2023学年九年级数学上册从重点到压轴（人教版） 圆（压轴题综合测试卷）（解析版）

专题24.5圆（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·重庆忠县·九年级期中）如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．60° C．80° D．100°【思路点拨】首先圆上取一点A，连接AB，AD，根据圆的内接四边形的性质，即可得∠BAD+∠BCD=180°，即可求得∠BAD的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案．【解题过程】解：在圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故选D．2．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（）A．点（0，3） B．点（2，3）C．点（5，1） D．点（6，1）【思路点拨】根据垂径定理的性质得出圆心所在位置，再根据切线的性质得出，∠OBD+∠EBF=90°时F点的位置即可。【解题过程】解：∵过格点A，B，C作一圆弧，∴三点组成的圆的圆心为：O（2，0），∵只有∠OBD+∠EBF=90°时，BF与圆相切，∴当△BOD≌△FBE时，EF=BD=2，F点的坐标为：（5，1），∴点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是：（5，1）．故选C．3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙О中，点C在弦AB上移动，连接OC,过点C作CD⊥OC交⊙О于点D．若AB=2,则CD的最大值是（

）A．4 B．2 C．2 D．1【思路点拨】连接OD，如图，利用勾股定理得CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出CD即可．【解题过程】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO=90∘，∴CD=OD当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D.

B两点重合，∴CD=CB=12AB=1即CD的最大值为1．故答案为：D．4．（2022·浙江丽水·模拟预测）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A．25cm B．45cm C．25cm或45cm D．23cm或43cm【思路点拨】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解题过程】解：连接AC，AO，∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=12AB=12×8=4cm，OD=当C点位置如图1所示时，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM=OA∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=AM当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5−3=2cm，在Rt△AMC中,AC=AM故选：C.5．（2022·江苏·九年级）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的直径为（

）A．3 B．23 C．1 【思路点拨】过D作DE⊥AB垂足为E，先利用圆周角的性质和角平分线的性质得到DE=DC=1，再说明Rt△DEB≌Rt△DCB得到BE=BC，然后再利用勾股定理求得AE，设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3，最后根据勾股定理列式求出x，进而求得AB．【解题过程】解：如图：过D作DE⊥AB，垂足为E∵AB是直径∴∠ACB=90°∵∠ABC的角平分线BD∴DE=DC=1在Rt△DEB和Rt△DCB中DE=DC、BD=BD∴Rt△DEB≌Rt△DCB（HL）∴BE=BC在Rt△ADE中，AD=AC-DC=3-1=2AE=A设BE=BC=x，AB=AE+BE=x+3在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2则（x+3）2=32+x2，解得x=3∴AB=3+3=23故填：23．6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上．记该圆面积为S1，△ABC面积为S2，则S1A．5π2 B．3π C．5π D．【思路点拨】先确定圆的圆心在直角三角形斜边的中点，然后利用全等三角形的判定和性质确定△ABC是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边中线的性质得到S2=14A【解题过程】解：如图所示，∵正方形的顶点E,F,G,H,M,N都在同一个圆上，∴圆心O在线段EF,MN的中垂线的交点上，即在Rt△ABC斜边AB的中点，且AC=MC，BC=CG，∴AG=AC+CG=AC+BC，BM=BC+CM=BC+AC，∴AG=BM，又∵OG=OM，OA=OB，∴△AOG≌△BOM，∴∠CAB=∠CBA，∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴OC=1∴∵O∴S∴S故选：C．7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB=3，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且BD=CE，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（

）A．33π B．233π 【思路点拨】如图，作过A、B、F作⊙O，AFB为点F的轨迹，然后计算出AFB的长度即可．【解题过程】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB∵等边Δ∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°∵BD=CE∴△BCE≌△ABC∴∠BAD=∠CBE∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°∴∠ABE+∠BAD=60°∴∠AFB=120°∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角∴∠AOB=120°∵OG⊥AB，OA=OB∴∠BOG=∠AOG=12∠AOB=60°，BG=12AB∴∠OBG=30°设OB=x，则OG=12∴x2−x22=322∴AFB的长度为120∘故选B8．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB=4，则BC的长是（）A．23 B．32 C．53【思路点拨】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD=12AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC和弧CD所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到AC=CD【解题过程】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=12在Rt△OBD中，OD=52∵将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴AC=∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF=52∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=32，故选B．9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC相切于点D，E，F，已知AB＝6，AC＝5，BC＝7，则DE的长是（

