材料力学第10章材料力学中的能量法课件

第10章材料力学中的能量方法专题篇之一材料力学下一章上一章

返回总目录第10章材料力学中的能量方法专题篇之一材料力学下一章上一第10章材料力学中的能量方法天之道，损有余而补不足……。……。是以虚击实，以不足胜有余。第10章材料力学中的能量方法天之道，损有余而补不足…第10章材料力学中的能量方法基本思想的变迁：从牛顿、莱布尼兹的局部化数理分析到欧拉、拉格朗日的整体化数理分析第10章材料力学中的能量方法基本思想的变迁：

几何法确定结构位移的复杂性第10章材料力学中的能量方法ACBFPFP为了计算B点沿加力方向的位移，需要首先计算AB杆的伸长量和BC的缩短量；然后建立这些量与加力点的位移之间的关系。几何法确定结构位移的复杂性第10章材料力学中的能量方

承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，因而外力作功。第10章材料力学中的能量方法FP11FP22FP33ACB

能量守恒原理的应用及其局限性

如果不考虑加载过程中其他形式的能量损耗，根据机械能守恒定理，外力所作的功，全部转变为应变能储存于构件或结构内。承载的构件或结构发生变形时，加力点的位置都要发生变化，因而第10章材料力学中的能量方法通过计算构件或结构的应变能，可以确定构件或结构在加力点处沿加力方向的位移。FP33ACB

能量守恒原理的应用及其局限性但是，根据机械能守恒定律，难以确定构件或结构上任意点沿任意方向的位移，也不能确定构件或结构上各点的位移函数。第10章材料力学中的能量方法通过计算构件或结构的应变第10章材料力学中的能量方法应用更广泛的能量方法，可以确定:构件或结构上加力点沿加力方向的位移;构件或结构上任意点沿任意方向的位移;不仅可以确定特定点的位移，而且可以确定梁的位移函数。第10章材料力学中的能量方法应用更广泛的能量方法，可第10章材料力学中的能量方法本章将介绍：☆

功和能的基本概念；☆

虚位移原理与虚力原理；☆

卡氏定理。第10章材料力学中的能量方法本章将介绍：☆功和能的功和余功讨论一般的力和位移关系：广义力与广义位移－力－线位移；力偶－角位移；均匀分布载荷－？；均匀分布压力－？；一般的力和位移关系－基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章功和余功讨论一般的力和位移关系：广义力与广义位移－一般的力和功(work)－以位移作为积分变量dW=FPdW=dW=

FPd

dW功和余功基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章功(work)－以位移作为dW=FPdW=dW=余功(complementarywork)

－以力作为积分变量dWc=dFPdWc=

dFPFPWc=dWc功和余功基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章余功：“虚构”的概念功、余功、互补和对偶思想余功(complementarywork)dWc=d广义的应力－应变关系

＝(),=()－可以是正应力也可以是切应力

－可以是正应变也可以是切应变应变能和余应变能基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章广义的应力－应变关系－可以是正应力－可以是正应变应变应变能(strainenergy)－以为积分变量=

d－应变比能V＝

dV－应变能应变能和余应变能基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章应变能(strainenergy)－=d余应变能(complementary

strainenergy)－以为积分变量vc

=

d

－余应变比能Vc＝

vc

dV

－余应变能应变能和余应变能基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章余应变能：“虚构”的概念应变能、余应变能、互补与对偶思想余应变能(complementaryvc=d几个前提：

杆件变形后横截面保持平面；

静力学方程成立；

FNx=

AdAMz=-AydAMy=AzdAMx=AdA细长杆忽略剪力影响。基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章杆件应变能和余应变能的计算几个前提：基本概念能量原理在杆件位移第10章杆件应变能和余应对于线性问题由v

=

dV＝

v

dV以及＝E

和

＝G

得到基本概念能量原理在杆件位移分析中的应用第10章杆件应变能和余应变能的计算上式也可以通过微段变形分析得到对于线性问题由v=dV＝vdVdx+dxdxFNFN

对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能为则拉伸和压缩杆件的应变能为基本概念

第10章材料力学中的能量方法对于拉伸和压缩杆件

如果dx+dxdxFNFN对于拉伸和压缩杆件，微段的应变能为其中dθ为微段两截面绕中性轴相对转过的角度，代入上式积分后，得到梁的应变能表达式基本概念

第10章材料力学中的能量方法dx忽略剪力影响，微段的应变能为MMd

对于承受弯曲的梁其中dθ为微段两截面绕中性轴相对转过的角度，代入上式积分后其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：代入上式积分后，得到圆轴扭转时的应变能表达式基本概念

