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文档简介
重庆璧山县石院中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设x,y满足约束条件
,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为12,则的最小值为(
).A.
B.
C.
D.4参考答案:B2.已知直线x+ay﹣1=0是圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴,过点A(﹣4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2 B.6 C.4 D.2参考答案:B【考点】直线与圆的位置关系.【专题】计算题;转化思想;综合法;直线与圆.【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径,由直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),求得a的值,可得点A的坐标,再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值.【解答】解:∵圆C:x2+y2﹣4x﹣2y+1=0,即(x﹣2)2+(y﹣1)2=4,表示以C(2,1)为圆心、半径等于2的圆.由题意可得,直线l:x+ay﹣1=0经过圆C的圆心(2,1),故有2+a﹣1=0,∴a=﹣1,点A(﹣4,﹣1).∵AC==2,CB=R=2,∴切线的长|AB|===6.故选:B.【点评】本题主要考查圆的切线长的求法,解题时要注意圆的标准方程,直线和圆相切的性质的合理运用,属于基础题.3.已知、的取值如下表所示:若与线性相关,且,则()01342.24.34.86.7
A.
B.
C.
D.参考答案:D,线性回归直线过样本中心点.故选D.4.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a﹣2bi与1+4i互为共轭复数,则|a+bi|=()A. B. C.2 D.参考答案:D【考点】复数求模.【分析】利用复数的模的计算公式、共轭复数的定义即可得出【解答】解:∵a﹣2bi与1+4i互为共轭复数,∴a=1,﹣2b+4=0,解得a=1,b=2.∴|a+bi|=|1+2i|==.故选:D5.若数列的通项公式为的最大项为第
项,最小项为第项,则等于
A.3
B.4
C.5
D.6
参考答案:A6.在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为(
).
A.
B.
C.
D.
w.w.参考答案:略7.已知圆的半径为2,椭圆的左焦点为,若垂直于x轴且经过F点的直线与圆M相切,则a的值为
A.
B.1
C.2
D.4参考答案:C8.
设分别是中所对边的边长,则直线与的位置关系是(
)A.平行
B.垂直
C.重合
D.相交但不垂直参考答案:答案:B9.在某次测量中得到的A样本数据如下:42,43,46,52,42,50,若B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据,则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是(
)A.平均数
B.标准差
C.众数
D.中位数参考答案:B略10.在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=2,AC=AB=4,且AC⊥AB,则该三棱锥外接球的表面积为(
)A.4π
B.24π
C.36π
D.48π参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.我们知道,以正三角形的三边中点为顶点的三角形与原三角形的面积之比为1:4,类比该命题得,以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为.参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】由题意画出图形,结合三角形中位线、三角形重心的性质及相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案.【解答】解:如图,设正四面体ABCD四个面的中心分别为E、F、G、H,AH为四面体ABCD的面BCD上的高,交面EFG于H,则,又,∴,则,同理可得,∴正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原四面体的体积之比为.故答案为:.12.已知函数的定义域为,则函数的定义域为
参考答案:(0,1/2)略13.已知,方程有四个实数解,则实数a的取值范围是
参考答案:14.已知△ABC中,AB+AC=6,BC=4,D为BC的中点,则当AD最小时,△ABC的面积为.参考答案:【考点】余弦定理的应用;三角形的面积公式.【分析】根据余弦定理可得:AC2=AD2+22﹣4AD?cos∠ADC,且,进而,结合二次函数的图象和性质,可得AC=2时,AD取最小值,由余弦定理求出cos∠ACB,进而求出sin∠ACB,代入三角形面积公式,可得答案.【解答】解:∵AB+AC=6,BC=4,D为BC的中点,根据余弦定理可得:AC2=AD2+CD2﹣2AD?CD?cos∠ADC,且AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos∠ADB,即AC2=AD2+22﹣4AD?cos∠ADC,且,∵∠ADB=π﹣∠ADC,∴,∴,当AC=2时,AD取最小值,此时cos∠ACB==,∴sin∠ACB=,∴△ABC的面积S=AC?BC?sin∠ACB=,故答案为:.【点评】本题考查的知识点是余弦定理的应用,三角形面积公式,同角三角函数的基本关系,难度中档.15.已知定义在实数集R的函数f(x)满足f(1)=4,且f(x)导函数f′(x)<3,则不等式f(lnx)>3lnx+1的解集为
参考答案:(0,e)构造函数,故函数单调递减,,即.
