2023新高考数学模拟试题及答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和小选薜麴两部分.满分150分,考试时间120分仲.

2.霍电前.考生务必用支糙0.5电来黑色《水签字芯将密封线内《目填写清电.

3.考生作着时.清将各案卷在本题卡上，选择题每小题选出答案后.用2B铅笔把答题卡上时应题

目的着蜜标号涂黑：非逸提题请用克往0.5毫米黑色E水签字邕在筌题卡上各题的答题区域内

作"超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.高*强;

一、选择・:本・共8小・，每小・5分，共40分。在每小盘给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A=UlO<jr<l}.B={x|log2x<l},则

A.Af|B=AaAUB=R

GAAB=BD.ADB=0

2.已知空间四个点.WT这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面内”的

A充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若双曲线/—一y=入。*0）的两条渐近线互相垂直，则m=

A.-1B.±1C.2D.±2

4.已知sina=；+8Sa,则出12二第=

sin（a+勃

■年B.一号C.空D.考

5.已知复数z的实部和虚部均为整数,则满足Ir-H<|f|的复数z的个数为

A.2B.3C.4D.5

6.函数/（公=本》12xx-］在区间［-3,3］上的零点个数为

A.10K8C.6D.4

7.将函数/（口的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位K度,所得函数图象与曲线、=4,

关于直线上=1对称，则/（一十）=

A.-4B.-3C.-2D.4

8.已知。是△ABC的外心，且满足2A（5='右tA（',^HA^BC匕的投影向It为磊黄，则cos/AOC=

3_D3/10

A.B•嘿C

T5,10

【高三开学考•数学第1页（共4页）】[HS

二.选用■:水■典，小■.■小■<分.典加分.a・小出的再R・目■京.金9

法时的■，分.墨分堆门的■1分.真赛■的樽。分.

♦.，唬C/<，，<tn|w!)«(•>I'llwi*••!

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A.P«A+B)=P(B)RP(BAL黯；

GP(AB)-ll>,P(Aft)-P(A>

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、的魄(•关于原点。隙

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I.01—***所网或阴形的曲松力S.H^v3V2

i>.rvftAft.1，在E«a.mPM>“―

三.412■:*■共4小■.■小■，分.共20分.

1

1：TitMhat”2a0<«6K>>|M('l(x3»'•(yI)9相交f1H取得・小

值时,内线/的叙率为

H.2022#9»l»II.新人"植・胤八发发、於1L称.也H在德M巴♦“什的，73HEXi・K公匕•

ftMAYWHAM号便务博队fl次负愉04『鼠取介金2022*”・《lA01H.

MttffllMTI,'，•人知以包济括动.MM-仲网与的樽力或缙如37.6.8.9.8.7.10.人普A抻

加•蛆Ct*的F网分fQ依保搞小理.R*HEUM^I0)KA4UC.(。出。博星

条件的E值・可)

汉(大力’的■开式中,我彳事息.(州良r，的y下)

16.taffi.Md；A««»AAA干・・内・.A〃称A▼・・的

RM.ANAB.C.Dflf««

(A•数学*H)]**?

闪、x答■:本■其・小■,典”分.

17.（/小■■分1。分,

乂&旬*倩足4.2*.，7E.E力拿教

.JIFWrttH.

门4W任•J.・..求女数e的拿值的IK

】&＜，小■客份129，

加网.CE过彩AHCD中.E为AD匕一点,若AG=3AAAH^3,HEl.A-"

Tl

£

Cr.HC-、QAE.CD=1・NC=2/CBD.求内为AHCC的面枳.

