第三节、全微分课件

全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全微分的几何意义四、全微分在近似计算中的应用全微分的概念与计算一、全微分的定义二、全微分存在的条件三、全1复习:一元函数y=f(x)的微分

可微可导复习:一元函数y=f(x)的微分

可微可导2一、全微分的定义一、全微分的定义3定义:

如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y)可表示成其中A,B不依赖于

x,

y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作若函数在域D内各点都可微,则称函数

f(x,y)在点(x,y)可微，机动目录上页下页返回结束处全增量则称此函数在D内可微.定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D4(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(1)函数可微函数z=f(x,y)在点(x,y)可微由微分定义:得函数在该点连续机动目录上页下页返回结束偏导数存在函数可微

即(2)偏导数连续下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:(15二、全微分存在的条件

1.必要条件2.充分条件3.二、全微分存在的条件

1.必要条件6定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该函数在该点偏导数同样可证证:

由全增量公式必存在,且有得到对x

的偏增量因此有

机动目录上页下页返回结束定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x7反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.注意:

定理1的逆定理不成立.偏导数存在函数不一定可微!即:机动目录上页下页返回结束反例:函数易知但因此,函数在点(0,0)不可微.8定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机动目录上页下页返回结束定理2(充分条件)证：若函数的偏导数则函数在该点可微分.机9所以函数在点可微.机动目录上页下页返回结束注意到,故有所以函数在点可微.机动目录上页下页返10重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录11回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.回头看全微分公式这与物理中的叠加原理相符.12推广:

类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三元函数的全微分为机动目录上页下页返回结束推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.例如,三13例1解例2解例1解例2解14例3解例3解15xyoMN.f(x)dyx微分是函数的局部线性化.用切线增量近似曲线增量dydy=在图上是哪条线段？=tanx复习一元函数微分即：.y微分的几何意义xyoMN.f(x)dyx微分是函数的局部线性化.用切16三、全微分的几何意义三、全微分的几何意义17空间中的平面方程几何意义空间中的平面方程几何意义18xz

y0

PQMNxyABdz=AB:

切面立标的增量z=f(x,y)z=AN：曲面立标的增量过点M的切平面：即：dzz=AB+BN.dz=AB用切面立标的增量近似曲面立标的增量dz全微分的几何意义xzy0PQMNxyABdz=AB:切面立19四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用20

有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱体体积变化的近似值.设圆柱体的半径、高和体积依次为r,h

和V,则有例4解有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径有20cm增大到2021例5解例5解22例6解例6解23第三节、全微分ppt课件24从而g的相对误差约为从而g的相对误差约为25例7解例7解26第三节、全微分ppt课件27第三节、全微分ppt课件28第三节、全微分ppt课件29例8证例8证30内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导数连续函数连续机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分定义:2.重要关系:函数可导函数可微偏导313.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差机动目录上页下页返回结束3.微分应用•近似计算•估计误差绝对误差相对误差机动32思考与练习1.P130题1(总习题9)函数在可微的充分条件是()的某邻域内存在;时是无穷小量;时是无穷小量.2.选择题机动目录上页下页返回结束思考与练习1.P130题1(总习题9)函数在可微33

答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=0.01,△y=0.03

时△z=0.02,dz=0.03

3.P130题7机动目录上页下页返回结束答案:也可写作:当x=2,y=1,△x=344