【解析】北师大版数学九年级上册同步练习-第四章 《图形的相似》综合练习（B）

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北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（B）

一、选择题（每题3分，共36分）

1．（2022·四川）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

2．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）

A．1B．C．2D．3

3．（2023·南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（）

A．B．C．D．

4．（2023·安徽）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（）

A．B．C．D．

5．（2022九上·福田期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（）

A．B．1C．D．

6．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A．B．C．D．

7．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（）

A．4B．5C．6D．7

8．（2022·镇江）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（）

A．2B．C．D．

9．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A．B．C．D．

10．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=，点C为平面内一动点，BC=，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，）

11．（2023·眉山）如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

12．（2023·通辽）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（）

A．B．C．或D．或

二、填空题（每空3分，共18分）

13．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为．

14．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为．

15．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则．

16．（2023·临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．

17．（2023·杭州）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则（结果用含的代数式表示）．

18．（2023·大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为．

三、解答题（共7题，共66分）

19．（2023·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心．求证：．

20．（2023·扬州）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若的面积为4，求的面积．

21．（2023·眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．

22．（2023·烟台）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．

23．（2023·黄冈）【问题呈现】

和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

（1）如图1，当时，直接写出，的位置关系：；

（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．

（3）【拓展应用】

当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．

24．（2023·兰州）综合与实践

（1）【思考尝试】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边上一点，于点F，，，．试猜想四边形的形状，并说明理由；

（2）【实践探究】

小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形中，E是边上一点，于点F，于点H，交于点G，可以用等式表示线段，，的数量关系，请你思考并解答这个问题；

（3）【拓展迁移】

小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形中，E是边上一点，于点H，点M在上，且，连接，，可以用等式表示线段，的数量关系，请你思考并解答这个问题．

25．（2023·菏泽）

（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．

（2）【问题解决】

如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．

（3）【类比迁移】

如图3，在菱形中，点，分别在边，上，，，，求的长．

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵DE∥BC，

∴，

∴BC=DE×=15cm.

故答案为：C.

【分析】根据比例的性质得出，然后根据平行线分线段成比例的性质求出，则可解答.

2．【答案】C

【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，

∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，

∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，

∴，

∵CA∥FE，

∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，

∴△CAB∽△FEB，

∴，

解得FE=4，

∴DH=2，

故答案为：C

【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。

3．【答案】B

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得∠ABC=∠EDC=90°，∠FCE=∠FCA，AB=1.2m，CB=2m，DC=10m，

∴∠BCA=∠DCE，

∴△CDE∽△CBA，

∴，

∴DE=8m，

故答案为：B

【分析】先根据题意得到∠ABC=∠EDC=90°，∠FCE=∠FCA，AB=1.2m，CB=2m，DC=10m，再运用相似三角形的判定与性质证明△CDE∽△CBA，进而得到，再代入数值即可求解。

4．【答案】B

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：因为FB=1，AF=2，所以AB=3，因为EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB，∴△AEF∽△ACB，∴EF∶CB=AF∶AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=3，∴EF∶3=2∶3，∴EF=2，∵EF∥AD，∴△GEF∽△GDA，∴GF∶GA=EF∶DA=2∶3，∴，∴，∴GA=3AF=6，所以GB=GA-BA=6-3=3，∴GB=DC，又∠DCB=∠GBM=90°，∠CMD=∠BMG，∴△BMG≌△CMD∴，在Rt△ADG中，，∴

故答案为：B。

【分析】首先根据△AEF∽△ACB求出EF的长。再根据△GEF∽△GDA求出GA的长，得出BG=CD，进一步判断△BMG≌△CMD得出，在在Rt△ADG中，根据勾股定理求出DG的长，即可得出MG的长。

5．【答案】A

【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，

，，，

点E、F分别为、的中点，

，，

，

，

，

．

由勾股定理得：，

，

，

，

，

，

解得：，

故答案为：A．

【分析】先求出FH=BH，再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可。

6．【答案】B

【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用

【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，

∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，

∴四边形ABGF是矩形，

∴AB=GF=1.6，BG=AF=x

∴△ACD∽△AEF，

∴，

解之：.

故答案为：B.

【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.

7．【答案】C

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵，

∴△ADC∽△ABO

∴，

∵，

∴，

∵C、D两点纵坐标分别为1、3，

∴，

∴，

解得：，

∴B点的纵坐标为6，故C正确.