19.＜本小■■分12分）

IDSI.tlSlABC。是上下底边长分别为2他6.高为门的第It棒形,有它沿对弊*"A折盘.并违接

AB.CDWHiQffi2所示的几何体awnn,

（1）判断几何体（MBCDTA是•片剧・几何体.井ii«h

（2）我几何体（MBC。。中，者二・翕A8,8为直二・京,求二柬第。。的余弦01

―M^

KA升学学，3我（头4列）】Mt

20.(本小题满分12分)

2022年11月21日,我国迄今水下考古发现的体收最大的木质沉船长江口二号占船,在长江口

横沙水域成功整体打捞出水.I.海市文物局会同交通运输部上海打攒局,集成先进的打捞匚艺、技术

路线、设备制造.最终研究并形成门It界首创的“弧形梁作接触文物整体迁移技术”来打措这股古船.

这是全新的打捞解决方案,创造性地融合了核电弧形梁加I：「.艺、窿道盾构掘进工艺、沉管隧道而接

工艺.并运用液压同步提升技术、综合监控系统等先进的高新技术.这些技术也是苜次应用于文物保

护和考古领域.

近年来.随着科学技术的发展,越来越多的占迹具备「发掘的条件•然而相关考古专业人才却严

重不足.某调杳机构为「解高•:学生在志愿填报时对考占专业的态度,在某中学高三年级的1200名

男生和800名女生中按比例分配的分层,随机抽取20名学生进行了调杳,调查结果如下表：

填报

不填报

非第一志愿填报第一志愿填报

男生X52

女生y10

(1)完成列联表，并依据小概率值a=0.05的独立性检验判断是否可以认为该校学生填报志愿时••是

否填报考古专业”与性别有关联？

男生女生总计

不填报

填报

总计2”

(2)从抽出的男生中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名男生中“第一志愿填报考

古专业”和“非第一志愿填报考古专业”人数差的绝对值，求X的数学期望.

图7一-(a+6+c+d)(a</-6c)z

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

a0.050.0100.001

43.8416.63510.828

21.(本小题满分12分)

设函数/(x)=06^—(2x+l)eJR.

(1)当a=l时,求曲线y=/Cr)在点(0,/(0))处的切线方程I

⑵若aVO,且/Gr)在区间(一2,+8)上有极值,求实数a的取值范围.

22.(本小题满分12分)

在平面直角坐标系xOy中，点P到点F(1,0)的即离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设过点F且不与工轴瓯合的直线，与C交于A,B两点，求证：在曲线(,上存在点P，使得直线

PA,OP,PB的斜率成等差数列.

【高三开学考•数学第4页(共4页)】I新高考I

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.A因为A=(川0＜^-＜1},B={工|0＜工＜2),所以ADB=A,AUB=B.故选A.

2.A“这四个点中有三点在同一直线上”，一定能推出“这四点在同一个平面内”，充分性成立广四个点在同一平面内‘'不

能推出有三点在同一直线上，必要性不成立，所以前者是后者的充分不必要条件.故选A.

3.B由./一疗_/=0,得渐近线方程为？=±5彳，乂双曲线才2—,/丁=入。#0)的两条渐近线互相垂直，所以一］x!

=一1,解得，"=±1.故选B.

7r笈(cosa十sina)(cosa~~sina)

4.D因为sina=g+cosa,即sina—cosa=~!"，所以一'：~笠'=j=--*2g---

sin(a+g)sina+cosa

■y-(sina-Feosa)

—>/2(cosa—sina)=考.故选D.

|合卜同=1.所以(a-l)z+〃wi.

5.C设之=a+历(a,〃£Z),贝壮=a一历，|z—1|=/(«-l)2+^,

法一：因为Q-l)2-0,所以〃wi,即一IWYl.

当Q±1时,aT=。即a=］,有两组满足条件仁:仁;:

a=l,(a=2,(a=0,,,………吉4

当b=0时,a—1=0或a—1=±1,所以Q0.f=。.但时E不符合题意,

故选C.

法二:如图，可转化为研究圆面(。一1尸+〃&1内(包括边界)的整点个数.圆面包括的整点分别

为(0,0),(1,0),(2,0),(1,1),(1,-1),而而,0)不适合则符合题意的整点共有4个.故

选C.

