-2x+1$C.$y=2x-3$D.$y=2x+1$7.设函数$f(x)=\cos(\omegax+\dfrac{\pi}{6})$在$[-\pi,\pi]$的图像大致如下图，则$f(x)$的最小正周期为（）。[图片]A.$\dfrac{10\pi}{7}$B.$\dfrac{6\pi}{5}$C.$\dfrac{4\pi}{3}$D.$\dfrac{32\pi}{9}$8.$(x+2)(x+y)^5$的展开式中$x^3y^3$的系数为（）。A.5B.10C.15D.209.已知$\alpha\in(0,\pi)$，且$3\cos2\alpha-8\cos\alpha=5$，则$\sin\alpha=$（）。$\dfrac{5}{21}$$\dfrac{3}{5}$$\dfrac{2}{3}$$\dfrac{1}{2}$17.(12分)(1)设公比为q，则有：a2=a1*qa3=a2*q=a1*q^2a4=(a3+a5)/2=a1*q^3因为a3是a2、a4的等差中项，所以有：a3=(a2+a4)/2a1*q^2=(a1*q+a1*q^3)/2q^2=(q+q^3)/2q^3-2q^2+q=0q(q-1)^2=0因为公比不为1，所以q≠1，因此q=2。(2)因为a1=1，所以an=2^(n-1)。所以，na_n=n*2^(n-1)。利用等比数列求和公式，有：S_n=a1*(1-q^n)/(1-q)=1*(1-2^n)/(1-2)=2^n-1所以，S_n=2^n-1。18.(12分)(1)连接AP，交平面PBC于点M，则AM⊥PBC。因为PO=DO，所以△APO和△DOP全等，因此∠APO=∠DOP。又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=60°，所以∠AOD=120°。因此，∠DOP=∠AOP-∠AOD=90°-120°=-30°。所以，∠APM=∠BPM=90°-∠PBC。因此，PA⊥平面PBC。(2)由余弦定理，有：cos∠BPC=(BP^2+PC^2-BC^2)/(2*BP*PC)因为BP=PC，所以有：cos∠BPC=(2BP^2-BC^2)/(2BP^2)因为BP=PO，BC=2R，所以有：cos∠BPC=(2PO^2-4R^2)/(2PO^2)因为PO=DO=R，所以有：cos∠BPC=(2R^2-4R^2)/(2R^2)=-1/2所以，cos∠BPC=-1/2。19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一轮轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为0.5。(1)求甲连胜四场的概率；(2)求需要进行第五场比赛的概率；(3)求丙最终获胜的概率。解：(1)甲连胜四场，说明乙必须连输三场，且甲不能输掉任何一场。因此，甲连胜四场的概率为：(1/2)^4=1/16。(2)需要进行第五场比赛的情况有两种：甲、乙各胜两场，且第五场比赛中甲胜；或者甲胜三场，乙只胜一场，第五场比赛中乙胜。这两种情况的概率分别为：(1/2)^4×1/2+(1/2)^4×1/2=1/16；(1/2)^4×4×1/2×1/2=1/32。因此，需要进行第五场比赛的概率为：1/16+1/32=3/32。(3)丙最终获胜的情况只有一种，即甲、乙先被淘汰，丙成为最后的胜者。因此，丙最终获胜的概率为：1/2×1/2=1/4。答：(1)1/16；(2)3/32；(3)1/4。220.已知A、B分别为椭圆E：(x^2/a^2)+(y^2)=1(a>1)的左、右顶点，G为E上顶点，AG→、GB→=8。P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D。(1)求E的方程；(2)证明：直线CD过定点。解：(1)设椭圆E的中心为O，过A、B两点的直线为l，交E于C、D两点，交x轴于M、N两点。则l的斜率为k=0，因为A、B在x轴上。又因为l过O的中垂线，所以O在l上的纵坐标为0。设A的横坐标为-x，B的横坐标为x，则O的横坐标为0，AG→、GB→=8，所以G的横坐标为±a。因此，l的方程为y=0。由此可得，E的方程为：(x^2/a^2)+y^2=1。(2)设CD交x轴于点T。由于E的对称轴与x轴平行，所以C、D关于x轴对称。又因为x=6是CD的方程，所以C、D的横坐标之和为12。设C、D的横坐标分别为x1、x2，则有：x1+x2=12。又因为C、D在E上，所以有：(x1^2/a^2)+y1^2=1，(x2^2/a^2)+y2^2=1。由于E的中心在原点，所以C、D关于原点对称。因此，y1=-y2。将y1=-y2代入上式，得：(x1^2/a^2)-(x2^2/a^2)=0。将x1+x2=12和(x1^2/a^2)-(x2^2/a^2)=0代入直线CD的方程x=6中，解得T的坐标为(6,0)。因此，CD过定点(6,0)。答：(1)(x^2/a^2)+y^2=1；(2)定点为(6,0)。21.已知函数f(x)=e^x+ax^2-x。(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x≥2时，f(x)≥x+1，求a的取值范围。解：(1)当a=1时，f'(x)=e^x+2x-1，f''(x)=e^x+2>0。因此，f(x)在R上是凸函数。又因为f'(0)=0，所以f(x)在x<0上是单调递减的，在x>0上是单调递增的。(2)当x≥2时，f(x)≥x+1，即e^x+ax^2-x≥x+1，化简得ax^2-e^x+x-1≥0。考虑函数g(x)=ax^2-e^x+x-1，g'(x)=2ax-e^x+1，g''(x)=2a-e^x<0。因此，g(x)在x>0上是单调递减的。又因为g(2)≥0，所以a的取值范围为：a≥(e^2-2×2+1)/4=e^2/4-1/2。答：(1)当a=1时，在x<0上是单调递减的，在x>0上是单调递增的；(2)a≥e^2/4-1/2。22.在直角坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为x=coskt，y=sint(k为正整数)为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4ρcosθ-16ρsinθ+3=0。(1)当k=1时，C1是什么曲线？(2)当k=4时，求C1与C2的公共点的直角坐标。解：(1)当k=1时，C1的参数方程为x=cost，y=sint。因此，C1是单位圆x^2+y^2=1。(2)当k=4时，C1的参数方程为x=cos4t，y=sin4t。将x、y用极坐标表示，得：x=ρcosθ，y=ρsinθ。将x、y代入C1的参数方程，得：ρcosθ=cos4t，ρsinθ=sin4t。将两式平方相加，得：ρ^2=1/2+1/2cos8t。将ρ代入C2的极坐标方程，得：4(1/2+1/2cos8t)cosθ-16(1/2+1/2cos8t)sinθ+3=0。化简得：2co