计算物理总复习

ff烘理昭敷第提供理依建论述题：1、试简要论述多尺度计算物理（此处我理解为以下四种计算方法）的基本框架。分子动力学方法：首先建立一组分子的运动方程，通过直接对系统中的一个分子的运动方程进行数值求解，得到各个时刻分子的坐标和动量，即相空间中的轨迹，然后利用统计力学的计算方法得到多体系统的静态或动态性质，从而得到系统的宏观物理性质。第一性原理方法：广义上是指一切基于量子力学原理的计算方法。分子是由原子组成的，原子是由原子核和电子组成的。量子力学计算根据原子核和电子的相互作用计算出分子（或离子）结构和能量，然后在此基础上计算物质的各种性质。蒙特卡罗方法：以概率论和数理统计为基础，使用随机数或更常见的伪随机数来解决数学问题。该方法将所求解的问题与一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，经过相关运算而获得问题的近似解。格林函数方法：先列出符合问题的数学物理方程，数学物理方程表示的是特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系，将“源”分解成很多点源的叠加，设法计算点源产生的场，然后利用叠加原理，求出同样边界条件下任意源的场。2、试论述各个尺度计算方法的特点和局限性。（1） 分子动力学方法的特点及局限性：一个体系在一段时间内的运动情况可以通过其微观数学方程组给出，微观体系中每个分子各自服从经典的牛顿力学方程，而每个分子运动的内禀动力学是利用理论力学是的哈密顿量或者拉格朗日量来描述，或者用牛顿运动方程来表示。分子动力学方法中不存在随机因素是实现玻尔兹曼统计力学的基础。它可以用来处理与时间有关的过程，因而可以用来处理非平衡态问题。（局限性：）该方法的缺点是程序复杂，计算量大，占内存。（2） 第一性原理方法特点及局限性：不同于其他依赖于经验参数的计算方法，第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学，电学，磁学等方面的性质。（局限性:）第一性原理是某些硬性规定或推演得出的结论，其运算过程中不将经验参数考虑进去。这种算法速度很慢，如果加入一些经验参数，可以大大加快计算速度，但不可避免地降低了计算精度。（3） 蒙特卡罗方法的特点和局限性：当所求解的问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将它们作为问题的解。它能够较好地解决多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度数学计算问题。其局限性体现在使用蒙特卡罗方法需要做大量的实验，实验次数越多，得到的结果越精确。（4） 格林函数方法的特征和局限性：格林函数多指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。局限性体现在要设法知道点源产生的场，需要进行大量计算求解数学物理方程。3、试说明各种尺度计算方法的适用范围及它们之间的连接。第一性原理方法可以通过直接求解材料的最基本的量子力学方程，预测材料的结构及光学、电学、磁学等方面的性质。但由于计算量非常大，在较大尺寸团簇的结构优化中其应用受到限制。蒙特卡罗方法和分子动力学方法被广泛地用来研究团簇的热力学性质和基态性质，但在优化基态结构方面存在缺陷，即容易陷入局部最优的亚稳态，无法获得全局最优解。思考题：1、 以第一性原理方法和分子动力学为例，说明体系大小与计算量的关系。2、 搭建机群系统的过程如何蒙特卡洛方法——基本概念蒙特卡洛方法一主要问题简要回答下列问题：1、采用线性同余法（参见公式（2.2.3））产生伪随机数。取a=5,c=1,m=16和％=1.记录下产生出的前20数，它产生数列的周期是多少？