6.B因为=-1关0,所以0不是人工)的零点.当工声0时，方程zsin2兀＜-1=0的解

的个数为函数/i(.r)=sin2K.Z-与8(7)=?的图象在［-3,31上交点的个数.在同一坐标

系中作出ACr)=sin271r与gCr)=十在(0,311上的图象(注意到当0＜工41时,g(z)单

调递减，g(x)＞l，/“H)Wl，g⑴=1,/“1)=0,8(［)=春＜八(1")=1)，如图所示，由

图可知在区间(0,31上,两函数图象有4个交点，而/“工)=sin2E与g(工)=+均为奇

/z(.r)=sin2n.r

函数，故在［-3,3］上两图象交点个数为8,即/(_r)=_rsin2w1在区间［-3,3］上的零点个数为8.故选B.

7.D函数y=4--的图象与曲线y=4"关于直线工=1对称，将¥=4?"的图象向下平移4个单位长度得到，=4”“一4

的图象，将-4的图象向左平移1个单位长度得到，=42-＜-"-4=4一・一4的图象，即/(工)=4一，一4,故

/'(―1-)=4-十—4=4.故选D.

8.C设BC的中点为M.则范+充=2病，所以茄=俞，所以外心O与中点M重合，

故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.

法一:函在质上的投影向量为(|威|cos(g^cosB)BC=COS2B•BC砥/-------V

=磊说，所以cos，B=L又cos/AOC=cos2B=2cos2B-l=2X^-l=y.故选C.

法二:因为前在函上的投影向量为条正,所以该在爱上的投影向量为名炭一得皮=•!反'，而I疏|=4|BC|,

1U1v乙3乙

则cosZA(x；=cosZAMC=.故选C

击位|5

9.BC因为函数/⑴二瓦4^+号人女的最小正周期为公所以誓一则^^厮以八了:^山⑵+手).

又寸于A,法一：/(-y-=sin("1-7r-2.rH--y)=sin(it-2a-)=sinlx,/(j-H--y)=sin(2_r+与H--y)=sin(2j-|-x)

【高三开学考•数学参考答案第1页(共6页)】新局等

=="sin,/（号一手），则A错误;

法二:八号一=/（才+4~）意味着/⑴的图象关于直线i=贯■对称，将工=~^代人/（I）=sin（21+《•），得/（£~）

=O"Cr）的图象关于点（号,0）时称，则A错误；

对于B,J=COS（2JT—~.）=cos（2w+~|■一号）=$沿（2父+号），则B正确;

对于C,f（i+吉）=sin（21+手+号）=sin（2片+专），f（--^--x）=sin（一六一21+发）=­sin（21+导）=

一/。十吉）,则C正确；

对于■《27+号（竽,当.即0《父〈金时,（/）&】，3£［。喷］，使得

f）=sin（2力+号）=9;当发<2］+~!~<w,即韦0<多时,一堂《/（1）<1,三力2£（名号］♦使得）=

sin（2e+号）=兴所以在10,今］匕/。）=磊有两解,则口错误.故选BC.

O1vL_乙」1v

10.ABD由题意，BUA,所以A+B=A,AB=B,所以尸（A+B）=P（A）,P（AB）=P（B）,贝ijA,D借误；尸（B|A）=

带需2=虢，则B错误;?（A|8）=轻祟=鬻条=1,则C正确.故选ABD.

r\/\）r\/\）r{ij）r（iJ）

Q，"q"+l

11.ACD对于A,因为片>旌"+|一卅'，所以（〃+1兀"'>"27/喙>苗，则A正确；

对于B,令"工）=巨（工>1），则/（工）=上要e>0,所以八2）在（1,+8）上单调递增；由金〉与，得/<加）

〉八”+1）,所以加>“+1,即"?一1>”,所以（+）'"’<（+）”,则B错误;

对于3因为机>〃+1,所以2"1+2-">2"一+2f>2/2"一•2f=2/尹=孝.所以2"1+2-”>孝.则C正确；

对于D.因为机+”>"+1+==2"+1>3,所以log3（加+”）>1,则D正确.故选ACD.

