晶系及其分类课件

第五章晶系及其分类1晶体的定向2晶系的分类3晶面指数和晶棱指数4晶带定律5晶面间距6倒易点阵第五章晶系及其分类1晶体的定向晶体的宏观对称操作都是点操作，当晶体具有一个以上对称元素时，这些宏观对称元素一定要通过一个公共点，将晶体中可能存在的各种宏观对称元素通过一个公共点按一切可能性组合起来，总共有32种型式，称为32种晶体学点群。晶体学点群与晶体的物理性质密切相关.从材料科学的角度看，最值得注意的是晶体学点群中有无对称中心，晶体的许多重要物理性质与对称中心不相容.从晶体的数量来看,大约80%的无机结构和60%的有机结构具有对称中心.从晶体学点群来看，32种点群中,含对称中心的点群有11种,而非中心对称点群有21种.非中心对称点群与对映体、旋光性、热电效应、铁电效应、压电效应、倍频效应等物理性质具有一定的联系。晶体定向晶体的宏观对称操作都是点操作，当晶体具有一个以上对称元素时，晶体的定向就是以晶体中心建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成,也可由X,Y,U,Z四轴组成(对三方晶系与六为原点方晶系).YZXU120º那么,怎么选出这些晶轴?bOaαβγ=bcβ=acγ=abc晶体定向坐标轴符合右手定则大拇指食指中指晶体的定向就是以晶体中心建立一个坐标系,由X,Y,Z三轴组成选晶轴的原则1）依赖于晶体内部的点阵特征，与晶体的对称特点相符合(既一般都以对称要素作晶轴，要么对称轴，要么对称面法线);2）在遵循上述原则的基础上尽量使晶轴夹角为90度.

每个晶系的对称特点不同,因此每个晶系的选择晶轴的具体方法也不同。下面分别对32点群进行讨论：晶体定向选晶轴的原则1）依赖于晶体内部的点阵特征，与晶体的对称特点相晶系的分类1.三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。原则上任何3条不平行的阵点列方向都可以选作晶轴。如点群1和特征对称元素：对称自身或对称中心晶胞参数：a≠b≠ca≠b≠c≠90°晶系的分类1.三斜晶系：对称性对6个参数的选择无任何约束。2.单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它们两者的组合点群2/m。选择二次轴或对称面的法线为一个晶体学轴（b轴），垂直与二次轴的任何两条互不平行的阵点列都可以选择为a，c轴，二者的夹角β最好是大于并接近与90º。晶系的分类特征对称元素：2重对称轴或对称面晶胞参数：a≠b≠cα=γ=90°≠β2.单斜晶系：只有一个二次轴2或一个对称面m的点群以及它们63.正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个以上对称面的点群。它们的2次轴或对称面都是互相垂直的，因此选择二次轴及对称面的法线作为3个晶轴，这样的坐标系必然是正交晶系。晶系的分类特征对称元素：一个以上的二次轴或一个以上对称面晶胞参数：a≠b≠cα=β=γ=90°3.正交晶系：不具有高次轴，但具有一个以上的二次轴或一个以74.四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先选择四次轴或四次反轴作为C轴，然后将垂直于四次轴的两个相互垂直的二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足四次轴的对称，a、b轴的单位轴长必须相等，即a0=b0晶系的分类特征对称元素：4重对称轴晶胞参数：a=b≠cα=β=γ=90°4.四方晶系：具有一个四次轴（包括四次反轴）的点群。首先选85.六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先选择六次轴或六次反轴作为C轴，然后将垂直于六次轴的两个二次轴或晶面法线作为a、b晶轴。为了满足六次轴的对称，a、b轴必须满足：①单位轴长必须相等，即a0=b0；②交角为120º晶系的分类特征对称元素：6重对称轴晶胞参数：a=b≠cα=β=90°,γ=120°5.六方晶系：具有一个六次轴（包括六次反轴）的点群。首先选96.三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方晶系，即H（Hexagonal）取向；②R（Rhombohedral）取向。即选取三次轴为对称的相交的3个主要晶面带轴为a、b、c轴，如图所示。三次轴对称对这种取向有如下要求：a0=b0=c0，α=β=γ≠90º晶系的分类特征对称元素：3重对称轴晶胞参数：a=b=cα=β=γ≠90°6.三方晶系：具有一个三次轴的点群。有2种取向方式：①六方107.立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与立方体中4个对角线重合，那么立方体中3个通过体心并相互垂直的三对面的法线将被选择为晶轴a、b、c。3个晶轴分别与3个二次轴或3个四次轴或3个四次反轴重合。这种对称性对要求：a0=b0=c0，α=β=γ=