Lehmer线性同余法时■于住——初始伪也机靠序列两下两谨■棒分武磷4工商I=（中^+u）m jxa 宥于，既空它的值就将珂基本序列的木同区段唾机尝-.模粪乘子,模粪2、证明2、证明Breit-Wigner分布r可以通过x.=x0-r兀(x-x)2+r2cot可以通过x.=x0-r河西分布也叫作何两-洛伦班分布,它星以奥古斯丁-路嬲-柯西与亨迪里克-涪惟莹名字命名的连喉瓣率分布.其慨率密废函数S)1六*如P= r 75=r皿1+(宁)7T|_(志一尸+守其中％毋定丈分布侦1E位置的但M命裁.r是最大埴一半处的一辛宽度的尺J®作为程卒命制通*驯作柯西分布指理孚零也粹之称为拈伦裁分布新者UGt-"皿B会韦，在捌理孕中的重5?性值大一都令屿困于它是誓述受追共源的做分方程的孵a在光诸学中.它描迷了徒共振或者其它相割加宽的遗线机匕在下面的部分3年使用抑或狞新这个统计学芾语.与=口且V=，的持例称为标谁村西分布-其ftt率备度国敷为f*CLI'=〜一'一"其祟砒心而函裁为：TOC\o"1-5"\h\z、i /j:—r<|\ 1Fixr^y,7)=—Brer.iin I■■7T \ - ｝上.呵四分佰的渺景枳分桁芍蚊为pT(p;,TO.7)=TO+7m】】(?r(p-1/2)).村四分佰的平均节，方羌戏者炬部没有市乩官的赤数与中信有定义都等于"职3表示柯西州有随代王星，阿西分布的将性笆孰去木为：旗廿；td,刁=F.(rJ'>)=cxp(z^ot—丁|十|)一如果u4T是期望值为u,方差芙一的西个煎文正志分布施忧变星拘活，那^LLE叫可西分布\哧淮阿四分俗孚学'3-分布&山度为i的恃殊情Z礼河四分布是君定分布：如果K〜Stn.bln(1.0,"时则X〜Co.n<hy(^.,7)^叫果丕，■■■,&是分别苻舍阿西分布的相互独立同分布陛机买星那■■垒算床千监勤M-，••+一菖-M声业矩J•用甘力仇力一证嘛/一点，曳们天计算采样二)招J-劳IT函独：枝3)=E(尸x)其中：又是采样二母百.这十例子表叫不能会奔中心祝晅走浊中的有晅夷:虽霞虽，治巨兹沈生打布吏-舌笥「.那仲出校一扁-竟;的Ifit!线冏为航性一勺叩也遭片较斗较泠的由也当想.如果是土孩居中的专:兄•沔苫都可以一很罗情况=,只月的是两舀§■廿一定比啊㈣瓯法、如潜伯茨占60%!.I切I且T占40%.

3、归一化黑体辐射频谱为f(x)dx= —(———)dx(其中x= )兀4ex-1 kT证明如下抽样步骤得到的抽样分布满足上面的分布，求出它的抽样效率。抽样步骤：让L等于满足下面不等式的整数 l的最小值，况—Z&兀4『90，=1^4 1然后置x=——ln(&2&3&4&5)，其中&i为［0，1］区间均匀分布的伪随机数。2.蒙特卡洛方法2.蒙特卡洛方法分析讨论论述题:1、编写一个程序，采用随机游走的方法产生按高斯分布x2/Gb2)］ G1、编写一个程序，采用随机游走的方法产生按高斯分布x2/Gb2)］ G2=1)到达平衡分布的的随机点。抽样中常数A的值需要知道吗？试决定接受点与试探步数之比，到达平衡分布的时间与最大试探步长 S的关系。(提示：判断“平衡”的标准是合理？尹!以按如号B骤进仃蒙特仁治模扭.：■J)1芒咔币1川仙;个亦一侦:•状金勺..rh尔科.夫诞#穴去对初始志的心•已，IX血打溪大片度：.起始彼於粘确地是”幺井不垂哽.〃是.如采功西状太洗至；，1，3信.*无的耶--部分相空笠中时.趋于平衡分布的收散速庞删大大中惟•-般选择初绘状母处在分布几率％度琦大的区域.2)网'果L.於湖站TF*占步,以在建游以MJ-f.，I步■■产:上••『W咛状金或您形孔，，使%一+7?,［H一R.；为•生PJ罹［L成］化均匀:?傩为址HL数九i到障-方K：选尹也：要使身IX得合适『迎得太大或太小,都将和滩收敛到平衡介布■迎取&长度的标准/耍便1/3到1/2的试;探我态被秩登,5汁剪壮渡几家火,.，工.品..,*生NS1J区间的均匀分布随机数F.(%灯-果那女接受这一步沛忘，戒七"=-E一(3如.呆”跳皿」巳者状志当作新航蜀即取J・并主的叫列箪⑵M重复上面的过程，土扫1就可以完成一系忱的蒙特卡洛模拟

