江苏省苏州市横塘中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析

江苏省苏州市横塘中学2022-2023学年高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设分别是与向的单位向量，则下列结论中正确的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C解析：因为是单位向量，2.函数的零点个数为（▲

）A．0 B．1C．2D．3参考答案：D3.已知△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠C=90°，则的取值（）A．（0，2） B． C． D．参考答案：C【考点】正弦定理．【分析】由∠C=90°，可得a=csinA，b=ccosA，代入可得=，由于A∈．可得∈．即可得出．【解答】解：∵∠C=90°，∴a=csinA，b=ccosA，A∈．∴∈，∴∈．则=sinA+cosA=∈．故选：C．4.已知直线a、b和平面α，下列推论中错误的是（）A．?a⊥bB．?b⊥αC．?a∥α或a?αD．?a∥b参考答案：D5.若函数是定义在Ｒ上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是A．B．C．D(-∞,-2)∪参考答案：D略6.如图，△A'B'C'是△ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O'B'=O'C'=1，O'A'=，那么△ABC是一个（）A．等边三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．三边互不相等的三角形参考答案：A【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据“斜二测画法”的画图法则，结合已知，可得△ABC中，BO=CO=1，AO=，结合勾股定理，求出△ABC的三边长，可得△ABC的形状．【解答】解：由已知中△ABC的直观图中O'B'=O'C'=1，O'A'=，∴△ABC中，BO=CO=1，AO=，由勾股定理得：AB=AC=2，又由BC=2，故△ABC为等边三角形，故选：A．7.

参考答案：C8.设函数，对于给定的正数K，定义函数，若对于函数定义域内的任意，恒有，则(

)A．K的最小值为1

B．K的最大值为1C．K的最小值为D．K的最大值为参考答案：C略9.若a，b，c∈R，且，则下列不等式一定成立的是（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.【详解】A.与的大小不确定，所以该选项错误；B.,所以该选项错误；C.,所以该选项错误；D.,所以该选项正确.故选：D【点睛】本题主要考查实数大小的比较，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.10.函数f（x）=3x||﹣2的图象与x轴交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B【考点】函数的图象．【分析】本题即求方程=|logx|的解的个数，即函数y=的图象与函数y=|logx|的图象交点的个数，数形结合可得结论．【解答】解：函数f（x）=3x|logx|﹣2的图象与x轴交点的个数，即方程=|logx|的解的个数，即函数y=的图象与函数y=|logx|的图象交点的个数，数形结合可得函数y=的图象与函数y=|logx|的图象交点的个数为2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，B=，则A=

▲

．参考答案：； 12.若函数f（x）=ex﹣k在区间（0，1）内存在零点，则参数k的取值范围是

．参考答案：（1，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意可得方程ex=k在区间（0，1）内有解，由y=ex在区间（0，1）内递增，即可得到所求k的范围．【解答】解：函数f（x）=ex﹣k在区间（0，1）内存在零点，即方程ex=k在区间（0，1）内有解，由y=ex在区间（0，1）内递增，可得1＜ex＜e，即有1＜k＜e．故答案为：（1，e）．【点评】本题考查函数的零点的问题，注意运用转化思想，运用指数函数的单调性，属于基础题．13.已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是．参考答案：（﹣1，0）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），如图示：，令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，y=k和f（x）有3个交点，即方程f（x）=k有三个不同的实根，故答案为：（﹣1，0）．14.已知lgx+lg（x﹣3）=1，则x=

．参考答案：5【考点】对数的运算性质．【分析】先进行对数运算都化成同底数的对数，再根据同底数的对数相等只要真数相等即可．【解答】解：∵lgx+lg（x﹣3）=lg[x（x﹣3）]=lg（x2﹣3x）=1=lg10∴x2﹣3x=10∴x=﹣2或5∵x＞0∴x=5故答案为：5．15.函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．参考答案：16.已知