）A．1277 B．1077 C．【思路点拨】连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，利用AB2−BG2=AC2−CG2，求出BG=307，进一步可得AG=1267，求出S△ABC=12AG·BC=6【解题过程】解：连接OD、OE、OB，OB交DE于H，作AG⊥BC交BC于点G，如图，∵AB＝6，AC＝5，BC＝7，∴AB2−BG2∴AG=A∴S△ABC设内切圆的半径为r，则S△ABC=1∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴∠ODB=∠OEB=90°，又∵OD=OE，OB=OB，∴Rt△ODB≌△Rt△OEB，∴BD=BE，同理，CE=CF，AD=AF，∵BE+CE=BC=7，∴BD+BE+CE+CF=14，∴2AD=(6+5+7)-14=4，即AD=2，∴BD=4，∴OB=B∵BE=BD，OE=OD，∴OB垂直平分DE，∴DH=EH，OB⊥DE，∵1∴HE=OE⋅BE∴DE=2EH=8故选：D．10．（2022·江苏无锡·九年级期中）我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：3：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（

）A．①② B．①③ C．②④ D．③④【答案】B【思路点拨】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在RtΔABC中，由勾股定理可得a2+b2=c2，因为RtΔABC是奇异三角形，且b＞a，所以a2+c2=2b【解题过程】解：设等边三角形的边长为a，则a2∴等边三角形一定是奇异三角形，故①正确；在RtΔABC中，∵c>b>a>0，∴2c2>若△ABC是奇异三角形，一定有2b∴2b∴b2=2a∵c2∴c=3∴a：故②错误；在RtΔABC中，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，在RtΔACB中，在RtΔADB中，∵D是半圆ADB的中点，∴AD=∴AD=BD，

∴AB又∵CB=CE，AE=AD，∴AC∴ΔACE是奇异三角形，故③正确；由③可得ΔACE是奇异三角形，∴AC当ΔACE是直角三角形时，由②可得AC：AE：（Ⅰ）当AC：AC：CE=1：∵∠ACB=90∴∠ABC=30°，∴∠AOC=2∠ABC=60°．（Ⅱ）当AC：AC：CE=3∵∠ACB=90°，∴∠ABC=60°，∴∠AOC=2∠ABC=120°，∴∠AOC的度数为60°或120°，故④错误；故选：B．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·全国·九年级课时练习）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为____mm．【思路点拨】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．【解题过程】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm．∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm．在Rt△AOD中，∵AD=OA∴AB=2AD=2×4=8mm故答案为812．（2022·全国·九年级课时练习）已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，则AB与【思路点拨】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．【解题过程】解：分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∴E、F分别为CD、AB的中点，∴CE=DE=12CD=3cm，AF=BF=1在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，根据勾股定理得：OF=3cm，在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，根据勾股定理得：OE═4cm，则EF=OE−OF=4cm−3cm=1cm；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得EF=4cm+3cm=7cm，综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．故答案为：7或1．13．（2022·山东菏泽·九年级期中）如图，正方形ABCD内接于⊙O，PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E．已知AB=2，则图中阴影部分的面积为___________．【思路点拨】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，根据切线的性质得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE=32【解题过程】解：连接AC，OD，∵四边形BCD是正方形，∴∠B=90°，∴AC是⊙O的直径，∠AOD=90°，∵PA，PD分别与⊙O相切于点A和点D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四边形AODP是矩形，∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形，∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∵AB=2，∴AC=2AO=22，DE=2CD=22，∴AP=PD=AO=2，∴PE=32，∴图中阴影部分的面积=故答案为：5-π．14．（2022·全国·九年级课时练习）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，已知D是⊙O上一动点，连接AD、CD，若圆的半径r＝2，则以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积为_____．【思路点拨】连接BO并延长交AC于E，交AC于D，根据垂径定理得到点D到AC的距离最大，根据直角三角形的性质、三角形的面积公式计算，得到答案．【解题过程】解：连接BO并延长交AC于E，交AC于D，连接AD、CD，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∴AB=∴OE⊥AC，点D为AC的中点，此时点D到AC的距离最大，∴△ADC的面积最大，即以A、B、C、D为顶点的四边形的面积最大，在Rt△BAD中，∠ABD＝30°，∴AD＝12由勾股定理得，AB＝BD2−A∴以A、B、C、D为顶点的四边形的最大面积＝12×2×23×2＝43故答案为：43．15．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为AD上一点，且AE=2，F为BC边上的动点，以为EF直径作⊙O，当⊙O与矩形的边相切时，BF的长为______．【思路点拨】⊙O与矩形的边相切，但没有具体说与哪个边相切，所以该题有三种情况：第一种情况是圆与边AD、BC相切，此时BF=AE；第二种情况是圆与边AB相切，利用中位线定理以及勾股定理可求出BF的长；第三种是圆与边CD相切，同样利用中位线定理以及勾股定理求得BF．【解题过程】解：①当圆与边AD、BC相切时，如图1所示此时∠AEO=BFO=90°所以四边形AEFB为矩形即BF=AE=2；②当圆与边AB相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交于E、N两点，与边BC交于M、F两点，连接EM、HO，如图2所示此时OE=OF=OH=R，点O、H分别是EF、AB的中点∴2OH=AE+BF即BF=2R-2∵BM=AE=2∴MF=2R-4在Rt△EFM中，EM∵EM=AB=6，EF=2R∴62解得R=13将R=134代入BF=2∴BF=9③当圆与边CD相切时，设圆的半径为R，切点为H，圆与边AD交E、D两点，与边BC交M、F两点，如图3所示此时OE=OF=OH=R∵AE=2∴ED=6∵点O、H分别是EF、CD的中点∴2OH=ED+FC即FC=2R-6∵BM=AE=2∴MF=BC-BM-FC即MF=12-2R∵EM=AB=6，EF=2R∴在Rt△EMF中EM即62解得R=15∵BF=BM+MF=2+(12−2R)=14−2R∴BF=13评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（2022·全国·九年级课时练习）在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知AB,C是弦AB（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：①作线段AC的垂直平分线DE，分别交AB于点D,AC于点E，连接AD,CD；②以点D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F（F,A两点不重合），连接DF,BD,BF．（2）直接写出引理的结论：线段BC,BF的数量关系．【思路点拨】（1）①分别A,C为圆心，大于12AC为半径画弧，得到两弧的交点，过两弧的交点作直线（2）由作图可得：DA=DC=DF,再证明∠DBC=∠DBF,∠DFB=∠DCB,再证明△DCB≌△DFB,从而可得结论．【解题过程】解：（1）作出线段AC的垂直平分线DE，连接AD,CD；