12.ABD根据题意,1T>O且1一城>0.即工61—1,口,欠［一毋,4］，显然当Q<0时,不满足C的方程;当q

）0时,两边平方化简.得二+4/=1,曲线C表示椭圆/+4/=1在第一象限和第三象限内的部分及坐标轴上的点，

如下图所示：

用一工，一），分别代替.r0,C的方程不变，所以曲线C关于原点对称.故A正确；

设P（3）,则|（用2=/+丁=（1-4/）+y=1-3/由0<24:,得:《1-3丁&1,所以得〈IOPI&1.故B

正确；

对于C.曲线C与坐标轴所围成的图形如下图阴影部分所示（Al，42，&,星是曲线与坐标轴交点）.

以。4,OB,为邻边作矩形OA,MIi,，则阴影部分的面积S<2S翻修%，吗=2X1X^=1,故C错误；

对于D.易知直线产一十工+笈在曲线C上方，且没有公共点.设厂一步+〃，与/+短=1联立消去引得2/一

46x+4Z>2-l=0,若直线广一^+1）与椭圆C相切，则△=16〃-8（4加-1）=0,解得〃=土考；当1>=~时,切点在

【高三开学考•数学参考答案第2页（共6页）】|新高考|

72-"

所

第一象限，所以直线产一》+考与直线产一品+"间的距离即为PM\的最小值，即|一=5

IPM|„lin=

75-

2

以IPM|2空,故D正确.故选ABD.

13.2由题意，得圆C的圆心C（3,l）,半径/-3,直线I过定点尸（1,2）,点P在圆C内.所以当PC_U时，IAB|取得最小

值.此时PC的斜率—吕=一十,故Z的斜率为2.

14.7（或8或9或10）去掉＞n后的七个数从小到大排列为6,7,7,8,8,9,10,下四分位数就是第二个数7,且第2个数和

第3个数都是7；而八个数的下四分位数是从小到大排列后，第二个数和第三个数的平均值.所以只要加＞7,全部八个

数从小到大排列后第2个数和第3个数就都还是7,下四分位数就不会变.所以整数”,的值可以是7,或8.或9,或10.

15.28工和才一'（汴+'）'展开式的通项为.+尸&（汴）s-'（3）'=a•工人（04《8）,由1^&€2,得「=2或

8,T2+I=Q•工=28r,八+1=0•工-'=了7,故有理项是28工和工7.

16.27K法一:设正方体的棱长为a，取空间的•个基底｛逝，公，俞｝，设“是平面a的一个方向向上的单位法向量.由空

间向量基本定理，存在唯一的有序实数组Cr,',G,使得“=工前+了元+之天5由题意，茄,左，病在n方向上的投

影向量的长度分别为笈，悟,2.于是,"•谶=&.即（才就+y衣+z防）•蒜=废■，即工/=修，即了=哗.同理,

a"

产§,2=总从而n=[■（夜磋+悟公+2俞）.由=得十〃2/+3/+症=1,即,•3a=1,解得a=3,所

以正方体的外接球半径为挈，外接球的表面积为4K（乎?=27工

法二:如图.连结BC.CD.BD.过A向上作平面a的垂线段AH.接下来以AH为一

条体对角线，同时将顶点A处的三条棱放在正方体的棱AB,ACAD匕作一个长方

体,AB'.AC',AD'是长方体的三条棱（图略）,则AB,2+AC'2+AD，2=AH2.则

AR'24/^2AC'？

22Z.CAH2ADAH==

cosZBAH+cos+cosAH-AH-AH-

1

AB^+AC^+AD'=l作BB]于&,CGLa于Ci,DQ_La于Di;连结ABt,

AG.AD）.令/BAB=d,/CAG=y./DAD=仇由cos?/BAH+cos?/CAH+

cos2/DAH=L可得$五沔+4112/?+S而7=1,设正方体的棱长为心因为BBi=",CQ=悟,DR=2,.所以（§）“+

（（看解得公=故该正方体外接球半径为母=挈,外接球的表面积为（挈

gy+y=i,9,41txy=诅

17.（1）证明：因为%-=2处+2"\

等式两边同除以2"1得料=会+1,即第一次=1,.....................................................................................3分