故答案为：6.

【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.

8．【答案】A

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：AD=，AB=2，CD=3，

∵AB∥DC，

∴△AOB∽△DOC，

∴，

∴设AO=2x，则OD=3x，

∵AO+OD=AD，

∴2x+3x=5．

解得：x=1，

∴AO=2.

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理可得AD的值，由图形可得AB=2，CD=3，易证△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，设AO=2x，则OD=3x，根据AO+OD=AD可得x的值，据此解答.

9．【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；

∴，，故B不符合题意，C符合题意；

∴，故D不符合题意；

故答案为：C．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。

10．【答案】D

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵点C为平面内的一动点，BD=，

∴点C在以B为圆心，为半径的圆B上.

在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，

∵OA=OB=，

∴AD=OD+OA=，

∴.

∵CM：MA=1：2，

∴.

∵∠OAM=∠DAC，

∴△OAM∽△DAC，

∴，

∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可得当D、B、C东线时，且点B在线段DC上时，CD取得最大值.

∵OA=OB=，OD=，

∴BD==，

∴CD=BC+BD=9.

∵，

∴OM=6.

∵CF⊥OA，

∴∠DOB=∠DFC=90°.

∵∠BDO=∠CDF，

∴△BDO∽△CDF，

∴，

∴，

∴CF=.

同理可得△AEM∽△AFC，

∴，

∴，

∴ME=，

∴OE==，

∴当线段OM取最大值时，点M的坐标为（，）.

故答案为：D.

【分析】由题意可得：点C在以B为圆心，为半径的圆B上，在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，易得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△OAM∽△DAC，则，推出当D、B、C东线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，由勾股定理可得BD，然后求出CD、OM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，根据相似三角形的性质可得CF、ME，利用勾股定理求出OE，据此可得点M的坐标.

11．【答案】C

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，

∴∠FBA=90°，

∴△EDA≌△FBA（SAS），

∴EA=FA，∠EAD=∠FAB，

∴∠FAE=∠DAB=90°，

∴△FEA为等腰直角三角形，

∴∠EFA=∠FEA=45°，

∴，

∵，

∴，①正确；

由题意得△DHC≌△DHA（SSS），

∴，

若，

∴∠HCD=∠CHD=67.5°，

∵EH=CH，

∴∠ECH=∠CEH=67.5°，

∵E为动点，

∴∠ECH=∠CEH=67.5°不一定成立，②错误；

∵45°+∠DHE=45°＋∠DAE，

∴∠EHD=∠DAE，

∴，③正确；

由题意得△EDH∽△KFA，

∴，

∴，④正确；

∴有3个正确的结论；

故答案为：C

【分析】先根据正方形的性质即可得到∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到EA=FA，∠EAD=∠FAB，再运用等腰直角三角形的判定与性质结合题意即可判断①；先根据三角形全等的判定与性质即可得到，先假设结论②成立，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠ECH=∠CEH=67.5°，再结合题意即可判定结论②是错误的；根据题意结合已知条件即可判断③；根据相似三角形的判定与性质证明△EDH∽△KFA，进而即可得到，再结合题意即可求解。

12．【答案】D

【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1，当时，

∵∥，，，

∴四边形为矩形，

∴，，．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵，，

∴，

∴∽，

∴，即，解得，

∴．

②如图2，当时，

∵∥，，，

∴四边形为矩形，

∴，，．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵，，

∴，

∴∽，

∴，即，解得，

∴．

综上所述，的长为或．

故答案为：D．

【分析】根据勾股定理可得，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。

13．【答案】

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：

∴∠BMC=∠MCA，

由题意得GC为∠BCA的角平分线，

∴∠MCB=∠MCA，

∴∠MCB=∠BMC，

∴CB=BM，

∵MB∥CA，

∴△GMB∽△GCA，

∴，

∴，

∴的面积为12，

故答案为：12

【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。

14．【答案】

【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案为：

【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

15．【答案】6

【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD.

∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，

∴AC·BD=24，

∴AC=6，

∴AO=3，BO=3，

∴AB=5.

∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，

∴AE=DH=DG=FC，

∴EF∥AC∥HG，

∴，.

设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，

∴，，

∴，

∴EF+HG=6.

故答案为：6.

【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.