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N其中A为物理观测量， N为蒙特卡洛投点个数。N量减小被枳函数在.枳分域上的方差.川以减小.枳•分估计■值的方差，加速收敛’推而广之来说，就是要减少模拟量在模拟范围内的方差,根据这样的原则，当被积函数E对在积分域内的方差较大U 可以采用各种抽样技巧如采用重要抽样法，将的方差吸收到忘（此中去,这样模拟易:■」承函数■)<［-<)=.几IK?.：心仁定戏.：、■TJ'」.•TJL项I戋iljr：£.!公」M：；：1牛宕『=打〔"或焉亦用=£/3家5若选取厂为服从分布密度函数的函数的抽，羊值，这里称为偏倚分r密度函数□我们得到r-以丫｝因此它的平均值I■ 1L=-S^=-S/*<Xr>"EHJ=1给出TI的-个无偏估计值'这时的方差为:叫招=£［广=匚 莒版皿■套^-F.在一庆际可尊中,方左通过下式:溥到］.|尊结.果：式中角型括号。表示对括号内所有可能的［S1］区间/按g)分布的随机.坐标数序列〔苟｝对应的数值求平均。方程右也第一璃对｛/气用))求平均仃卜第二现表示求(y*u))平均值的平方尸七上式可以鲤推寻得到，由此我们看出其误差平方与舟在isn区间的方差成正比'井且』这与中心极限定理所得到的结.果•致，分子动力学方法——基本概念分子动力学方法一主要问题1、请写出实现周期性边界条件的具体操作。在模拟较大的体系时，为了消除表面效应或边界效应，常采用周期边界条件。就是让原胞上下、左右、前后对边上的粒子间有相互作用。做一个假定，让一个小体积的原胞镶嵌在一个无穷大的大物质之中。数学表达形式为：A3)=A3+nL),n=(n,n,n)其中A为任意观测量，n,n,n为任意整数，这个1 2 3 1 2 3边界条件就是命令基本MD原胞完全等同的重复无穷多次。具体在实现该边界条件时是这样操作的：当有一个梨子穿过基本MD原胞的六方体表面时，就让这个梨子也以相同的速度穿过此表面对面的表面，重新进入该MD原胞内。2、 在考虑粒子间的相互作用时，通常采用的最小像力约定是什么最小像力约定是在由无穷重复的分子动力学基本原胞中，每个粒子只同它所在的基本原胞内的另外N-1个（设该原胞内有N个粒子）中的每个粒子或其最邻近的影像粒子发生相互作用。3、 采用最小像力约定会使得在截断处粒子的受力有一个8-函数的奇异性，这会给模拟计算带来误差。怎样减少这种误差为了减小这种误差，总可以将截断处粒子的相互作用势能换算成队,）匕，以保证在截断处相互作用为零。4、 EAM模型是一种半经验多体势模型，其中心思想是什么其中心思想是将原子周围复杂的环境用胶冻模型简化描述（所谓胶冻指的是在均匀正电荷背景上的均匀电子气）。在嵌入原子势方法中，主要的参数都放在原子的电子密度表示及相关形式中，这样就把“原子对间”的性质主要归结到“原子”的性质，大大的简化了计算。5、 请写出分子动力学模拟的实际步骤。分子动力学模拟一般由下面几个部分组成：1）设定模拟采用的模型，给定粒子初始位置以及速度；2）选取能够很好模拟体系中粒子相互作用的势函数，求解每个粒子所受的力；3）求解牛顿运动方程，解出粒子当前和下一时刻的位置以及速度；4）记录中间很重要的瞬时物理量，然后重复步骤2—4使得系统平衡；5）通过步骤4中的瞬时物理量计算系统中每个粒子的动能、势能等物理量。然后通过平均得到我们所需的物理量。例如温度、热流等。分子动力学方法一分析讨论1、什么是幻数团簇通常把仅含有几个到几百个原子或尺寸小于1nm的粒子称作”簇”，它是介于单个原子与固态之间的原子集合体。原子或分子团簇（简称团簇或微团簇）是由几个乃至上千个原子、分子或离子通过物理或化学结合力组成的相对稳定的微观或亚微观聚集体，其物理和化学性质随所含的原子数目而变化。