以D为圆心，DA长为半径作弧，交AB于点F，连接DF,BD,BF，如图示：（2）结论：BC=BF．理由如下：由作图可得：DE是AC的垂直平分线，DA=DF,∴DA=DC=DF,∴∠DAC=∠DCA,AD∴∠DBC=∠DBF,∵四边形ABFD是圆的内接四边形，∴∠DAB+∠DFB=180°,∵∠DCA+∠DCB=180°,∴∠DFB=∠DCB,∵DB=DB,∴△DCB≌△DFB,∴BC=BF.17．（2022·江西上饶·九年级期末）如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．【思路点拨】（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．【解题过程】解：（1）如图：连接OD∵DE与⊙O相切∴∠ODE＝90°∵AB∥DE∴∠AOD+∠ODE＝180°∴∠AOD＝90°∵∠AOD＝2∠C∠C＝45°∵∠CFB＝∠CAB+∠C∴∠CFB＝75°（2）如图：连接OC∵AB是直径，点F是CD的中点∴AB⊥CD，CF＝DF，∵∠COF＝2∠CAB＝60°，∴OF＝12OC＝12，CF＝3OF＝∴CD＝2CF＝3，AF＝OA+OF＝32∵AF∥AD，F点为CD的中点，∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，∴DE＝2AF＝3，∴S△CED＝12×3×3＝18．（2022·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，点D是半圆O上一点，点C是AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC．（1）求证：GP＝GD；（2）求证：P是线段AQ的中点；（3）连接CD，若CD＝2，BC＝4，求⊙O的半径和CE的长．【思路点拨】（1）结合切线的性质以及已知得出∠GPD=∠GDP，进而得出答案；（2）利用圆周角定理得出PA，PC，PQ的数量关系进而得出答案；（3）直接利用勾股定理结合三角形面积得出答案．【解题过程】（1）证明：连接OD，则OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EAP+∠GPD=∠EPA+∠EAP=90°，∴∠GPD=∠GDP；∴GP=GD；（2）证明：∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵CE⊥AB于E，∴∠CEB=90°，∴∠ACE+∠ECB=∠ABC+∠ECB=90°，∴∠ACE=∠ABC=∠CAP，∴PC=PA，∵∠ACB=90°，∴∠CQA+∠CAP=∠ACE+∠PCQ=90°，∴∠PCQ=∠CQA，∴PC=PQ，∴PA=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点；（3）连接CD，∵弧AC=弧CD，∴CD=AC，∵CD=2，∴AC=2，∵∠ACB=90°，∴AB=22+4故⊙O的半径为5，∵CE×AB=AC×BC，∴25CE∴CE=4519．（2022·全国·九年级课时练习）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作dP,Q．已知点A−2,2，B2,2(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d⊙O,AB=0，直接写出(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°0°<α<180°，得到点A①当α=30°时d⊙O,A′②对于取定的r值，若存在两个α使d⊙O,A′【思路点拨】(1)理解题意后直接利用垂线段最短即可求解．(2)先理解当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB=0，利用⊙O与线段相切和⊙O经过(3)①先确定A′位于x轴上，再求出OA′的长即可求解；②先确定A′的轨迹，再利用存在两个α使d(⊙【解题过程】（1）解：∵O点到AB的距离为2，∴d（点O，AB）＝2，故答案为2．（2）当⊙O与线段有交点时，d⊙O,AB∵OA=OB=2∴2≤r≤22（3）①如图，作A′N⊥AB于点∴∠A由旋转知BA∵∠ABA∴A′∴A′位于x轴上，BN=∴A′∴A′∵d⊙O,∴⊙O经过A′∴r=23②如图所示，连接OB，∵对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A')=0，∴⊙O与以AH为直径的半圆有两个交点（A点和H点除外），此时有两个界点值，分别是⊙O与该半圆内切时和⊙O经过A点时，由B2,2，得OB=当⊙O与该半圆内切时，r=4−22当⊙O经过A点时，r=22∴4−2220．（2022·四川德阳·九年级阶段练习）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，过点C作CE⊥AB于点E，连接AC．（1）求证：∠CAD=∠ECB；（2）若CE是⊙O的切线，∠CAD=30°，连接OC，如图2．①请判断四边形ABCO的形状，并说明理由；②当AB=2时，求AD，AC与CD围成阴影部分的面积．