16．【答案】14

【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得：，四边形DECF是平行四边形，

∴DF//BC，DE//AC，

∴△ADF△ABC，△BDE△BAC，

∴，，

∵AC=6，BC=9，

∴DF=3，DE=4，

∵四边形DECF平行四边形，

∴平行四边形DECF纸片的周长是2×(3+4)=14，

故答案为：14.

【分析】根据题意先求出△ADF△ABC，△BDE△BAC，再利用相似三角形和平行四边形的性质计算求解即可。

17．【答案】

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵点B与点F关于直线DF对称，

∴BD=DF，∠BDE=∠EDF，∠DEB=∠DEF，

∵AD=DF，

∴AD=BD，∠A=∠DFA，

∵∠BDE+∠EDF=∠BDF=∠A+∠AFD，

∴∠EDF=∠DFA，

∴DE∥AC，

∴∠C=∠DEB，∠DEF=∠EFC，

∴∠C=∠EFC，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△ABC∽△ECF，

∴，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴，

∴BE=EC=BC，

∵，

∴BC=k·AB，

∴EC=k·BA，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【分析】根据轴对称的性质得BD=DF，∠BDE=∠EDF，∠DEB=∠DEF，由等量代换及等边对等角可得AD=BD，∠A=∠DFA，进而根据角的和差及三角形外角相等推出∠EDF=∠DFA，由内错角相等，两直线平行推出DE∥AC，再根据平行线的性质及等量代换得∠C=∠EFC，由等边对等角得∠C=∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ECF，由相似三角形对应边成比例得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例可得BE=EC=BC，结合已知得BC=k·AB，EC=k·BA，代入比例式可得，从而即可求出此题答案了.

18．【答案】

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，

∵四边形ABCD为正方形，AB=3，

∴∠ACB=90°，BC=AB=CD=3.

∵FM⊥CE，FN⊥CD，

∴∠ACB=∠B=90°，

∴四边形CMFN为矩形.

∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，

∴FM=FN，

∴四边形CMFN为正方形，

∴FM=FN=CM=CN.

设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a.

∵CE=2，

∴BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a.

∵∠B=90°，FM⊥CE，

∴FM∥AB，

∴△EFM∽△EAB，

∴FM：AB=EM；BE，

∴a：3=(2-a)：5，

∴a=，

∴FN=CN=，

∴DN=CD-CN=，

∴DF==.

故答案为：.

【分析】过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，由正方形的性质可得∠ACB=90°，BC=AB=CD=3，根据角平分线的性质可得FM=FN，进而推出四边形CMFN为正方形，得到FM=FN=CM=CN，设CM=a，则BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得FM∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△EFM∽△EAB，由相似三角形的性质可得a的值，然后求出FN、DN，再利用勾股定理计算即可.

19．【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，

∵AD是△ABC的中线，

∴点D是BC的中点，

∴DH是△BCE的中位线，

∴BE=2DH，DH∥AB，

∵CE是△BCE的中线，

∴AE=BE，

∴AE=2DH，

∵DH∥AB，

∴△AEG∽△DHG，

∴，

∴AG=2GD，

即AD=3GD.

【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．

20．【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵点E、F、G、H分别是各边的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

同理可得：四边形为平行四边形，

∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：连接，

∵为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理可得：

∴，

∴，

∵，

∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，再利用中点的定义可证得AE=CG，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECG是平行四边形，再证明四边形AFCH是平行四边形，据此可推出AM∥CN，AN∥CM，即可证得结论.

（2）连接HG，AC，EF，易证HG是△ACD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HG∥AC，HG=AC，可推出△ANG∽△CNA，利用相似三角形得性质，可得到△ANH和△AC的面积之比；同理可得到△RMC和△AMC的面积之比，即可求出四边形AHCH的面积；然后证明四边形ABCD的面积=四边形AHCH的面积×2，即可求出四边形ABCD的面积.

21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

是的中点，

，

，

，

∴，

；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

可得方程，

解得，

即的长为．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而运用相似三角形的判定与性质证明，进而得到，设，则，根据已知条件即可列出分式方程，进而即可求解。

22．【答案】（1）证明：∵等腰和等腰，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴；

（2）解：取的中点H，连接，

∵点是的中点，

∴是的中位线，

∴，，

设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

整理得，

解得（负值已舍），

经检验是所列方程的解，且符合题意，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，，，从而推出

，利用平行线的性质可得，根据SAS证明△DCE≌△FEB，利用全等三角形对应边相等即得结论；

（2）取的中点H，连接，利用三角形中位线定理可得，，设，则CH=EH=a，，根据平行线可证，可得，据此建立关于x方程并解之即可.