2、 如何判断一个体系通过模拟之后达到了一种平衡态的稳定结构为使得系统平衡，模拟中设计一个趋衡过程，即在这个过程中，我们增加或者从系统中移出能量，直到持续给出确定的能量值。我们称这时的系统已经达到平衡。第一性原理方法一主要问题3、 密度泛函理论的基本思想及基本定理。基本思想是：原子分子和固体的基态物理性质可以用粒子密度函数来描述基本定理：1：不计自旋的全同费米子系统的基态能量是粒子数密度函数P（‘）的唯一泛函。2：能量泛函％^］在粒子数不变的条件下对正确的粒子数密度函数P（'）取极小值，并等于基态能量。4、 简述电子的共有化运动。原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻的原子上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运动称为电子的共有化运动。共有化电子虽然属于整个晶体所有，但是也还是要受到晶体原子的一定程度的束缚；由于晶体原子的排列具有周期性，所以这种对共有化电子的束缚作用一一晶体势场也具有周期性，即晶体周期性势场。而在晶体中，杂质原子上的束缚电子,受到其原子核的束缚较强（其它晶体原子的作用很微弱），并且是中心力场的形式（例如施主上的价电子即可看成为类氢原子的电子）。5、 简述Kohn-Sham方程的特点Kohn-Sham方程的核心是用无相互作用粒子模型代替有相互作用的粒子系统，而将相互作用的全部复杂性归入交换关联势Vk-s［P］泛函。它和Hartree-Fock近似公式的差别是Vk-s［P］中含有一项未知的交换关联势匕」P］泛函。第一性原理方法一分析讨论论述题：1、 试论述第一性原理求解电子结构的优缺点。具有较高的精确度，在系统基态能量、平衡态几何结构、想变、声子模以及各类热力学性质方面都能很好的解决。不能很好的描述和研究电子的激发态性质和含时外场问题等问题。计算量较大。2、 试论述第一性原理的发展近况。第一性原理在材料设计方面将发挥越来越大的作用，如今第一性原理在中国还是主要应用在理论研究上，将来随着计算机技术的不断发展，特别是量子计算机要是能研制成功的话，第一性原理必将进军工业界。达到理论与实践相结合的地步，但是现在第一性原理还只是停留在对基态的处理上，很少有处理激发态，虽然有含时密度泛函，但是技术还是不够成熟，如今大量的人还是偏好于对密度泛函的应用上，很少有人去对他的理论框架做进一步完善。3、 论述如何用Kohn-Sham方程求解多电子体系的基态密度函数。首先给定初始电子密度分布P0(r)，求解泊松方程，得到势函数。在Muffin-Tin球内区，取势函数的球对称部分，求解径向薛定谔方程，将其解作为球内基函数；在Muffin-Tin球间隙区，由于势函数变化较为平缓，可以用平面波作为Muffin-Tin球间隙区的基函数，同时保证相应的基函数在Muffin-Tin球面上连续可微；利用Rayleigh-Ritz变分原理求解Kohn-Sham方程，求出电子波函数，得到新的电子密度分布Pi(r)。对以上各个过程进行迭代，可求得问题的自恰解。4、 简述几种常用的交换关联函数LDA、GGA5、 采用平面波展开波函数遇到的困难。在靠近原子核附近，波函数极不平缓，不能用平面波展开，所以不能描述原子核附近的波函数行为。需要大量的平面波思考题：1、 线性缀加平面波方法（LAPW）与赝势平面波方法（PPW）的异同。、为什么要引入赝势5.其它计算方法——基本概念其它计算方法一分析讨论论述题1、 简述求解格林函数的具体步骤及方法，简要说明全格林函数和递归格林函数。G二1第一步：写出电极的单列格林函数， E-H第二步：利用迭代、递归等方法计算出电极或热极的表面格林函数第三步：写出电极或热极与中心散射区的耦合项和自能第四步：利用递归或者全格林函数方法求得整个体系的总的格林函数第五步：根据Caroli公式计算体系的传输系数。