90ºabc晶系的分类特征对称元素：4个按立方体对角线取向的3重旋转轴晶胞参数：a=b=cα=β=γ=90°7.立方晶系：具有四个三次轴的点群。将4个三次轴分别与立方11晶系的分级不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个晶系。7个晶系按照轴的高低分为三类：不具有高次轴（三斜、单斜、正交）称为低级晶系；具有一个高次轴（六方、三方、四方）称为中级晶系；具有一个以上高次轴（立方）称为高级晶系。晶系的分级不难看出，32个点群共有7个晶胞参数的选择，即7个12晶系的转化关系晶系的转化关系13晶棱指数晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指数相似，用3个互质的整数并以方括号[uvw]表示晶棱的方向。求法：1.确定坐标系2.过坐标原点，作直线与待求晶向平行；3.在该直线上任取一点，并确定该点的坐标（xyz），若某一坐标值为负，则在其上加一负号。4.将此值化成最小整数uvw并加以方括号[uvw]即是。（代表一组互相平行，方向一致的晶向）晶棱指数晶棱指数：表示晶棱在已经确定的晶轴中的方向。与晶面指14晶面指数晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与3个晶体学轴的取向关系，我们给每一个晶面以3个整数并加以括号（hkl）来表示。其中hkl为互质的整数，被称为晶面指数（也称为米勒（Miller）指数）。求法：在所求晶面外取晶胞的某一顶点为原点o，三棱边为三坐标轴x，y，z以棱边长为单位，量出待定晶面在三个坐标轴上的截距。若某一截距为负，则在其上加一负号。取截距之倒数，并化为最小整数h，k，l并加以圆括号（hkl）即是。OA/a=3，OB/b=2，OC/c=1倒易截数之比：1/3：1/2：1/1=2：3：6代表一组互相平行的晶面；指数相同符号相反晶面互相平行晶面指数晶面指数：为了表示晶体中每个实际的或者可能的晶面与315六方体系的晶面指数如果取a、b、和c为晶轴，按上述三轴定向的方法确定面指数，六个柱面的面指数为：(100),(010),

(-110),

(-100),(0-10),(1-10).但是，这种方法所确定的晶面指数不能显示出六次对称及等同面的特征。因此，对六方晶系往往采用四轴定向方法，称为密勒-布拉菲指数。六方体系的晶面指数如果取a、b、和c为晶轴，按上述三轴定向的16六方体系的晶面指数选取四个坐标轴，其中a1、a2、a3在同一水平面上，之间的夹角为120°，c轴与这个平面垂直。这样求出的晶面指数由四个数字组成，用（hkil）表示。其中前三个数字存在如下关系：h+k=-i用四轴定向方法求出的六个柱面的晶面指数为：(10-10),(01-10),(-1100),(-1010),

(0-110),(1-100)。这样的晶面指数可以明显地显示出六方对称及等同晶面的特征。六方体系的晶面指数选取四个坐标轴，其中a1、a2、a3在同一17六方体系的晶向指数六方晶系中如果用三轴定向表示晶向指数用[UVW]，四轴定向的晶向指数用[uvtw]来表示。三轴和四轴晶向指数之间的关系：六方体系的晶向指数六方晶系中如果用三轴定向表示晶向指数用[U18请确定各晶面指数请确定各晶面指数晶面族晶面族：在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的对称变化重复出现的等同晶面，它们的面间距与晶面上结点分布完全相同。这些空间位向性质完全相同的晶面的集合，称为晶面族。表示方法：用{hkl}表示。思考：为什么要强调晶面族的概念？与衍射分析有什么关系？晶体衍射结果最直接的信息是面间距。同一个面间距值可能对应不同的晶面，这些具有相等面间距的晶面之间有可能通过选择、平移等对称性操作重复，这些晶面属于同一晶面族。晶面族晶面族：在同一晶体点阵中，有若干组晶面是可以通过一定的晶面族例如：立方晶系中{100}晶面族包括六个晶面（100）、（010）、（001）、（-100）、（0-10）、（00-1）注意，在其他晶系中，通过数字位置互换而得到的晶面不一定属于同一晶面族例如，正方晶系中a=b≠c，因此，{100}晶面族分为两组，一个包含（100）（010）（-100）（0-10）晶面；另一个包含（001）（00-1）两个晶面。晶面族晶面族例如：晶面族晶带定律晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成一个“晶带”，此直线称为晶带轴，所有的这些晶面都称为晶带面。

