华科微积分辅导书习题答案

微积分学同步辅导A类题解答第24页PAGE习题4解答（编写：金建华）1、填空题：（1）=。解（用到，据台劳公式）；（2）函数在是单调减少。解，填[0，2]或（0，2）；（3）曲线的拐点坐标是。解，，显然在两侧变号，故所求点（4）曲线在区间是凹的（即向上凹）。解，，为所求（5）函数的极大值是。解在两侧变号，左正右负，为极大值点，极大值为。（6）函数的n阶麦克劳林多项式是。解在的Taylor多项式由的展式来写：（7）曲线的斜渐近方程为。解，故所求为。（8）抛物线在其顶点处的曲率为。解，顶点处，，，。（9）=。解.（注，用更好：此时，分子=.）（10）若（n为正整数），则当n为奇数时，在=处，当n为偶数时，在处。解条件分式最终为正（极限的保号性）。于是偶时，极小；奇时，与同号.非极值.（11）曲线的拐点为，且该曲线在区间上凹，在区间下凹。解，，令，得。当时，，曲线为凸的；当时，，曲线为凹的；拐点为（12）若在上二阶可导，且，又知在（0，）内取得极大值，则必有。解设在点极大，则，于是，，于是

（B）（C）（D）解，故 选（C）（13）设有二阶连续导数，且=1，则（）（A）（B）（C）（D）解与同号，故推出.结合，选（B）（14）曲线的渐近线有（）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条解时，，故得一条垂直渐近线；时，非垂直渐近线，类似也不是，再时，，得水平渐近线。选（B）（15）设函数（）（A）（B）（C）或不存在（D）不存在解选（C）这是两种情形：

3．求下列极限：（1）（2）（3）（4）解：使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。（1）令，（分子化简用到：，下题也是）（2）（3）令，化简到分式后使用洛必达法则=（4）令，化简后使用洛必达法则=4．已知在处有三阶导数，且，求极限.解一：由在处Taylor公式，得：，于是；解二：由洛必达法则也可以。注意型条件的检验。（注：最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！因为三阶导函数可以不存在）5．证明下列不等式（1）当时，解：设，原不等式在(0,1)内单调减，且在(0,1)内单调减，又由，故在(0,1)内（2）当时，解：作函数=，因为的唯一驻点，且当时，当时时，故是的极大值，也是最大值，则，因即得.（3）当时，解：令，因当时，，故，从而.（4）比较和的大小解：因，故问题在于比较与之大小，令则令，即得.6．求下列函数的极值：（1）解：=0在处取得极小值，且，在处取得极大值，且（2）解：=.，在处取得极小值，且极小值为，在处取得极大值，且极大值为（3）解：在处连续，从而在内处处连续.在处，不可导，令0＋不存在极大值－0极小值＋由上面的表可知，的极大值为，极小值为.7．已知有两个极值点，求的极大值与极小值.解：由从中解得即得，在处取得极大值，且在处取得极小值，且.8．求在内最大值和最小值.解：=.，在内最大值为，最小值为0.9．求下列曲线的渐近线：（1）解：为垂直渐近线.为水平渐近线.（2）解：为垂直渐近线，为水平渐近线.10．研究方程实根的个数.解：令，则=－0极小值＋（1）若，则在内方程无根，在内方程有一根.（2）若，则方程在与内各有一根.（3）若，则极小值，在内，在内，即方程只有一个实根.（4）若，则极小值，从而在内，方程无实根.11．设满足的实数，证明在开区间内至少有一个实根.解：设在内满足Rolle定理条件：，使得，即在内有满足12．设函数在闭区间上连续，在开区间内可微，试证存在，使得。证：首先由拉格朗日中值定理，得使，其次针对以及在上，由Cauchy中值定理知，存在使两式联手即得。13．设在上连续，在内可导，且.证明在内至少存在一点，使.证：令，则在上满足条件，则存在，使即14．设在上连续，在内可微，证明在内至少存在一点，使得.证：令，将及在上应用柯西中值定理，则有即15．设在上具有二阶导数，且.证明存在一点，使.解：设在处取得最小值，则，由台劳公式，当时因则有，于是若时，；时，.由此可得.16．由所围成的曲边三角形，在曲边上求一点，使得过此点所作之切线与所围成的三角形面积最大.解：设过曲线上点处的切线方程为，将代入上式得此切线与的交点纵坐标与横坐标分别为，切线与所围成的三角形的面积为于是=及（舍去）因为只有一个极值点，所以，当时，取得最大值，故所求的点是.17．作出函数的图形解：（1