【解析】2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件（提升卷）

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2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件（提升卷）

一、选择题

1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·临湘期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△AED∽△ABC的是（）

A．∠AED＝∠ABCB．∠ADE＝∠ACB

C．D．

4．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（）

A．轴对称B．旋转C．平移D．黄金分割

5．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（）

A．B．C．D．

6．（2022九上·余杭月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（）

A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）

7．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（）

A．各有一个角是的两个等腰三角形相似

B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似

C．各有一个角是的两个等腰三角形相似

D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似

8．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（）

A．B．

C．D．

9．（2022九上·济南期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）

A．B．

C．D．

10．（2022九上·青岛期中）一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）

A．一种B．两种

C．三种D．四种或四种以上

二、填空题

11．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似，（填“是”或“否”）.

12．（2023九上·临渭期末）已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是

13．（2023九上·兴化期末）已知线段，C是AB的黄金分割点，且，则.（结果保留根号）

14．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．

15．（2022九上·西湖月考）已知线段，是线段的黄金分割点，，则．

三、解答题

16．（2023九上·韩城期末）如图，点D为边上一点，连接，，，.

求证：.

17．（2022九上·高州月考）如图，在△ABP和△CDP中，∠B=∠C=，点P在BC上，且∠APD=，证明：△ABP△PCD．

18．（2022九上·顺义期末）如图，在中，点D在边上，且满足．请找出图中的一对相似三角形，并证明．

19．（2022九上·平阴期中）如图，在平行四边形中，E为边上一点，连接，F为上一点，且．求证：．

20．（2022九上·乐山期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC.求证：△ADE∽△DBF．

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，

∴，且，，

即，

要使，

则，

观察图形，只有是正方形的对角线，即，

且，，

即，

∴点符合题意，

故答案为：B.

【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.

2．【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：由题意得，，

若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；

A、B、D均不能判定，故不符合题意；

故答案为：C.

【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.

3．【答案】A,B,D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意；

B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意；

C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合题意；

D、∵，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.

4．【答案】D

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，

体现了“黄金分割”．

故答案为：D．

【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。

5．【答案】D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；

B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；

C、∵∠A=∠A，，

∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；

D、∵∠A=∠A，，

∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.

6．【答案】B

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，

∴AC＝AB＝2（﹣1），

故答案为：B.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC＝AB，然后将AB=4代入计算即可.

7．【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．

B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．

C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．

D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．

故答案为：A．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

8．【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

故A选项不符合题意；

∵∠，，

∴，

∴∠DBF＝∠ECF，

∵，

∴，

故B选项不符合题意；

∵，不能推出，

∴C选项符合题意；

∵，

∴，，

∴，

故D选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.

9．【答案】D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，

∴∠C=75°，∠A=30°，

A、三角形各角的度数都是60°，

B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，

C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，

∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故答案为：D．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

10．【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法不可行；

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法可行；

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法可行，

综上所述，截法有两种，

故答案为：B．

【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长（x＞y），分三种情况讨论：①当长的边对应长的边时，②当长的边对应长的边时，③当长的边对应长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.

11．【答案】是

【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，

根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，

故答案为：是

【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.

12．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，，

∴.

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=20代入进行计算.

13．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；

∴AC=4×=，

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=4代入进行计算.

14．【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，

∴AP2=BP×AB，

∴AP2=4（4-AP）

解之：AP=（取正）

故答案为：

【分析】利用已知点P是AB的黄金分割点，AP＞BP，可得到AP2=BP×AB，由此可得到关于AP的方程，解方程求出符合题意的AP的值.

16．【答案】证明：∵，，

∴，

∴，，即，

又∵，

∴

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】由线段的和差关系可得AB=AD+BD=8，根据已知条件可得，然后根据相似三角形的判定定理进行证明.

17．【答案】证明：∵∠APD=，∠B=∠C=

∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=

∴∠BAP=∠CPD

又∵∠B=∠C

∴△ABP△PCD

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】利用“一线三等角”证明△ABP△PCD即可。

18．【答案】解：；

∵，

∴，

∵，

∴．

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】根据两边成比例且夹角相等可证.

19．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，

∴

∴．

∵

∴；

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】根据平行线的性质可得，再结合，即可得到。

20．【答案】证明：∵DE∥BC，

∴∠ADE＝∠B，

又∵DF∥AC，

∴∠A＝∠BDF，

∴△ADE∽△DBF．

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【分析】根据平行线性质，可得到∠ADE＝∠B，∠A＝∠BDF，再利用两组角对应相等，可证明三角形相似.

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2023-2024学年北师大版数学九年级上册4.4探索三角形相似的条件（提升卷）

一、选择题

1．（2023九上·嵊州期末）如图，在由小正方形组成的方格纸中，和的顶点均在格点上，要使，则点所在的格点为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：中，是正方形的对角线，

∴，且，，

即，

要使，

则，

观察图形，只有是正方形的对角线，即，

且，，

即，

∴点符合题意，

故答案为：B.

【分析】易得∠ABC=135°，AB=，BC=2，要使△ABC∽△PDE，则∠PDE=∠ABC=135°，观察图形可得只有∠P2DE=135°，且，据此解答.

2．（2023九上·杭州期末）如图，能使成立的条件是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：由题意得，，

若添加，利用两边及其夹角法可判断，故本选项符合题意；

A、B、D均不能判定，故不符合题意；

故答案为：C.