第10章材料力学中的能量方法微段的应变能为dMxMx

对于承受扭转的圆轴其中d为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：代入上式积分后，在小变形的情形下，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时，由于这三种内力分量引起的变形是互相独立的，因而总应变能等于三者单独作用时的应变能之和。于是有对于杆件长度上各段的内力分量不等的情形，需要分段计算然后相加：或者采用积分计算：基本概念

第10章材料力学中的能量方法

对于一般受力形式在小变形的情形下，杆件的横截面上同时有轴力、弯矩和扭矩作用时上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才适用。基本概念

第10章材料力学中的能量方法上述应变能表达式必须在小变形条件下，并且在弹性范围内加载时才

叠加原理的应用限制基本概念

第10章材料力学中的能量方法叠加原理的应用限制基本概念第10章材料力学中的基本概念

第10章材料力学中的能量方法

线弹性，位移可以叠加Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1Δ=Δ1+Δ2基本概念第10章材料力学中的能量方法线弹性基本概念

第10章材料力学中的能量方法

线弹性,位移可以叠加,但应变能不能叠加Δ1FP1FP1+FP2ΔFP2Δ2FPΔOFPΔOFPΔOΔ2Δ1Vε1Vε2VεVε1Vε2基本概念第10章材料力学中的能量方法线基本概念

第10章材料力学中的能量方法FPMFPMABABAB基本概念第10章材料力学中的能量方法FPMFP基本概念

第10章材料力学中的能量方法FABllCABllCABllCFMM基本概念第10章材料力学中的能量方法FABll基本概念

第10章材料力学中的能量方法FABllCABllCABllCM叠加法最本质的内涵——力的独立作用原理。FMF基本概念第10章材料力学中的能量方法FABll基本概念

第10章材料力学中的能量方法不同的内力分量引起的应变能，在什么条件下才能叠加？基本概念第10章材料力学中的能量方法不同的内力

功的互等定理

位移互等定理互等定理

第10章材料力学中的能量方法功的互等定理位移互等定理互等定理第10章基本概念

第10章材料力学中的能量方法FPMFPMABABAB线弹性、小变形下，应变能是状态量，具有随加载顺序无关性（联想：积分与路径无关）基本概念第10章材料力学中的能量方法FPMFPFP系统FS系统

功的互等定理(reciprocaltheoremofwork)…FP1FP2FPmP1P2PmFS1FS2FSn…S1S2Sn互等定理

第10章材料力学中的能量方法FP系统FS系统功的互等定理(reciprocaltFP系统

功的互等定理FS1FS2FSnS1S2SnFS系统SP1SP2SPmFP1FPmP1P2PmFP2互等定理

第10章材料力学中的能量方法FP系统功的互等定理FS1FS2FSnS1S2SnFP系统FS系统…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSn

功的互等定理互等定理

第10章材料力学中的能量方法FP系统FS系统…FP1FP2FPmP1P2Pm

功的互等定理的证明互等定理

第10章材料力学中的能量方法FP1FPmP1P2PmFP2FS1FS2FSnS1S2SP1SP2SPm…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSn小变形、弹性范围加载的情形下，最后的变形状态与加载顺序无关。而应变能只与最后的变形状态有关。功的互等定理的证明互等定理第10章材料力学中的能量

功的互等定理互等定理

第10章材料力学中的能量方法FP1FPmP1P2PmFP2FS1FS2FSnS1S2SP1SP2SPm…FP1FP2FPmP1P2PmPS1PS2PSn…S1S2SnFS2FS1FSn功的互等定理互等定理第10章材料力学中的能量方法

功的互等定理互等定理

第10章材料力学中的能量方法功的互等定理：一个力系的力在另一个力系引起的相应的位移上所作之功，等于另一个力系的力在这一个力系引起的相应的位移上所作之功。功的互等定理互等定理第10章材料力学中的能量方法Fiij

