平面力系及平衡方程-课件

1.2平面力系及平衡方程一、概述

1．力系的的概念力系——作用在同一物体上的一群力（一组力）。

2．平面力系及分类平面力系——力系中各力作用在同一个平面内。平面力系又分平面汇交力系、平面平行力系、平面一般力系。

1.2平面力系及平衡方程一、概述1图1-36平面汇交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都相互平行，如图1-37所示。图1-37平面平行力系（1）平面汇交力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线都汇交于一点，如图1-36所示。图1-36平面汇交力系（2）平面平行力系：力系中各力作用在同2图1-38平面一般力系

（3）平面一般力系：力系中各力作用在同一个平面内，且各个力的作用线在平面内任意分布，如图1-38所示。图1-38平面一般力系（3）平面一般力系：力系中各力作用在3二、平面汇交力系1、力在坐标轴上的投影设力F作用于物体的A点，如图所示。定义：从力F的两端分别向选定的坐标轴x，y作垂线,

其垂足间的距离就是力F在该轴上的投影。二、平面汇交力系设力F作用于物体的A点，如图所示。定义：从4

若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力F在坐标轴上的投影Fx和Fy可按下式计算：

Fx=±Fcosα

Fy=±Fsinα

力在坐标轴上的投影有两种特殊情况：

(1)当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影等于零。

(2)当力与坐标轴平行时，力在该轴上的投影的绝对值等于力的大小。若已知力F的大小及其与x轴所夹的锐角α，则力5

如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，则力F的大小和方向可由下式确定

力F的指向和投影Fx和Fy的正负号判定:如果把力F沿x、y轴分解为两个分力F1、F2，投影的绝对值等于分力的大小，投影的正负号指明了分力是沿该轴的正向还是负向。（力的投影是代数量）。

如果已知力F在直角坐标轴上的投影Fx和Fy，6力的投影与分力关系:

将力F沿直角坐标轴方向分解，所得分力Fx、Fy的值与力F在同轴上的投影的绝对值相等。但是，力的分力是矢量，具有确切的大小、方向和作用点；而力的投影是代数量，不存在唯一作用线问题。力的投影与分力关系:将力F沿直角坐标轴方向分7合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。即2、合力投影定理合力投影定理：力系的合力在某轴上的投影等于2、合力投影定理83、平面汇交力系合成的解析法4、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力为零。即：3、平面汇交力系合成的解析法4、平面汇交力系的平衡方程平面汇9总结：总结：10

例1-6如下图所示重为G=5kN的球放在V型槽内，求槽面对求的约束反力。例1-6如下图所示重为G=5kN的球放在V型槽内，求槽面11三、平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系设有两个力偶 dd12三、平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面

平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于零。

结论:

平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。13平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和等于[例1-7]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻3个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为M1=M2=13.5N·m，M3=17N·m，求工件的总切削力偶矩。若在A

、B两处用螺柱固定，A和B质检的距离L=0.2m，求两个螺柱在该水平面内所受的力?[例1-7]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻3个等直径14[练习]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶矩为求工件的总切削力偶矩和A

、B端水平反力?解:各力偶的合力偶距为根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，力NA与力NB组成一力偶。15[练习]在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔1、力的平移定理：作用于刚体上某一点A的力可以平移到刚体上的任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原力F对新作用点B的矩.四、平面任意力系(F)F’=F”=F,(F’,F”,F)(F’,M)(F’,F”,F)(F’,M)1、力的平移定理：四、平面任意力系(F)F’=F”=F,16思考：1.附加力偶作用面在哪儿？

2.同一平面内的一个力和一个力偶能否等效成一个力？思考：1.附加力偶作用面在哪儿？17

结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一个力偶；反之同平面的一个力F1和一个力偶矩为m的力偶也一定能合成为一个大小和方向与力F1相同的力F，其作用点到力作用线的距离为:结论：一个力平移的结果可得到同平面的一个力和一18FR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’