23．【答案】（1）

（2）解：成立；理由如下：

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

，

∴，

∴；

（3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：

设，则，

根据解析（2）可知，，

∴，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

根据勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此时；

当点D在线段上时，连接，如图所示：

设，则，

根据解析（2）可知，，

∴，

∴，

根据解析（2）可知，，

∴，

根据勾股定理得：，

即，

解得：或（舍去），

∴此时；

综上分析可知，或．

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）

【解析】【解答】解：（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，

当m=1时，DC=CE，CB=CA，

∵∠ACB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠DAC=∠CBE.

∵∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°，

∴∠ANB=90°，

∴AD⊥BE.

【分析】（1）延长BE交AC于点E，交AD于点N，当m=1时，DC=CE，CB=CA，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到∠DAC=∠CBE，结合∠CAB+∠ABE+∠CBE=90°可得∠ANB=90°，据此解答；

（2）由同角的余角相等可得∠DCA=∠ECB，由已知条件可得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△DCA∽△ECB，得到∠DAC=∠CBE，进而推出∠GAB+∠ABG=90°，则∠AGB=90°，据此解答；

（3）当点E在线段AD上时，连接BE，设AE=x，则AD=x+4，根据相似三角形的性质可得BE=AD=x+，根据解析（2）可知∠AEB=90°，利用勾股定理就可求出x的值，进而可得BE；当点D在线段AE上时，连接BE，同理进行求解.

24．【答案】（1）解：∵，，，

∴，，

∵矩形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴矩形是正方形．

（2）解：∵，，，

∴，

∴四边形是矩形，

∴，

同理可得：，

∵正方形，

∴，

∴，

∴，，

∴四边形是正方形，

∴，

∴．

（3）解：如图，连接，

∵，正方形，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据垂直得到，，进而根据矩形的性质得到，从而得到，再运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而根据正方形的判定即可求解；

（2）先根据垂直得到，进而根据矩形的性质得到，同理可得：，根据正方形的性质结合三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而得到

四边形是正方形，进而得到，再结合题意即可求解；

（3）连接，先根据正方形的性质结合题意即可得到，，，进而根据相似三角形的判定与性质证明，即可得到，，进而得到，再相似三角形的判定与性质证明得到即可求解。

25．【答案】（1）证明：四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

；

（2）证明：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

又，

，

点在的延长线上，

，

，

，

，

，

；

（3）解：如图，延长到点，使，连接，

四边形是菱形，

，，

，

，

，，

，

，

是等边三角形，

，

．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的判定

【解析】【分析】（1）先根据矩形的性质即可得到，进而得到，再结合题意即可得到，进而根据相似三角形的判定即可求解；

（2）先根据正方形的性质即可得到，，，再根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，进而得到，再结合题意证明即可得到，从而运用平行线的性质即可求解；

（3）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质即可得到，，进而根据平行线的性质得到，再证明即可得到，，进而得到，然后根据等边三角形的判定与性质结合题意求出FG，进而即可求解。

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北师大版数学九年级上册同步练习——第四章《图形的相似》综合练习（B）

一、选择题（每题3分，共36分）

1．（2022·四川）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，若DE∥BC，，DE＝6cm，则BC的长为（）

A．9cmB．12cmC．15cmD．18cm

【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，

∵DE∥BC，

∴，

∴BC=DE×=15cm.

故答案为：C.

【分析】根据比例的性质得出，然后根据平行线分线段成比例的性质求出，则可解答.

2．（2023·内江）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（）

A．1B．C．2D．3

【答案】C

【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【解答】解：∵点D、E为边的三等分点，，

∴HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，

∴AB=3BE，DH为△FEA的中位线，

∴，

∵CA∥FE，

∴∠CAB=∠FEB，∠ACB=∠EFB，

∴△CAB∽△FEB，

∴，

解得FE=4，

∴DH=2，

故答案为：C

【分析】先根据题意结合平行的性质即可得到HF=HA，DA=EB=DE，FB=FG=GC，进而得到AB=3BE，DH为△FEA的中位线，再根据三角形中位线的性质即可得到，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质即可得到EF，进而即可求解。