=Fj

ji

功的互等定理－特殊情形互等定理

第10章材料力学中的能量方法FiijjiiiFjjj

jiijFiij=Fjji功的互等定理－特殊情?=?互等定理

第10章材料力学中的能量方法Fiij

=Fj

ji?=?互等定理第10章材料力学中的能量方法?=?互等定理

第10章材料力学中的能量方法Fiij

=Fj

ji?=?互等定理第10章材料力学中的能量方法?=?互等定理

第10章材料力学中的能量方法Fiij

=Fj

ji?=?互等定理第10章材料力学中的能量方法

位移互等定理互等定理

第10章材料力学中的能量方法

ij=

jiFj=Fijj

jiijjjiiiiFi=FjFi

ij=Fj

jiFiijjiiiFjjjjiij位移互等定理互等定理第10章材料力学中的能量方法返回总目录第10章材料力学中的能量方法返回虚位移原理返回总目录第10章材料力学中的能量方法返回虚位移虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

虚位移原理应用虚位移原理计算各种受力形式下的内力虚功

虚位移模式的多样性

虚位移原理的应用条件

虚位移原理第10章材料力学中的能量方法虚位对于作用在刚体上的平衡力系，当给刚体一微小虚位移时，如果仍然保持平衡，则该力系中所有的力（包括力偶）在各自的虚位移上所作之功之和等于零。We=0虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

刚体的虚位移原理对于作用在刚体上的平衡力系，当给刚体一微小虚位移时，如果仍然F1F2F3Fi虚位移前刚体的位置xy虚位移后刚体的位置虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

iyixF1F2F3Fi虚位移前刚体的位置xy虚位移后刚体的位置

作用在刚体上的力为各加力点的虚位移分别为，虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

对于刚体，虚位移原理的表达式为外力在虚位移上所作之功为，作用在刚体上的力为各加力点的虚位移分别为，

需要指出的是：虚位移并不是任意的，首先它必须是微小的；其次它必须是约束条件所许可的。

此外，还必须注意，在应用虚位移原理计算力在虚位移上作功时，这个虚位移是在系统处于平衡状态下给出的（保持力不变）。虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

所以这是一个常力作功的过程，力在虚位移上所作之功均为力与虚位移的乘积。需要指出的是：虚位移并不是任意的，首先它必须是微小的；其

处于平衡状态的变形体，自平衡位置令其产生一位小虚位移，则外力在虚位移上所作之功（称为“外力虚功”），等于内力在相应的虚变形上所作之功（称为“内力虚功”）,即：

虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

变形体的虚位移原理We＝Wi变形体平衡→反过来，如果变形体上外力虚功等于内力虚功,则变形体处于平衡状态。即：

We＝Wi→变形体平衡综合上述命题，有虚位移原理：变形体平衡的充分必要条件是，外力虚功等于内力虚功。即：

We＝Wi变形体平衡处于平衡状态的变形体，自平衡位置令其产生一位小虚位移，则外必要条件的简单证明以承受分布载荷的简单支承梁为例平衡时，有令梁自变形后的平衡位置起，有一虚位移w必要条件的简单证明以承受分布载荷的简单支承梁为例平衡时，有令平衡位置平衡位置虚位移微段dx上的外力qdx在虚位移w上所作虚功为

全部外力在虚位移w上所作之总虚功为(qdx)

w平衡位置平衡位置虚位移微段dx上的外力qdx在虚位移w上

虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件)可以是与真实位移有关的位移，也可以是与真实位移无关的位移。可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为We＝Vε虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

虚位移模式的多样性

虚位移必须是微小的，满足可以是与真实位移有关的位移，也可虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

可以是某一(或某几个)真实位移的增量。

虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件)FP1FPiFPn······w1wiwnδwi虚位移原理第10章材料力学中的能量方法可以是某可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关。虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件)lqABlABFPw1w2w=w1可以是与真实位移有关的位移，也可以与真实位移无关。虚位移虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

可以是另外一个与之相关的系统的真实位移。可以是某一(或某几个)真实位移的增量。可以是与真实位移有关的位移，也可以是与真实位移无关的位移。可以是真实位移的增量，这时外力的虚功全部转变为应变能的增量。虚位移原理变为We＝V

