第五节　椭圆-高中数学教学资料

第五节椭圆第九章内容索引0102强基础固本增分研考点精准突破课标解读1.通过圆锥曲线的实际背景,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.3.能够把研究直线与椭圆位置关系的问题转化为研究方程解的问题,会根据根与系数的关系及判别式解决问题.强基础固本增分1.椭圆的定义(1)定义:如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足

|PF1|+|PF2|=2a

的动点P的轨迹称为椭圆.

(2)相关概念:两个定点F1,F2称为椭圆的

焦点

,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的

焦距

.

(3)数学表达式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且2a>|F1F2|,点M的轨迹是椭圆.微点拨

当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,点M不存在.2.椭圆的标准方程和简单几何性质焦点跟着分母大的跑

微点拨1.椭圆的焦点F1,F2必在它的长轴上.2.求椭圆离心率e时,只要得出a,b,c的一个方程,再结合b2=a2-c2就可求得e(0<e<1).3.焦点弦(过焦点的弦)中通径(垂直于长轴的焦点弦)最短,弦长;最长的焦点弦是长轴.常用结论1.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆.(

)2.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.(

)3.关于x,y的方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.(

)××√√题组二

双基自测5.(2023·辽宁丹东模拟)椭圆

+y2=1的一个短轴端点到一个焦点的距离为

.

7.

航天器的轨道有很多种,其中的“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道,而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点.若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m,近地点与地球表面的距离为n,设地球的半径为r,用m,n,r表示出地球同步转移轨道的离心率.研考点精准突破考点一椭圆的定义及其应用题组(1)如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是(

)A.椭圆

B.双曲线 C.抛物线

D.圆答案

(1)A

(2)20

8解析

(1)由条件知|PM|=|PF|,∴|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|>|OF|.∴点P的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.规律方法

椭圆定义的应用(1)确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆.(2)当点P在椭圆上时,与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”,利用定义可求其周长,利用定义和余弦定理可建立|PF1|+|PF2|=2a与|PF1||PF2|之间的联系,通过整体代入可求其面积等.考点二椭圆的标准方程(多考向探究预测)考向1定义法求椭圆的标准方程例题已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(

)答案

D解析

设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.因为2a=16,2c=8,所以a=8,c=4,b2=a2-c2=48.引申探究(变条件)若将本例题条件中的“和圆C2相外切”改为“和圆C2也内切”,其余不变,则动圆圆心M的轨迹方程为

.

解析

设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(r-3)=10>8=|C1C2|,所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆.因为2a=10,2c=8,所以a=5,c=4,b2=a2-c2=9.故所求的轨迹方程为考向2待定系数法求椭圆的标准方程

规律方法

求椭圆方程的方法与步骤

答案

B考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究预测)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距、对称性

答案

BCD规律方法

求解与椭圆几何性质有关的问题时,要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系.A.有相等的长轴长 B.有相等的短轴长C.有相同的焦点 D.有相等的焦距答案

D考向2椭圆的离心率

答案

(1)A

(2)C规律方法

求椭圆离心率(或其取值范围)的两种常用方法

(2)(2022·山东聊城一模)F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是椭圆C上异于顶点的一点,I是△PF1F2的内切圆圆心.若△PF1F2的面积等于△IF1F2的面积的3倍,则椭圆C的离心率为

.

考向3与椭圆有关的范围(最值)问题例题(2023·辽宁营口高三期末)设椭圆C:的左焦点