16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.参考答案:
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;由三视图求面积、体积.【分析】由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱,代入柱体体积公式,可得答案.【解答】解:由已知中的三视图,可得该几何体是以俯视图为底面的棱柱,底面面积为:S=2×2=4,底面周长为:C=2×(2+)=4+4,高h=4,故几何体的表面积为:2S+Ch=;故答案为:.17.函数,在区间内围成图形的面积为
参考答案:略三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.已知平面上三个向量的模均为1,它们相互之间的夹角均为。(I)求证:;(II)若,求的取值范围。参考答案:(Ⅰ)证明略(I)根据向量垂直的条件可证即可.(II)不等式然后再把给的数据代入即可得到关于k的不等式求出k的取值范19.在四棱锥M-ABCD中,平面平面ABCD,底面ABCD为矩形,,,,、分别为线段BC、MD上一点,且,.(1)证明:;(2)证明:EF∥平面MAB,并求三棱锥的体积.参考答案:(1)见解析;(2)1.【分析】(1)推导出AM⊥AD,从而AM⊥平面ABCD,由此能证明AM⊥BD;(2)推导出CE=ND,BC∥AD,EN∥AB,FN∥AM,从而平面ENF∥平面MAB,进而EF∥平面MAB,由VD﹣AEF=VF﹣ADE,能求出三棱锥D﹣AEF的体积.【详解】(1)∵AM=AD=3,MD=3,∴AM2+AD2=MD2,∴AM⊥AD,∵平面MAD⊥平面ABCD,平面MAD∩平面ABCD=AD,∴AM⊥平面ABCD,又BD?平面ABCD,∴AM⊥BD.(2)在棱AD上取一点N,使得ND=1,∵CE=1,∴CE=ND,又BC∥AD,∴ECND,又AB∥CD,∴EN∥AB,∵=,∴FN∥AM,∵FN∩EN=N,∴平面ENF∥平面MAB,又EF?平面ENF,∴EF∥平面MAB,∵AM⊥平面ABCD,且FD=MD,AM=3,∴F到平面ABCD的距离d=,∴VD﹣AEF=VF﹣ADE==1.【点睛】本题考查线线垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.20.设椭圆,以短轴为直径的圆面积为,椭圆上的点到左焦点的最小距离是,为坐标原点.(Ⅰ)求椭圆和圆的方程;(Ⅱ)如图,为椭圆的左右顶点,分别为圆和椭圆上的点,且轴,若直线分别交轴于两点(分别位于轴的左、右两侧).求证:,并求当时直线的方程.参考答案:(1)由题意知∴,故所求椭圆方程为,圆(2)设,直线(易知斜率存在且不为0)将直线与联立得:,即所以直线的斜率为,从而的方程为所以,设,则所以故此时,当时,可得或者,故或者,所以直线的方程为或者或者21.(本小题满分14分)已知椭圆C:的短轴长为,右焦点与抛物线的焦点重合,为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设、是椭圆C上的不同两点,点,且满足,若,求直线AB的斜率的取值范围.
参考答案:解:(1)由已知得,所以椭圆的方程为
………4分(2)∵,∴三点共线,而,且直线的斜率一定存在,所以设的方程为,与椭圆的方程联立得
由,得.
…6分设,
①又由得:
∴
②.将②式代入①式得:
消去得:
…9分当时,是减函数,,∴,解得,又因为,所以,即或∴直线AB的斜率的取值范围是
…………12分22.已知函数(1)当时,求函数的单调区间;(2)若对任意,都有<成立,求实数的取值范围;(3)若过点可作函数图象的三条不同切线,求实数的取值范围.参考答案:(1)当时,函数得∴当1<<2时,>0,函数单调递增当<1或>2时<0,函数单调递减∴函数的单调递增区间为(1,2),单调递减区间为(-∞,1)和(2,+∞)(2)由,得∵对于,都有<成立即对于,都有[]max<∵,其图象开口向下,对称轴为①当≤1
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