虚位移必须是微小的，满足变形协调条件(包括约束条件)虚位移原理第10章材料力学中的能量方法可以是另

所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡问题。

虚位移原理的应用条件仅为小变形。

虚位移原理既适用于线性物性关系也适用于非线性物性关系。虚位移原理

第10章

材料力学中的能量方法

虚位移原理的应用条件所有推证过程，只涉及小变形条件下的平衡问题。虚位移原求解位移曲线的近似方程由虚位移原理导出卡氏第一定理

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章虚位移原理在弹性杆件上的应用求解位移曲线的近似方程由虚位移原理导出卡氏第一定理求解位移曲线的近似方程例题已知：F、EI、l求：梁的位移曲线以及梁中点的挠度

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章求解位移曲线的近似方程例题已知：F、EI、l虚位移原1.假设位移函数2.计算应变能3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章例题1.假设位移函数2.计算应变能3.由虚位移计算外力虚虚位移：外力虚功：应变能增量：

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章2.计算应变能3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量例题虚位移：外力虚功：应变能增量：虚位移原理在能量原理在杆件4.应用虚位移原理确定待定常数We＝V

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章虚位移：外力虚功：应变能增量：

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章3.由虚位移计算外力虚功和应变能增量4.应用虚位移原理确定待定常数We＝V虚位移5.确定位移曲线方程以及梁中点的挠度位移曲线方程

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章4.应用虚位移原理确定待定常数We＝V精确值误差1.4%5.确定位移曲线方程以及梁中点的挠度位移曲线方程虚位移能否通过虚位移原理确定弹性杆件的内力和应力进而求得应力能量原理在杆件位移分析中的应用第10章能否通过虚位移原理确定弹性进而求得应力能量原理在杆件位移第1怎样减小近似解的误差如果假设位移函数误差0.2%请分析：由w(x)求得的弯矩，其误差为多大？为什么不同于位移的误差？怎样减小弯矩的误差？能量原理在杆件位移分析中的应用第10章怎样减小近似解的误差如果假设位移函数误差0.2%请分析：由w卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)

载荷系统：F1、F2、...、Fi、...、Fn

加力点位移：1、

2

、...、

i、...、

n

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章卡氏第一定理(Castiglianofirsttheor卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虚功：应变能增量：应变能：000

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章

虚位移模式

1＝

2＝...

n＝0We＝V卡氏第一定理(Castiglianofirsttheor卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)外力虚功：应变能增量：应变能：

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章

任意虚位移模式We＝V卡氏第一定理(Castiglianofirsttheor卡氏第一定理(Castiglianofirsttheorem)系统的总应变能对于某个力作用点沿加力方向位移的一阶偏导数等于这个力。

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章卡氏第一定理(Castiglianofirsttheor例题已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，

AB杆和BC杆的拉压刚度均为EI。FP

、

l、EI

等均为已知。求：加力点B处的位移。

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章例题已知：图示结构中，A、B、C三处均为铰链，虚位移一般情形下，都是先由变形前的平衡位置求得杆的受力，再由受力计算变形或位移。现在必须考察变形以后的平衡位置才能求得杆的受力，然后求得位移。问题的性质

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章一般情形下，都是先由变形前的平衡位置问题的性质虚位移原理解决问题的思路先将系统的应变能V表示成位移

B函数:V

＝V(B)；再应用卡氏第一定理建立力FP与位移B的关系。

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章解决问题的思路先将系统的应变能V表示成位移再应用卡氏第一定1，建立位移B与变形l

之间的关系

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章1，建立位移B与虚位移原理在能量原理在杆件位移第101，建立位移B与变形l

之间的关系2,建立应变能表达式V

＝V(B)

虚位移原理在弹性杆件上的应用能量原理在杆件位移分析中的应用第10章3,应用卡氏第一定理建立力FP与位移B之间的关系1，建立位移B与变形l之间的关系2,建立应变能表虚力原理卡氏第二定理莫尔法图乘法能量原理在求解超静定问题上的应用结论与讨论第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)虚力原理能量原理在求解超静定结论与讨论第1原理表述