3．（2023·南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得∠ABC=∠EDC=90°，∠FCE=∠FCA，AB=1.2m，CB=2m，DC=10m，

∴∠BCA=∠DCE，

∴△CDE∽△CBA，

∴，

∴DE=8m，

故答案为：B

【分析】先根据题意得到∠ABC=∠EDC=90°，∠FCE=∠FCA，AB=1.2m，CB=2m，DC=10m，再运用相似三角形的判定与性质证明△CDE∽△CBA，进而得到，再代入数值即可求解。

4．（2023·安徽）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：因为FB=1，AF=2，所以AB=3，因为EF⊥AB，CB⊥AB，∴EF∥CB，∴△AEF∽△ACB，∴EF∶CB=AF∶AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=3，∴EF∶3=2∶3，∴EF=2，∵EF∥AD，∴△GEF∽△GDA，∴GF∶GA=EF∶DA=2∶3，∴，∴，∴GA=3AF=6，所以GB=GA-BA=6-3=3，∴GB=DC，又∠DCB=∠GBM=90°，∠CMD=∠BMG，∴△BMG≌△CMD∴，在Rt△ADG中，，∴

故答案为：B。

【分析】首先根据△AEF∽△ACB求出EF的长。再根据△GEF∽△GDA求出GA的长，得出BG=CD，进一步判断△BMG≌△CMD得出，在在Rt△ADG中，根据勾股定理求出DG的长，即可得出MG的长。

5．（2022九上·福田期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（）

A．B．1C．D．

【答案】A

【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：四边形是矩形，，，

，，，

点E、F分别为、的中点，

，，

，

，

，

．

由勾股定理得：，

，

，

，

，

，

解得：，

故答案为：A．

【分析】先求出FH=BH，再利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可。

6．（2022·衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A（人眼）望点E，使视线通过点C，记人站立的位置为点B，量出BG长，即可算得物高EG．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则y关于x的函数表达式为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】一次函数的实际应用；矩形的判定与性质；相似三角形的应用

【解析】【解答】解：∵CD⊥AF，EG⊥AF，

∴CD∥EF，∠AFG=∠G=∠B=90°，

∴四边形ABGF是矩形，

∴AB=GF=1.6，BG=AF=x

∴△ACD∽△AEF，

∴，

解之：.

故答案为：B.

【分析】利用垂直的定义可证得∠AFG=∠G=∠B=90°，可推出四边形ABGF是矩形，路矩形的性质可得到GF，AF的长；同时可证得CD∥EF，由此可证得△ACD∽△AEF，利用相似三角形的对应边成比例可得到关于x，y的方程，解方程用含x的代数式表示出y.

7．（2022·巴中）如图，在平面直角坐标系中，为的边上一点，，过作交于点，、两点纵坐标分别为1、3，则点的纵坐标为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】C

【知识点】相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵，

∴△ADC∽△ABO

∴，

∵，

∴，

∵C、D两点纵坐标分别为1、3，

∴，

∴，

解得：，

∴B点的纵坐标为6，故C正确.

故答案为：6.

【分析】易证△ADC∽△ABO，根据相似三角形的性质可得，由已知条件可得，根据C、D两点的纵坐标可得CD=2，求出OB，得到点B的纵坐标，据此判断.

8．（2022·镇江）如图，点、、、在网格中小正方形的顶点处，与相交于点，小正方形的边长为1，则的长等于（）

A．2B．C．D．

【答案】A

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：AD=，AB=2，CD=3，

∵AB∥DC，

∴△AOB∽△DOC，

∴，

∴设AO=2x，则OD=3x，

∵AO+OD=AD，

∴2x+3x=5．

解得：x=1，

∴AO=2.

故答案为：A.

【分析】利用勾股定理可得AD的值，由图形可得AB=2，CD=3，易证△AOB∽△DOC，根据相似三角形的性质可得，设AO=2x，则OD=3x，根据AO+OD=AD可得x的值，据此解答.

9．（2022·东营）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：∵，

∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；

∴，，故B不符合题意，C符合题意；

∴，故D不符合题意；

故答案为：C．

【分析】利用平行线分线段成比例的性质逐项判断即可。

10．（2023·鄂州）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=，点C为平面内一动点，BC=，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM∶MA=1∶2．当线段OM取最大值时，点M的坐标是（）

A．（，）B．（，）

C．（，）D．（，）

【答案】D

【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵点C为平面内的一动点，BD=，

∴点C在以B为圆心，为半径的圆B上.