所以数列管）是首项为号•，公差为1的等差数列....................................................5分

⑵解:由（1）得当'=B+1）.因此a"=,"•2"-1+（〃-1）.2".................................................................6分

由£2„+i＞a„对"SN，恒成立，得m•2"+"♦2"+1•2"1+（zj—1）•2"N,均成立.

因为2"T＞0,不等式两边同除以2"7，得2"?+4心＞帆+2”-2,

即”?＞一2”一2对,£N'恒成立，.................................................................8分

当71=1时，-2”一2取最大值一4»所以«＞—4,

所以实数，”的取值范围为（-4,+8）............................................................................................................10分

18.(1)证明:在AABE中，由余弦定理，得BE^nA^+AB'—ZAEXABXcosA,即3AE,解得AE=1或2.

............................................................................................................................................................................1分

当AE=1时,由俞=3旋，得DE=2,AD=3.

在△ABD中.由余弦定理，得BD2=AD2+AB2-2ADXABXcosA=9+3-2X3X73X^=3,

所以BD=73.

此时BD=AB,/BDA=/BAD=£,/ABD=W＞。...................................................................................3分

bOZ

【高三开学考•数学参考答案第3页（共6页）】|新高考|

当AE=2时，由AD=3AE,得DE=4,AD=6.

在△ABD中，由余弦定理，得BD2=AD24-AB2-2ADXABXcos4=36+3-2X6Xy3X^=21,

22

/AAB?+BD—AD3+21—36/於

所以cos/A3D=—不二五寸石齐一=---FF=<0,

2XABXBD2X73X/2T

又NABDe（O,K）,所以/ABD>}...........................................................................................................................5分

综上,NABD>号...................................................................................6分

（2）解:因为BDuVS'AE,结合（1）得BD=向,AE=1................................................................................................7分

设NCBD=a，则NC=2a,

在△BCD中.由正弦定理,得卓=」峥.

sinasinNa

即」一=2（?=^/3sina,...............................................................................................................................8分

sinasin2a

所以2sinacosa=V3sina.

由0<2。+。<n,可得OVoV菅•所以cosa=§，得。=吃，

oLb

则NC=+，/CDB=+，所以四边形ABCD的面积

分

S=S^+SA„.D=1x73X3Xsinf+|xy3Xl=^................................................................................12

19.（1）解:几何体（MBCDQ是三棱台，证明如下：...........................................................1分

由条件知DO1〃AO,又AOU平面AOB.DOiU平面AOB,

所以DQ〃平面AOB,同理,C。〃平面AOB.

因为DC）.ACQ=。，所以平面DCOi〃平面AOB...................................................................................................3分

另一方面，延长AD，OQ交于点M,如图，

“1M

因为D（入//AO且0（）,=等人0,£

3/；\

所以——C2LA1——={2L^=Z2QL=J_解得0M=工（、）1•：0i\

加以O1M+（X）|OMA。3股号I2c

同理，延长BCOa交于点M7,也可得。时=*0。，r；\

故点和点重合，即延长后交于同一点

MM'AD.BCOQM,/J_________\B

从而几何体OABCDQ是三棱台...............................................6分/，二二^

（2）解：因为。AJ_OQ.OB1CXZ.A匕1"^

所以NAOB是直二面角A-00）-B的一个平面角，

从而OAJ_QB.............................................................................................................................................................7分

以O为原点,OA,OB.（X）所在直线分别为.r轴,），轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则0（0,0,0）,A（3,0,0）,B（0,3,0）,C（0,l,g）,Oi（0,0,倍）.

所以AC=（-3,1,乃），BOi=（0,-3,点）,A5质劣=-3+伍X伍=0,

所以BO]J_AC,又因为m或"00=-3+73义0=0,所以BOiJ_OC.