【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.

3．（2023九上·临湘期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△AED∽△ABC的是（）

A．∠AED＝∠ABCB．∠ADE＝∠ACB

C．D．

【答案】A,B,D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、∵∠AED＝∠ABC，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意；

B、∵∠ADE＝∠AC，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意；

C、，不能判定△AED∽△ABC，不符合题意；

D、∵，∠A=∠A，

∴△AED∽△ABC，符合题意.

故答案为：ABD.

【分析】直接根据相似三角形的判定定理进行判断即可.

4．（2022九上·晋中期末）神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（）

A．轴对称B．旋转C．平移D．黄金分割

【答案】D

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：，黄金分割数的近似值为0.618，

体现了“黄金分割”．

故答案为：D．

【分析】利用“黄金分割”的定义求解即可。

5．（2023九上·成都期末）如图，点P在的边AC上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：A、∵∠ABP=∠C，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故A不符合题意；

B、∵∠APB=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ABP∽△ACB，故B不符合题意；

C、∵∠A=∠A，，

∴△ABP∽△ACB，故C不符合题意；

D、∵∠A=∠A，，

∴△ABP和△ACB不相似，故D符合题意；

故答案为：D

【分析】图形中隐含了公共角∠A=∠A，利用有两组角分别对应相等的两三角形相似，可对A，B作出判断；再利用有两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可对C，D作出判断.

6．（2022九上·余杭月考）已知点C是线段AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝4，则AC的长为（）

A．（6﹣2）B．（2﹣2）C．（﹣1）D．（3﹣）

【答案】B

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，

∴AC＝AB＝2（﹣1），

故答案为：B.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC＝AB，然后将AB=4代入计算即可.

7．（2022九上·惠阳月考）下列判断中，正确的是（）

A．各有一个角是的两个等腰三角形相似

B．邻边之比为2：1的两个等腰三角形相似

C．各有一个角是的两个等腰三角形相似

D．邻边之比为2：3的两个等腰三角形相似

【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】A.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故A选项不符合题意．

B.因为比值为2：1，所以大边一定是腰，所以对边成比例，相似，故B选项符合题意．

C.没有明确指出角是顶角还是底角无法判定，故C选项不符合题意．

D.没有指明谁是底边谁是腰，无法判定，故A选项不符合题意．

故答案为：A．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

8．（2022九上·凤阳月考）如图，在中，点D，E分别是，上的点，与交于点F，下列条件中不能使和相似的是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：∵，，

∴，

故A选项不符合题意；

∵∠，，

∴，

∴∠DBF＝∠ECF，

∵，

∴，

故B选项不符合题意；

∵，不能推出，

∴C选项符合题意；

∵，

∴，，

∴，

故D选项不符合题意；

故答案为：C．

【分析】相似三角形的判定：两角分别相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此逐一判断即可.

9．（2022九上·济南期中）已知△ABC如图，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，

∴∠C=75°，∠A=30°，

A、三角形各角的度数都是60°，

B、三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，

C、三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，

D、三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，

∴只有D选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故答案为：D．

【分析】利用相似三角形的判定方法逐项判断即可。

10．（2022九上·青岛期中）一个钢筋三脚架三边长分别为，现在要做一个和它相似的钢筋三脚架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（）

A．一种B．两种

C．三种D．四种或四种以上

【答案】B

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长，

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法不可行；

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法可行；

当长的边对应长的边时，

，解得：，

此时，

所以此截法可行，

综上所述，截法有两种，

故答案为：B．

【分析】由相似三角形对应边成比例得，只能将长的作为一边，将长的截成两段，设从的钢筋上载下的两段分别长（x＞y），分三种情况讨论：①当长的边对应长的边时，②当长的边对应长的边时，③当长的边对应长的边时，利用相似三角形的性质分别求解即可.

二、填空题

11．（2023九上·嵊州期末）图中的两个三角形是否相似，（填“是”或“否”）.

【答案】是

【知识点】三角形内角和定理；相似三角形的判定

【解析】【解答】解：如图，第一个三角形的第三个内角的度数为，

根据有两个角对应相等的两个三角形相似得这两个三角形相似，

故答案为：是

【分析】根据内角和定理求出第一个三角形另一个内角的度数，然后根据有两个角对应相等的两个三角形相似进行判断.

12．（2023九上·临渭期末）已知点C是线段的黄金分割点，且，，则的长度是

【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵点C是线段的黄金分制点，且，，

∴.

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=20代入进行计算.

13．（2023九上·兴化期末）已知线段，C是AB的黄金分割点，且，则.（结果保留根号）

【答案】

【知识点】黄金分割

【解析】【解答】解：∵C为线段AB的黄金分割点，并且AC＞BC，AC为较长线段；

∴AC=4×=，

故答案为：.

【分析】根据黄金分割的特点可得AC=AB，然后将AB=4代入进行计算.

14．（2022九上·门头沟期末）如图，在中，点D在上，连接．请添加一个条件，使得，然后再加以证明．

【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一），证明见解析

【知识点】相似三角形的判定

【解析】【解答】解：添加，

又∵，

∴，

故答案为：∠ACD=∠B（答案不唯一）．

【分析】利用相似三角形的判定方法求解即可。

15．（2022九上·西湖月考）已知线段，是线段的黄金分割点，，则．

【答案】

【知识点】黄金分割