【思路点拨】（1）利用圆内接四边形的性质证得∠D=∠EBC，再利用圆周角的性质证得∠D+∠CAD=90°，即可证明∠CAD=∠ECB；（2）①利用切线的性质得到OC⊥EC，从而证明OC∥AE，再证明∠BAO=∠EBC=60°，推出BC∥AO，即可证明四边形ABCO是菱形；②先计算S△AOC=3【解题过程】解：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠EBC+∠ABC=180°，∴∠D=∠EBC，∵AD为⊙O直径，∴∠ACD=90°，∴∠D+∠CAD=90°，∵CE⊥AB，∴∠ECB+∠EBC=90°，∴∠CAD=∠ECB；（2）①四边形ABCO是菱形，理由如下：∵CE是⊙O的切线，∴OC⊥EC，∵AB⊥EC，∴∠OCE=∠E=90°，∴∠OCE+∠E=180°，∴OC∥AE，∴∠ACO=∠BAC，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CAD=∠ECB，∠CAD=30°，∴∠EBC=90°-30°=60°，∴∠BAO=∠EBC=60°，∴BC∥AO，∴四边形ABCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形ABCO是菱形；②∵四边形ABCO是菱形，∴AO=AB=2，AD=4，∵∠CAD=30°，∴CD=12AD=2，AC=23过点C作CF⊥AD于点F，∴CF=3，∴S△AOC∵OC∥AE，∴∠DOC=∠BAO=60°，∴S扇形OCD∴阴影部分的面积为3+21．（2022·全国·九年级专题练习）如图，以AB为直径的⊙O上有一动点C，⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，过点B作BM∥OC交⊙O于点M，连接AM，OM，BC．(1)求证：AM∥CD(2)若OA=5，填空：①当AM＝时，四边形OCBM为菱形；②连接MD，过点O作ON⊥MD于点N，若BD=52−5，则ON＝【思路点拨】(1)首先根据圆周角定理可得∠MAB+∠ABM=90°，由切线的性质可得∠DOC+∠CDO=90°，再根据平行线的性质即可证得∠MAB=∠CDO，据此即可证得结论；(2)①根据菱形性质可得OM=OA=MB=5，即可求得AB，再根据勾股定理即可求得；②首先可证得△ODC是等腰直角三角形，再根据勾股定理及三角形的面积，即可求解．【解题过程】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∴∠MAB+∠ABM=90°，∵CD是⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠DOC+∠CDO=90°，又∵BM∥∴∠ABM=∠DOC，∴∠MAB=∠CDO，∴AM∥（2）解：①若四边形OCBM为菱形，则OM=OA=MB=5，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°，∵OA=OB，∴AB=2OA=10，∴AM=当AM=53时，四边形OCBM故答案为：53②如图所示：∵BD=52−5，∴OD=OB+BD=5+52∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∵OC=OB=5，∴CD=O∴△ODC是等腰直角三角形，∴∠DOC=45°，又∵BM∥∴∠OBM=∠DOC=45°，∵OM=OB，∴∠OBM=∠OMB=45°，∴∠BOM=90°，△OBM是等腰直角三角形，在直角△ODM中，根据勾股定理可得MD=O根据△ODM的面积可得ON⋅DM=OM⋅OD，ON=OM⋅OD故答案为：5622．（2022·全国·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，P为AB上一点，弦CD与弦EF交于点P，PB平分∠DPF，连DF交AB于点G．(1)求证：CD＝EF；(2)若∠DPF＝60°，PE∶PF＝1∶3，AB＝213，求OG的长．【思路点拨】（1）过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，利用HL证明Rt△OFM≌Rt△ODN，可得FM=DN，进而可得结论；（2）根据PE：PF=1：3，可以设PE=x，PF=3x，则EF=PE+PF=4x，利用含30度角的直角三角形可得OM=33x，OP=233x，然后证明Rt△OPM≌Rt△OPN，可得PM=PN，再证明△PDF是等边三角形，可得DF=PF=3x，FG=12DF=【解题过程】（1）证明：如图，过点O作OM⊥EF于点M，ON⊥CD于点N，连接OF、OD，则∠OMF=∠OND=90°，∵PB平分∠DPF，OM⊥EF，ON⊥CD，∴OM=ON，在Rt△OFM和Rt△ODN中，∵OF=ODOM=ON∴Rt△OFM≌Rt△ODN（HL），∴FM=DN，∵OM⊥EF，ON⊥CD，∴EF=2FM，CD=2DN，∴CD=EF；（2）解：∵PE：PF=1：3，∴设PE=x，PF=3x，∴EF=PE+PF=4x，∵OM⊥EF，∴EM=FM=12EF=2x∴PM=EM-PE=2x-x=x，