而AGOCU平面A（X、,ACnoC=C,

所以_L平面QAC,丽是平面OAC的一个法向量...................

设"=（工,y,z）是平面。AC的一个法向量,

——>n,AC=O,

向ac=（。,],。）及[.前=0,得―3N+?+-z=0,

»=0，

取;3=而，得71=（1,0,总）..........................................................................11分

设二面角AC-Oi的大小为。，由图可知,0为锐角，

所以cos0=Icos<n,BQ>|=J:常黑T=《，

即二面角AC-。的余弦值是空..................................................................12分

【高三开学考•数学参考答案第4页（共6页）】新高等

20X1200”，

“尸2000=12,

20.解：(1)设抽取的20人中，男、女生人数分别为乃，也，贝H

20X800=q

2000T

所以工=12-5-2=5,3=8-1-0=7.

列联表如下：

男生女生总计

不填报5712

填报718

总计12820

3分

零假设为

H,:“是否填报考古专业”与性别无关联......4分

根据列联表中的数据，经计算得到

,20X(5Xl-7X7)J,

X=-12X8X8X12~4・2°1>3.841=^.05-5分

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断H,不成立，即认为“是否填报考古专业”与性别有关联,此推断犯错误

的概率不大于0.05......................................................................................................................................................6分

(2)X的可能取值为0,1,2,3,.....................................................................................................................................7分

C+QCC_60

©2-220；

ce+cc+cc+acL95

1A=1-Cf^=220?

P(x=2)=Qc+ce=%.

乙C?220'

P(X=3)=S"=悬................................................................................11分

所以E〈X〉=0X怒+1X蒜+2X蒜+3X^=条................................................12分

21.解：(1)当a=l时J(H)=e"-(2z+l)e",

则/(0)=^-3>=0,切点为(0,0).........................................................................................................................1分

/(工)=-(2^—2]-3),/'(0)=&(26。-3)=-1.切线斜率为-1,........................................................................2分

所以所求切线方程为，一0=一(工一0)，即工+》=0................................................................................................3分

(2)法一：/0)=0，(241-2工-3)，

r

令/i(.r)=2ae—2JT—3,

因为。<0,所以/"了)在R上单调递减；.................................................................4分

又当工<0时,e，yi,2aer>2a,

所以“匍父)>2"—(2。-3)—3=0,

又灰0)=2。-3<0,

所以三网€(红了±0)•使得〃(H“)=2aer。一2m一3=0........................................................................................6分

所以e*<>=写心>0,。=华炉，

Za2e<>

因为aVO,所以2丸+3V0,劭V—1■，由题意.小>—2............................................................................................8分

故当(―2,m)时/'(N)>(),/(n)单调递增；

当父£国，一管)时，/心)V0,⑴<0,/⑴单调递减.

/(/)在以)处取得极大值,曲S(―2,--..........................................................................................................9分

令〃“①)=21+3,工1(12,--y)，则〃/(①)=-2：<1>0，

Ze'Z7Ze

所以，”(工)在(一2,一方)上单调递增,.................................................................11分

而

in(,-2)=J2=~2»>»(----1-)=0，

【高三开学考•数学参考答案第5页(共6页)】新局等

所以一导＜a＜0,

故实数，，的取值范围为（一亨,0）...........................................................................................................................12分

法二：由题意，/（w）=eF2ae，一2了一3）在（一2,+8）上有零点，

即函数8（7）=2。片一2工一3在（-2,+8）上有零点.

即方程2a=e-』（2r+3）在（-2,+8）上有实根......................................................4分

令从了）=e-（2才+3）,则，（了）=e'（-2.r-1）.

考虑到了〉一2,则，（了）＞0㈡一2＜了＜一-^；/（了）＜06＞一十,

所以/“了）在（一2,一~）上单调递增，在（一^,+8）上单调递减.

所以•是底M）的最大值点，即HGaf（一受）=2