（＞0，）是R上的增函数，那么实数的取值范围是

．参考答案：17.用M[A]表示非空集合A中的元素个数，记|A﹣B|=，若A={1，2，3}，B={x||x2﹣2x﹣3|=a}，且|A﹣B|=1，则实数a的取值范围为．参考答案：0≤a＜4或a＞4【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】根据已知条件容易判断出a=0符合，a＞0时，由集合B得到两个方程，x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0．容易判断出B有2个或4个元素，所以判别式△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0，这样即可求出a的范围．【解答】解：（1）若a=0，得到x2﹣2x﹣3=0，∴集合B有2个元素，则|A﹣B|=1，符合条件|A﹣B|=1；（2）a＞0时，得到x2﹣2x﹣3=±a，即x2﹣2x﹣3﹣a=0或x2﹣2x﹣3+a=0；对于方程x2﹣2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，即该方程有两个不同实数根；又|A﹣B|=1，B有2个或4个元素；∴△=4﹣4（a﹣3）＜0或△=4﹣4（a﹣3）＞0；∴a＜4或a＞4．综上所述0≤a＜4或a＞4．故答案为：0≤a＜4或a＞4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）在无穷数列{}中，，对于任意，都有，。设，记使得成立的的最大值为。（Ⅰ）设数列{}为1，3，5，7，…，写出的值；（Ⅱ）若{}为等比数列，且，求…的值；（Ⅲ）若{}为等差数列，求出所有可能的数列{}。参考答案：（Ⅰ）解：，，。 【3分】（Ⅱ）解：因为{}为等比数列，，，所以， 【4分】因为使得成立的的最大值为，所以，，，，，， 【6分】所以。 【8分】（Ⅲ）解：由题意，得，结合条件，得。 【9分】又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，。 【10分】设，则。假设，即，则当时，；当时，。所以，。因为{}为等差数列，所以公差，所以，其中。这与矛盾，所以。 【11分】又因为，所以，由{}为等差数列，得，其中。 【12分】因为使得成立的的最大值为，所以，由，得。 【13分】19.（本题满分14分）一个几何体的直观图及三视图如图所示，M,N分别是AF,BC的中点.（1）写出这个几何体的名称；（2）求多面体的体积.

参考答案：解：（1）这个几何体是底面是直角三角形的直三棱柱（写成直三棱柱也给分）…2分（2）由三视图可知，…………..3分……………….4分取的中点连，由、分别为、的中点可得………

…..6分，而，……8分（3）取的中点，在直三棱柱中………………….10分多面体是以为高，以矩形为底面的棱锥….11分在中，…………….12分棱锥的体积…14分略20.已知函数，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，求。参考答案：解：（Ⅰ）;（Ⅱ）

因为,,所以,所以,所以.略21.如图，△ABC中，O是BC的中点，AB=AC，AO=2OC=2．将△BAO沿AO折起，使B点与图中B'点重合．（Ⅰ）求证：AO⊥平面B′OC；（Ⅱ）当三棱锥B'﹣AOC的体积取最大时，求二面角A﹣B′C﹣O的余弦值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问在线段B′A上是否存在一点P，使CP与平面B′OA所成的角的正弦值为？证明你的结论．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）证明AO⊥OB'，AO⊥OC，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AO⊥平面B'OC．（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，判断当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，说明∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角，然后就三角形即可得到结果．解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，求出平面B'OC的法向量为，求出平面AB'C的法向量为，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值．（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点，证明设，求出，以及平面B'OA的法向量，利用空间向量的距离公式求解即可．解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，得到∠OPC为CP与面B'OA所成的角，通过就三角形即可求出即P为AB'的中点．【解答】解：（Ⅰ）∵AB=AC且O是BC中点，∴AO⊥BC即AO⊥OB'，AO⊥OC，又∵OB'∩OC=O，∴AO⊥平面B'OC…（Ⅱ）在平面B'OC内，作B'D⊥OC于点D，则由（Ⅰ）可知B'D⊥OA又OC∩OA=O，∴B'D⊥平面OAC，即B'D是三棱锥B'﹣AOC的高，又B'D≤B'O，所以当D与O重合时，三棱锥B'﹣AOC的体积最大，…解法一：过O点作OH⊥B'C于点H，连AH，由（Ⅰ）知AO⊥平面B'OC，又B'C?平面B'OC，∴B'C⊥AO∵AO∩OH=O，∴B'C⊥平面AOH，∴B'C⊥AH，∴∠AHO即为二面角A﹣B'C﹣O的平面角．…，∴，∴，故二面角A﹣B1C﹣O的余弦值为…解法二：依题意得OA、OC、OB'两两垂直，分别以射线OA、OC、OB'为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系O﹣xyz，设平面B'OC的法向量为，可得设平面AB'C的法向量为，由…，故二面角A﹣B′C﹣O的余弦值为：．…（Ⅲ）解法一：存在，且为线段AB'的中点证明如下：设…又平面B'OA的法向量，依题意得…解得舍去）…解法二：连接OP，因为CO⊥平面B'OA，所以∠OPC为CP与面B'OA所成的角，…故，，∴…又直角OB'A中，OA=2，OB'=1，∴即P为AB'的中点…22.（10分）在每年的春节后，某市政府都会发动公务员参与到植树绿化活动中去.林业管理部门在植树前，为了保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测.现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗，量出它们的高度如下（单位：厘米）,甲：37，21，31,20,29,19,32,23,25,33；乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46.（1）画出两组数据的茎叶图，并根据茎叶图对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出两个统计结论；