∵PB平分∠DPF，∠DPF=60°，∴∠FPB=DPB=12∠DPF∴OM=33x，OP=23在Rt△OPM和Rt△OPN中，OP=OPOM=ON∴Rt△OPM≌Rt△OPN（HL），∴PM=PN，由（1）知：FM=DN，

∴PM+FM=PN+DN，∴PF=PD，∵∠DPF=60°，∴△PDF是等边三角形，∵PB平分∠DPF，∴PB⊥DF，垂足为G，∴DF=PF=3x，FG=12DF=3x2∴PG=PF∴OG=PG-OP=33∵AB=213，∴OF=12AB=13在Rt△OFG中，根据勾股定理，得OG∴(5整理，得x2解得x=±3（负值舍去），∴x=3，∴OG=5323．（2022·全国·九年级课时练习）问题提出：（1）如图1，已知△ABC是边长为2的等边三角形，则△ABC的面积为______．问题探究：（2）如图2，在△ABC中，已知∠BAC=120°，BC=63，求△ABC问题解决：（3）如图3，某校学生礼堂的平面示意图为矩形ABCD，其宽AB=20米，长BC=24米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面CD上安装一台摄像头M进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面AB区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点M出发的观测角∠AMB=45°．请你通过所学的知识进行分析，在墙面CD区域上是否存在点M满足要求？若存在，求出MC的长度；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）作AD⊥BC于D，由勾股定理求出AD的长，即可求出面积；（2）作△ABC的外接圆⊙O，可知点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，求出A'H的长，从而得出答案；（3）以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，利用等腰直角三角形的性质求出OA，OG的长，则以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，从而⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，利用勾股定理求出OE的长，从而解决问题．【解题过程】解：（1）作AD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴BD=1，∴AD=AB2−B∴△ABC的面积为12故答案为：3；（2）作△ABC的外接圆⊙O，∵∠BAC=120°，BC=63∴点A在BC上运动，当A'O⊥BC时，△ABC的面积最大，∴∠BOA'=60°，BH=CH=33∴OH=3，OB=6，∴A'H=OA'-OH=6-3=3，∴△ABC的最大面积为12（3）存在，以AB为边，在矩形ABCD的内部作一个等腰直角三角形AOB，且∠AOB=90°，过O作HG⊥AB于H，交CD于G，∵AB=20米，∴AH=OH=10米，OA=102米，∵BC=24米，∴OG=14米，∵102＞14，∴以O为圆心，OA为半径的圆与CD相交，∴⊙O上存在点M，满足∠AMB=45°，此时满足条件的有两个点M，过M1作M1F⊥AB于F，作EO⊥M1F于E，连接OF，∴EF=OH=10米，OM1=102米，∴EM1=14米，∴OE=OM∴CM1