在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，

∵OA=OB=，

∴AD=OD+OA=，

∴.

∵CM：MA=1：2，

∴.

∵∠OAM=∠DAC，

∴△OAM∽△DAC，

∴，

∴当CD取得最大值时，OM取得最大值，结合图形可得当D、B、C东线时，且点B在线段DC上时，CD取得最大值.

∵OA=OB=，OD=，

∴BD==，

∴CD=BC+BD=9.

∵，

∴OM=6.

∵CF⊥OA，

∴∠DOB=∠DFC=90°.

∵∠BDO=∠CDF，

∴△BDO∽△CDF，

∴，

∴，

∴CF=.

同理可得△AEM∽△AFC，

∴，

∴，

∴ME=，

∴OE==，

∴当线段OM取最大值时，点M的坐标为（，）.

故答案为：D.

【分析】由题意可得：点C在以B为圆心，为半径的圆B上，在x轴负半轴上取点D（，0），连接BD，分别以C、M作CF⊥OA，ME⊥OA，易得，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得△OAM∽△DAC，则，推出当D、B、C东线，且点B在线段DC上时，CD取得最大值，由勾股定理可得BD，然后求出CD、OM，由两角对应相等的两个三角形相似可得△BDO∽△CDF，△AEM∽△AFC，根据相似三角形的性质可得CF、ME，利用勾股定理求出OE，据此可得点M的坐标.

11．（2023·眉山）如图，在正方形中，点E是上一点，延长至点F，使，连结，交于点K，过点A作，垂足为点H，交于点G，连结．下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】C

【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，

∴∠FBA=90°，

∴△EDA≌△FBA（SAS），

∴EA=FA，∠EAD=∠FAB，

∴∠FAE=∠DAB=90°，

∴△FEA为等腰直角三角形，

∴∠EFA=∠FEA=45°，

∴，

∵，

∴，①正确；

由题意得△DHC≌△DHA（SSS），

∴，

若，

∴∠HCD=∠CHD=67.5°，

∵EH=CH，

∴∠ECH=∠CEH=67.5°，

∵E为动点，

∴∠ECH=∠CEH=67.5°不一定成立，②错误；

∵45°+∠DHE=45°＋∠DAE，

∴∠EHD=∠DAE，

∴，③正确；

由题意得△EDH∽△KFA，

∴，

∴，④正确；

∴有3个正确的结论；

故答案为：C

【分析】先根据正方形的性质即可得到∠DCB=∠BAD=∠CDA=∠CBA=90°，AB=BC=CD=AD，进而根据三角形全等的判定与性质即可得到EA=FA，∠EAD=∠FAB，再运用等腰直角三角形的判定与性质结合题意即可判断①；先根据三角形全等的判定与性质即可得到，先假设结论②成立，进而根据等腰三角形的性质即可得到∠ECH=∠CEH=67.5°，再结合题意即可判定结论②是错误的；根据题意结合已知条件即可判断③；根据相似三角形的判定与性质证明△EDH∽△KFA，进而即可得到，再结合题意即可求解。

12．（2023·通辽）如图，已知，，，点E为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点B落在点处，过点作的垂线，分别交，于M，N两点，当为线段的三等分点时，的长为（）

A．B．C．或D．或

【答案】D

【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：当点为线段的三等分点时，需要分两种情况讨论：

①如图1，当时，

∵∥，，，

∴四边形为矩形，

∴，，．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵，，

∴，

∴∽，

∴，即，解得，

∴．

②如图2，当时，

∵∥，，，

∴四边形为矩形，

∴，，．

由折叠的性质可得，．

在中，．

∵，，

∴，

∴∽，

∴，即，解得，

∴．

综上所述，的长为或．

故答案为：D．

【分析】根据勾股定理可得，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。

二、填空题（每空3分，共18分）

13．（2023·东营）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为．

【答案】

【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，如图所示：

∴∠BMC=∠MCA，

由题意得GC为∠BCA的角平分线，

∴∠MCB=∠MCA，

∴∠MCB=∠BMC，

∴CB=BM，

∵MB∥CA，

∴△GMB∽△GCA，

∴，

∴，

∴的面积为12，

故答案为：12

【分析】过点B作MB∥CA交GC的延长线于点M，进而得到∠BMC=∠MCA，先根据题意结合角平分线的性质即可得到∠MCB=∠MCA，进而得到∠MCB=∠BMC，再根据等腰三角形的性质即可得到CB=BM，进而根据相似三角形的判定与性质证明△GMB∽△GCA，结合题意即可得到，进而即可求解。