晶带轴[uvw]与该晶带的晶面（hkl）之间存在以下关系

hu＋kv＋lw＝0———晶带定律凡满足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带晶带定律晶带：所有相交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面构成晶带定律晶带定律的应用：

①由晶面（h1k1l1）和（h2k2l2）求晶带符号

根据晶带定律建立方程组：

h1u＋k1v＋l1w=0

h2u＋k2v＋l2w=0

解出：解法：①将每一个晶面的面指数在一列上连续写2次，其指数按次序一一对应；②将最右及最左的纵行删去，如右式；③用交叉相乘方法，并依次取出乘积差数即可。晶带定律晶带定律的应用：

①由晶面（h1k1l1）和（h②由晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]求晶面符号建立方程组：hu1＋kv1＋lw1=0

hu2＋kv2＋lw2=0得：晶带定律②由晶向[u1v1w1]和[u2v2w2]求晶面符号24晶面间距晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示从原点作（hkl）晶面的法线，则法线被最近的（hkl）面所交截的距离即是晶面间距。欧拉定理：对于相互垂直的3个坐标轴，有晶面间距晶面间距:两相邻平行晶面间的垂直距离，用dhkl表示一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、c有下列关系：正交晶系

四方晶系六方晶系立方晶系上述公式仅适用于简单晶胞，对于复杂晶胞，要考虑附加原子面的影响。晶面间距好像晶体的指纹，是进行物相鉴别的重要依据。晶面间距一组平行晶面的晶面间距dhkl与晶面指数和晶格常数a、b、晶面间距晶面指标越高,面间距越小,晶面上粒子的密度（或阵点的密度）也越小.只有（hkl）小,d

hkl

大,即阵点密度大的晶面（粒子间距离近,作用能大,稳定）才能被保留下来.晶面间距晶面指标越高,面间距越小,晶面上粒子的密度（倒易点阵为什么要引入倒易点阵概念？能简化（1）晶面与晶面指数表达；（2）衍射原理的表达；（3）与实验测量结果直接关联，尤其是电子衍射部分。晶体X射线衍射中核心是对晶体中各个晶面的研究，如果能把晶面作为一个点来研究，何乐不为？倒易点阵为什么要引入倒易点阵概念？倒易点阵倒易点阵的概念、表达形式倒易点阵是在晶体点阵的基础上按一定对应关系建立起来的空间几何图形，是晶体点阵的另一种表达形式。为了区别有时把晶体点阵空间称为正空间。倒易空间中的结点称为倒易点。倒易点阵倒易点阵的概念、表达形式倒易点阵1、倒易点阵的定义（倒易点阵与正点阵的转换关系）倒易点阵参数：a*、b*、c*；α*、β*、γ*定义：其中，a、b、c；α、β、γ为正点阵参数矢量表示倒易点阵1、倒易点阵的定义（倒易点阵与正点阵的转换关系）其中因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a*垂直于b与c两个矢量构成的平面。同样b*（或c*）垂直于a与c（a与b）两个矢量构成的平面。如果*=*=*=90o，或者，a*垂直（100）晶面；b*垂直（010）晶面；c*垂直（001）晶面。（1）（2）倒易点阵参数的方向与大小因此，倒易点阵的基本矢量垂直于正点阵中异名矢量构成的平面。a31

倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，反之晶体点阵就是倒易点阵的傅立叶逆变换。

所以，倒易点阵只是晶体点阵在不同空间(波矢空间)的反映。倒易点阵的本质倒易矢量

定义：从倒易点阵原点向任一倒易阵点所连接的矢量叫倒易矢量，表示为：

r*=ha*+kb*+lc*倒易阵点用它所代表的晶面指数标定。倒易点阵是晶体结构周期性在傅立叶空间中的数学抽象。如倒易点阵正点阵立方正空间点阵的倒易变换(210)(100)(110)(010)cba(220)200100000210110010220120020C*b*a*H220倒易点阵正点阵立方正空间点阵的倒易变换(210)(100)(倒易矢量的两个基本性质（1）倒易矢量的方向垂直于正点阵中的（hkl）晶面。（2）倒易矢量的长度等于（hkl）晶面的晶面间距dhkl的倒数。如果正点阵与倒易点阵具有同一坐标原点，则正点阵中的一个晶面在倒易点阵中就变成了一个阵点（倒易点）。正点阵中晶面取向和面间