2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版） 圆与三角形的综合（压轴题专项讲练）（原卷版）

专题24.3圆与三角形的综合【典例1】在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，CA＝CB，点D是△ABC外一动点（点B，点D位于AC两侧），连接CD，AD．（1）如图1，点O是AB的中点，连接OC，OD，当△AOD为等边三角形时，∠ADC的度数是；（2）如图2，连接BD，当∠ADC＝135°时，探究线段BD，CD，DA之间的数量关系，并说明理由；（3）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，点D在AC上，点E为AB上一点，连接CE，DE，当AE＝1，BE＝7时，直接写出△CDE面积的最大值及此时线段BD的长．【思路点拨】（1）由等腰直角三角形的性质得∠COA＝90°，CO＝OA，再由等边三角形的性质得OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，然后求出∠ODC＝75°，即可求解；（2）过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，证△ACH≌△BCD（SAS），得BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD（3）连接OC，由勾股定理得CE＝5，过点O作ON⊥CE于N，延长ON交⊙O于点D，此时点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，然后由三角形面积求出ON=125，则DN＝OD﹣ON=85，即可求解三角形CDE的面积最大值，最后用勾股定理借助（2）的结论求出【解题过程】解：（1）∵∠BCA＝90°，BC＝AC，点O是AB的中点，∴∠COA＝90°，CO=12AB＝∵△AOD是等边三角形，∴OD＝OA，∠ODA＝∠DOA＝60°，∴OC＝OD，∠COD＝∠COA﹣∠DOA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ODC=12（180°﹣∠COD）∴∠ADC＝∠ODC+∠ODA＝75°+60°＝135°，故答案为：135°；（2）解：线段BD，CD，DA之间的数量关系为：BD=2CD+DA理由如下：过点C作CH⊥CD交AD的延长线于点H，如图2所示：则∠CDH＝180°﹣∠ADC＝180°﹣135°＝45°，∴△DCH是等腰直角三角形，∴CH＝CD，HD=2CD∵∠BCA＝90°，∴∠ACH＝∠BCD，∴△ACH≌△BCD（SAS），∴BD＝AH＝HD+DA=2CD+AD（3）解：连接OC，如图3所示：∵∠BCA＝90°，BC＝AC，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，∵⊙O是△ABC的外接圆，∴O是AB的中点，∴OC⊥AB，OC＝OA=12AB=12（AE+∴OE＝OA﹣AE＝4﹣1＝3，在Rt△COE中，由勾股定理得：CE=O∵CE是定值，∴点D到CE的距离最大时，△CDE面积的面积最大，∵AB是⊙O的直径，过点O作ON⊥CE于N，延长ON与⊙O的交点恰好是点D时，点D到CE的距离最大，△CDE面积的面积最大，∵S△OCE=12OC•OE=12∴ON=OC⋅OE∵OD＝OC＝4，∴DN＝OD﹣ON＝4−12此时，在Rt△CNO中，CN=O在Rt△CND中，CD=C在Rt△ABD中，BD2＝AB2﹣AD2＝82﹣AD2，由（2）知，BD=2CD+AD=2×8∴82﹣AD2＝（8105+AD∴AD=6∴BD=8105即△CDE面积的面积最大值为4，此时，BD=141．（2022·全国·九年级专题练习）已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA,CB．(1)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；(2)如图②，若AC=2,OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．2．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC<90°，以AB为直径作⊙O分别交BC，AC于点D，E，连接AD，过点D作⊙O的切线交AC于点F．(1)试猜想BD和ED的数量关系，并说明理由．(2)若AB=52,AD=2103．（2022·北京·人大附中九年级阶段练习）如图1，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D为AC⏜AC的中点，连接BC(1)求证：OD∥(2)如图2，过点D作AB的垂线与⊙O交于点E，作直径EF交BC于点G．若G为BC中点，⊙O的半径为2，求弦4．（2022·安徽宿州·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，点E在弦AC的延长线上，过点E作ED⊥AE，ED与⊙O相切于点D．(1)求证：AD平分∠BAC．(2)若AC=3，AB=5，求CE和DE的长．5．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF∥AB，且CF=CD，连接(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．6．（2022·陕西·交大附中分校模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AD⊥AB，交⊙O于点D，交BC于点E，过点B作⊙O的切线，与DA的延长线相交于点F．(1)求证：AF＝AE；(2)若⊙O的半径为2，BE＝3，求DE的长．7．（2022·湖北咸宁·模拟预测）如图，AB为⊙O的直径，AD和过点⊙O上点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)已知AB=16，若点E为AC的中点，求图中阴影部分的面积．8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交圆O于点A，C，BC=1，AD为⊙O的弦，连接BD，∠BAD=∠ABD=30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M．(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求线段BM的长．9．（2022·全国·九年级课时练习）在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC=16°．(1)如图①，若∠BAD=52°，求∠APC和∠CDB的大小；(2)如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．10．（2022·江苏·九年级期中）如图1，C、D为半圆O上的两点，且点D是弧BC的中点．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．(1)求证：CD＝ED；(2)连接AD与OC、BC分别交于点F、H．①若CF＝CH，如图2，求证：CH＝CE；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．11．（2022·浙江丽水·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AC=BC，点D是BC的中点，连结OC,AD，交于点E，连结(1)求∠EBA的度数．(2)求证：AE=2(3)若DE=1，求⊙O的面积．12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，且BD=CD，过点D作⊙O的切线交AC于点F，过点D作AB的垂线，交AB于点G，交⊙O于点H．(1)求证：DF⊥AC；(2)若OG=1，求AE的长．13．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，OD⊥AB交AC于点E，∠D＝2∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE＝DC；(3)若OD＝5，CD＝3，求AE的长．14．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学九年级阶段练习）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE⊥PO交PO延长线于点E，连接OC，PB，已知PB=6，DB=8，∠EDB=∠EPB．(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径；(3)连接BE，求BE的长．15．（2022·山东济南·二模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且∠ACB=60°．(1)求证：AE=AB；(2)若DE=2，求⊙O的半径．16．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．17．（2022·全国·九年级课时练习）已知∠MON=α，点A，B分别在射线OM,ON上运动，AB=6．(1)如图①，若α=90°，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为A',B',D'，连接OD,OD'．判断OD与OD'有什么数量关系?证明你的结论：(2)如图②，若α=60°，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：(3)如图③，若α=45°，当点A，B运动到什么位置时，△AOB的面积最大?请说明理由，并求出△AOB面积的最大值．18．（2022·贵州遵义·二模）小颖复习尺规作图时，Rt△ABC①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点Q，交BC于点P，再分别以点P，Q为圆心，大于12PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线②以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交AC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点G，作射线AG交射线BH于点③作射线CO交AB于点D，且∠CDA=90°，以点O为圆心，OD为半径作⊙O，交AC于点E，交BC于点F，构成如图所示的阴影部分．(1)求证：Rt△ABC(2)若AC=2，求图中阴影部分的面积．19．（2022·湖南·长沙麓山国际实验学校九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA=PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D．(1)求证：MC是⊙O的切线；(2)若AB=20，BC=16，连接PC，求PC的长；(3)试探究AC、BC与PC之间的数量关系，并说明理由．20．（2022·北京市三帆中学九年级阶段练习）已知：△ABC，点D是△ABC的外接圆上一点（不与A，B，C重合），过A作射线AE，AF，且AE∥BD，AF∥CD（D，E分别在AB两侧，D，F分别在AC两侧），在射线AE上取一点M使得AM＝AB，在射线AF上取一点N使得AN＝AC，连接MN，P是线段MN的中点．(1)当∠A＝90°时，在图1中补全