14．（2023·常德）如图1，在中，，，，D是上一点，且，过点D作交于E，将绕A点顺时针旋转到图2的位置．则图2中的值为．

【答案】

【知识点】平行线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：由勾股定理得，

∵，

∴∠BCA=∠DEA，∠CBA=∠EDA=90°，

∴△CBA∽△EDA，

∴，

∴，

∵∠EAD=∠CAB，

∴∠EAD+∠DAC=∠CAB+∠DAC，

即∠EAC=∠DAB，

∴△ECA∽△DBA，

∴，

故答案为：

【分析】先根据勾股定理即可得到AC的长，进而根据平行线的性质结合相似三角形的判定与性质证明△CBA∽△EDA，进而得到，再结合题意得到∠EAC=∠DAB，然后运用相似三角形的判定与性质证明△ECA∽△DBA，然后得到即可求解。

15．（2023·十堰）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则．

【答案】6

【知识点】菱形的性质；平行线分线段成比例

【解析】【解答】解：连接AC，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD.

∵菱形ABCD的面积为24，BD=8，

∴AC·BD=24，

∴AC=6，

∴AO=3，BO=3，

∴AB=5.

∵AB=BC=CD=AD，BE=BF=CG=AH，

∴AE=DH=DG=FC，

∴EF∥AC∥HG，

∴，.

设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，

∴，，

∴，

∴EF+HG=6.

故答案为：6.

【分析】连接AC，由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，AB=BC=CD=AD，由菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出AC的值，然后求出AO，再利用勾股定理可得AB的值，由已知条件可知BE=BF=CG=AH，则AE=DH=DG=FC，推出EF∥AC∥HG，设BE=BF=CG=AH=x，则AE=DH=DG=FC=5-x，接下来根据平行线分线段成比例的性质进行解答.

16．（2023·临沂）如图，三角形纸片中，，分别沿与平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是．

【答案】14

【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：如图所示：

由题意得：，四边形DECF是平行四边形，

∴DF//BC，DE//AC，

∴△ADF△ABC，△BDE△BAC，

∴，，

∵AC=6，BC=9，

∴DF=3，DE=4，

∵四边形DECF平行四边形，

∴平行四边形DECF纸片的周长是2×(3+4)=14，

故答案为：14.

【分析】根据题意先求出△ADF△ABC，△BDE△BAC，再利用相似三角形和平行四边形的性质计算求解即可。

17．（2023·杭州）如图，在中，，点分别在边，上，连接，已知点和点关于直线对称．设，若，则（结果用含的代数式表示）．

【答案】

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：∵点B与点F关于直线DF对称，

∴BD=DF，∠BDE=∠EDF，∠DEB=∠DEF，

∵AD=DF，

∴AD=BD，∠A=∠DFA，

∵∠BDE+∠EDF=∠BDF=∠A+∠AFD，

∴∠EDF=∠DFA，

∴DE∥AC，

∴∠C=∠DEB，∠DEF=∠EFC，

∴∠C=∠EFC，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴△ABC∽△ECF，

∴，

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC，

∴，

∴BE=EC=BC，

∵，

∴BC=k·AB，

∴EC=k·BA，

∴，

∴，

∴.

故答案为：.

【分析】根据轴对称的性质得BD=DF，∠BDE=∠EDF，∠DEB=∠DEF，由等量代换及等边对等角可得AD=BD，∠A=∠DFA，进而根据角的和差及三角形外角相等推出∠EDF=∠DFA，由内错角相等，两直线平行推出DE∥AC，再根据平行线的性质及等量代换得∠C=∠EFC，由等边对等角得∠C=∠B，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ABC∽△ECF，由相似三角形对应边成比例得，由平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，由相似三角形对应边成比例可得BE=EC=BC，结合已知得BC=k·AB，EC=k·BA，代入比例式可得，从而即可求出此题答案了.

18．（2023·大连）如图，在正方形中，，延长至，使，连接，平分交于，连接，则的长为．

【答案】

【知识点】角平分线的性质；勾股定理；正方形的判定与性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【解答】解：过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，

∵四边形ABCD为正方形，AB=3，

∴∠ACB=90°，BC=AB=CD=3.