全格林函数是将中心散射区看成一个整体，直接写出体系的总的格林函数；而递归格林函数是将中心散射区看成是由许多子列构成，利用递归迭代技术求出整个体系的格林函数。2、 与散射矩阵，模匹配等计算方法相比，格林函数有哪些不同以及它的优越性它与其他的一些数值方法如有限元法、转移矩阵法、散射矩阵法、模式匹配法等相比较，格点格林函数方法能够很方便的处理磁场和无序（掺杂）等问题。在系统的某个区域加入磁场时，只需要考虑一个Peierls相位因子。散射矩阵，模匹配等方法在计算时首先必须要写出体系的波函数，然后根据波函数的连续性和边界条件进行计算，比如计算粒子的传输几率。然而对于一些复杂的体系，有时我们无法获得其波函数，因此用散射矩阵，模匹配等方法来计算就显得不是很方便。然而格林函数方法则避免了散射矩阵，模匹配这些方法的不足，他在计算中并不需要体系的波函数，而是直接从哈密顿量出发，写出单列的格林函数，再通过递归、迭代等方法获得总的格林函数，最终计算出体系的透射系数，也就是粒子的传输几率。3、 论述模拟退火算法的步骤。模拟退火算法的求解过程如下：随机产生初始解X0；初始化退火温度T0；在温度TK下执行如下操作：■产生新的可行解x',x'为x的邻解；■计算评价函数f(x')和f(x)的差值△仁f(x')-f(x);•以min{1,exp(-△f/Tk)}>random[0,1]的概率接收新解，其中random[0,1]是[0,1]之间的随机数。若达到温度Tk的平衡状态转(4)，否则转(3)；按一定方式降低温度，可定义下降函数为Tk+1=aTk,k+1T，其中ae[0,1]；若满足收敛判据，退火过程结束；否则转(3)。通过以上分析可知，在模拟退火过程中，其退火温度控制着求解过程向最小值的优化方向进行，同时它又以概率exp(-△f/Tk)接收劣质解，因此算法可以跳出局部极值点。只要初始温度足够高，退火过程足够慢，算法能够收敛到全局最优解。模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。第二步是计算与新解所对应的目标函数差。因为目标函数差仅由变换部分产生，所以目标函数差的计算最好按增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标函数差的最快方法。第三步是判断新解是否被接受,判断的依据是一个接受准则，最常用的接受准则是Metropolis准则：若^t'<0则接受S'作为新的当前解S,否则以概率exp(-△t^/T)接受S'作为新的当前解S。第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。模拟退火算法与初始值无关，算法求得的解与初始解状态S(是算法迭代的起点)无关；模拟退火算法具有渐近收敛性，已在理论上被证明是一种以概率l收敛于全局最优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性。4、 论述禁忌搜索算法的基本思想。考虑最优化问题I"：..门上，对于X中每一个解x，定义一个邻域N(x)，禁忌搜索算法首先确定一个初始可行解x，初始可行解x可以从一个启发式算法获得或者在可行解集合X中任意选择，确定完初始可行解后，定义可行解x的邻域移动集s(x)，然后从邻域移动中挑选一个能改进当前解x的移动、’F"：，s(x)，再从新解x’开始，重复搜索。如果邻域移动中只接受比当前解x好的解，搜索就可能陷入循环的危险。为避免陷入循环和局部最优，构造一个短期循环记忆表——禁忌表(TabuList)，禁忌表中存放刚刚进行过的I1(11称为禁忌表长度)个邻域移动，这些移动称作为禁忌移动(TabuMove)。对于当前的移动，在以后的T次循环内是禁止的，以避免回到原先的解，/次以后释放该移动。禁忌表是一个循环表，搜索过程中被循环的修改，使禁忌表始终保存着1个移动。即使引