必要性的证明方法虚力模式的多样性虚力原理直接应用举例虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)虚力原理原理表述必要性的证明方法虚力模式的多样性虚对于变形协调的弹性体，自变形后的状态始，保持变形不变，令其上的力有一改变，这一改变，称为“虚力”（VirtualForce）,则外力虚余功等于内力虚余功:虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)对于变形协调的弹性体，自变形后的状态始，保持变形不变，令其上变形协调变形协调弹性体变形协调的充分和必要条件是：变形协调虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)变形协调变形协调弹性体变形协调的充分和必要条件是：变形协调虚虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)总体变形满足约束条件和连续条件（微段平面保持平面）；数学上：分部积分法；

必要性的证明方法虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中总体变形虚力可以是全部真实力的增量，也可以是某个或某几个真实力的增量。虚力可以是任意的，但必须满足平衡条件;虚力可以与真实力有关，也可以与真实力无关;虚力为作用在弹性体上的真实力的增量时，则虚力原理可改写为虚力原理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)虚力模式的多样性虚力可以是全部真实力的增量，也可以是某个或某几个真实力

对线性和非线性问题对于线性问题卡氏第二定理的应用卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理对线性和非线性问题对于线性问题卡氏第二定理的应用卡氏第二定理(CastiglianoSecondTheorem)1.对线性和非线性问题令外力虚余功为：余应变能为卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理(CastiglianoSecondTheo－恩格塞定理卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理－恩格塞定理卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理任意虚力模式卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中卡氏第二定卡氏第二定理卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理(CastiglianoSecondTheorem)2.对于线性问题：卡氏第二定理卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中杆件或杆件系统对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点处、沿着这个力方向的位移。卡氏第二定理第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理杆件或杆件系统对于某个力的一阶偏导数，等于这个力作用点处、沿

再看对偶第10章材料力学中的能量方法We＝Vε虚力原理虚位移原理再看对偶第10章材料力学中的能量方法We＝例题

1.自由端A处的挠度；

2.梁中点B处的挠度。AB解：1．求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，第10章材料力学中的能量法悬臂梁在自由端受有集中力FP,梁的长度为l、弯曲刚度为EI。若FP、l、EI等均已知，并且忽略剪力影响，试求：

应用举例例题1.自由端A处的挠度；AB解：1．求A点解：1．求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，ABxO可以看出，应用这一定理时，井不要求写出应变能的表达式，而只要写出弯矩方程即可。第10章材料力学中的能量法解：1．求A点的挠度：ABxO可以看出，应用这一定理时，井不解：1．求A点的挠度：因为A点有力FP作用，所以可以直接应用平面弯曲时的卡氏定理表达式，ABxO第11章材料力学中的能量法解：1．求A点的挠度：ABxO第11章材料力学中的能量法补充：从卡氏第二定理到单位载荷法、莫尔积分法和图形互乘法ABxO第11章材料力学中的能量法ABxO令：注：补充：从卡氏第二定理到单位载荷法、莫尔积分法和图形互乘法AB

解：

2．求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F

P

，

ABxO写出梁的弯矩方程：第11章材料力学中的能量法解：2．求中点B处的挠度：ABxO写出梁的弯矩方解：

2．求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F

P

，

ABxO第11章材料力学中的能量法解：2．求中点B处的挠度：ABxO第11章材料力学中的能解：

2．求中点B处的挠度：由于B处没有外力作用，所为不能直接应用卡氏定理。为了应用卡氏定理，必须在B处作用一假想力F

P

，

ABxO令第11章材料力学中的能量法解：2．求中点B处的挠度：ABxO令第11章材料力学中的卡氏第二定理在超静定问题上的应用

能量原理在求解超静定问题上的应用第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)卡氏第二定理在能量原理在求解第10章能量原理在杆

以未知力作为已知量，写作出结构的应变能表达式，例如：

能量原理在求解超静定问题上的应用第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)

卡氏第二定理在超静定问题上的应用以未知力作为已知量，写作出结构的应变能能量原理在求

根据多余约束处的约束条件，应用卡氏第二定理写出多余约束力必须满足的变形协调方程对于直杆：对于曲杆：(i=1,2,…,n)(i=1,2,…,n)

能量原理在求解超静定问题上的应用第10章能量原理在杆件位移分析中的应用(2)

卡氏第二定理在超静定问题上的应用根据多余约束处的约束条件，应用卡氏第二对于直杆：对于曲例题根据约束性质分析约束力

A、B二处均为铰链，各有两个约束力。确定超静定次数4－3＝1对称性分析

A、