∵FM⊥CE，FN⊥CD，

∴∠ACB=∠B=90°，

∴四边形CMFN为矩形.

∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，

∴FM=FN，

∴四边形CMFN为正方形，

∴FM=FN=CM=CN.

设CM=a，则FM=FN=CM=CN=a.

∵CE=2，

∴BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a.

∵∠B=90°，FM⊥CE，

∴FM∥AB，

∴△EFM∽△EAB，

∴FM：AB=EM；BE，

∴a：3=(2-a)：5，

∴a=，

∴FN=CN=，

∴DN=CD-CN=，

∴DF==.

故答案为：.

【分析】过F作FM⊥CE于点M，作FN⊥CD于点N，由正方形的性质可得∠ACB=90°，BC=AB=CD=3，根据角平分线的性质可得FM=FN，进而推出四边形CMFN为正方形，得到FM=FN=CM=CN，设CM=a，则BE=BC+CE=5，EM=CE-CM=2-a，根据垂直于同一直线的两直线互相平行可得FM∥AB，根据平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得△EFM∽△EAB，由相似三角形的性质可得a的值，然后求出FN、DN，再利用勾股定理计算即可.

三、解答题（共7题，共66分）

19．（2023·攀枝花）三角形三条边上的中线交于一点，这个点叫三角形的重心．如图G是的重心．求证：．

【答案】证明：过点D作DH∥AB，交CE于点H，

∵AD是△ABC的中线，

∴点D是BC的中点，

∴DH是△BCE的中位线，

∴BE=2DH，DH∥AB，

∵CE是△BCE的中线，

∴AE=BE，

∴AE=2DH，

∵DH∥AB，

∴△AEG∽△DHG，

∴，

∴AG=2GD，

即AD=3GD.

【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】过点D作DH∥AB交CE于H，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BE=2DH，从而得到AE=2DH，再根据△AEG和△DHG相似，利用相似三角形对应边成比例列出比例式计算即可得证．

20．（2023·扬州）如图，点E、F、G、H分别是各边的中点，连接相交于点M，连接相交于点N．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若的面积为4，求的面积．

【答案】（1）证明：∵，

∴，

∵点E、F、G、H分别是各边的中点，

∴，

∴四边形为平行四边形，

同理可得：四边形为平行四边形，

∴，

∴四边形是平行四边形；

（2）解：连接，

∵为的中点，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理可得：

∴，

∴，

∵，

∴．

【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；三角形的中位线定理

【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质可证得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC，再利用中点的定义可证得AE=CG，利用有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AECG是平行四边形，再证明四边形AFCH是平行四边形，据此可推出AM∥CN，AN∥CM，即可证得结论.

（2）连接HG，AC，EF，易证HG是△ACD的中位线，利用三角形的中位线定理可证得HG∥AC，HG=AC，可推出△ANG∽△CNA，利用相似三角形得性质，可得到△ANH和△AC的面积之比；同理可得到△RMC和△AMC的面积之比，即可求出四边形AHCH的面积；然后证明四边形ABCD的面积=四边形AHCH的面积×2，即可求出四边形ABCD的面积.

21．（2023·眉山）如图，中，点E是的中点，连接并延长交的延长线于点F．

（1）求证：；

（2）点G是线段上一点，满足，交于点H，若，求的长．

【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

，

是的中点，

，

，

，

∴，

；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

，，

，

，

，

，

，

，

设，则，

可得方程，

解得，

即的长为．

【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质

【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，进而根据平行线的性质得到，再运用三角形全等的判定与性质结合题意即可求解；

（2）先根据平行四边形的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而运用相似三角形的判定与性质证明，进而得到，设，则，根据已知条件即可列出分式方程，进而即可求解。

22．（2023·烟台）如图，点为线段上一点，分别以为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点，使，连接．

（1）如图1，求证：；

（2）如图2，若的延长线恰好经过的中点，求的长．

【答案】（1）证明：∵等腰和等腰，

∴，，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

在和中，，

∴，

∴；

（2）解：取的中点H，连接，

∵点是的中点，

∴是的中位线，

∴，，

设，则，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，即，

整理得，

解得（负值已舍），

经检验是所列方程的解，且符合题意，

∴．

【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判