F1’=F1M1=Mo(F1)(F1,F2,F3,…,Fn)(F1’,F2’,F3’,…,Fn’)(M1,M2,M3,…,Mn)(FR’,Mo)F2’=F2

M2=Mo(F2)F3’=F3

M3=Mo(F3)Fn’=Fn

Mn=Mo(Fn)……力系的主矢Mo=M1+M2+M3+…+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+…+Mo(Fn)=∑Mo(Fi)向O点简化的主矩=F1+F2+F3+…+Fn=∑Fi2、平面任意力系的简化FR’=F1’+F2’+F3’+…+Fn’F1’=F1M19结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到一个力和一个力偶。这个力等于该力系的主矢，作用于简化中心；这个力偶的力偶矩等于该力系对简化中心的主矩。即平面任意力系的简化结果：①合力偶MO

；②合力(1)简化方法汇交力系合力一般力系（任意力系）汇交力系+力偶系向一点简化（未知力系）（已知力系）结论：平面任意力系向其作用平面内一点简化，得到(1)简化方法20附加力偶的合力偶矩(2)主矢与主矩主矢：指原平面一般力系各力的矢量和。

主矢的解析求法方向：大小：注意：因主矢等于原力系各力的矢量和,所以它与简化中心的位置无关。附加力偶的合力偶矩(2)主矢与主矩主矢：指原平面一般力系各力21转向+–主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和。主矩MO正、负规定：因主矩等于各力对简化中心之矩的代数和，所以它的大小和转向一般与简化中心有关。注意：转向+–主矩：指原平面一般力系对简22=(1)FR=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。(2)MO=0，而FR≠0，原力系合成为一个力。作用于点O的力FR就是原力系的合力。(3)FR≠0，MO≠0，原力系简化成一个力偶和一个作用于点O的力。这时力系也可合成为一个力。说明如下：MOOFROdMo

AFR”OdMo

AFRFR”FR’=()FmFRMdå==00FR平面力系简化结果的讨论=(1)FR=0，而MO≠0，原力系合成为力偶。这时力系主23综上所述，可见：(4)FR=0，而MO=0，原力系平衡。⑴平面任意力系若不平衡，则当主矢主矩均不为零时，则该力系可以合成为一个力。⑵平面任意力系若不平衡，则当主矢为零而主矩不为零时，则该力系可以合成为一个力偶。综上所述，可见：(4)FR=0，而MO=0，原力系平衡。243、平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是：主失和主矩均为零。注意：上式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。（2）平衡方程（1）平衡条件3、平面力系的平衡方程所以平面任意力系平衡的必要和充分条件是25以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。平衡方程的其他形式：二矩式方程两矩心的连线与投影轴不垂直三矩式方程三矩心不共线以上每式中只有三个独立的平衡方程，只能解出三个未知量。平衡26（3）平衡方程的应用求解单个物体的平面力系平衡问题时，一般按如下步骤进行。①选定研究对象，取出分离体；②画受力图；③取适当的投影轴和矩心，列平衡方程并求解。（3）平衡方程的应用27例1-8求下图中铰链A、B处的约束反力。例1-8求下图中铰链A、B处的约束反力。28例1-9如下图所示，P=2kN，均布载荷集度q＝1kN/m，不计杆重，求杆在A、B处的约束反力。例1-9如下图所示，P=2kN，均布载荷集度q＝1kN/29【习题1】悬臂梁如图1-44所示，梁上作用有均布载荷，载荷集度为q＝10kN/m，在梁的自由端受集中力F＝12kN和力偶矩为M＝6kN·m的力偶作用，梁的长度为L＝1.5m，试求固定端A处的约束反力。图1-44悬臂梁【习题1】悬臂梁如图1-44所示，梁上作用有均布载荷，载荷集30

①取梁AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。②列平衡方程。均布载荷的合力Q在均布载荷作用范围的中点（图中不要画出），Q的大小等于载荷集度与均布载荷分布长度的乘积，即Q＝q·L。列平衡方程如下：由∑Fx＝0得NAX＝0①由∑FY＝0得NAy－q·L－F＝0②由∑MA（F）＝0得MA－q·L·L/2－F·L－M＝0③解题步骤①取梁AB为研究对象，其受力图及坐标建立如右图所示。②列31

③求解未知量由①式得

NAX＝0

由②式得NAy＝q·L＋F＝10×1.5＋12

＝27kN由③式得

MA＝q·L·L/2＋FL＋M

＝10×1.5×1.5/2＋12×1.5＋6

＝35.25kN·m所以，固定端A处的约束反力NAX＝0，

NAy＝27kN，