一次函数复习专题

一次函数复习专题【基础知识回顾】一、一次函数的定义:一般的：如果y=kx+b，那么y叫做x的一次函数。特别的：当b=0时，一次函数就变为y=kx(k≠0)，这时y叫做x的正比例函数。反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数。二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b的同象是经过点（0，b）和（-1，k+b）的一条直线，正比例函数y=kx的同象是经过原点的一条直线。因为一次函数的同象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取两个特殊的点，过这两个点画一条直线即可。2、正比例函数y=kx(k≠0)，当k>0时，其同象过第一象限，当k<0时，其同象过第三象限，时y随x的增大而减小。3、一次函数y=kx+b，图象及函数性质①、k>0b>0过第二象限②、k>0b<0过第四象限③、k<0b>0过第一象限④、k<0b<0过第三象限y随x的增大而增大或减小。4、若直线l1：y=k1x+b1与l2：y=k2x+b2平行，则k1=k2，若k1≠k2，则l1与l2无交点。【用待定系数法求一次函数解析式】关键：确定一次函数y=kx+b中的k和b的值。步骤：1、设一次函数表达式。2、将x，y的对应值或点的坐标代入表达式。3、解关于系数的方程或方程组。4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中。【一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组】1、一次函数与一元一次方程：一般地将x=0或y=0代入y=kx+b中解一元一次方程可求直线与坐标轴的交点坐标。2、一次函数与一元一次不等式：kx+b>0或kx+b<0即一次函数图象位于x轴上方或下方时相应的x的取值范围，反之也成立。3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数所列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标。【一次函数的应用】一般步骤：1、设定问题中的变量。2、建立一次函数关系式。3、确定自变量的取值范围，利用函数性质解决问题，作答。值得注意的是，一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案设计问题等。【重点考点例析】考点一：一次函数的图象和性质例1（2015•大庆）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点（-1，3）B．它的图象经过第一、二、三象限C．当x＞1时，y＜0D．y的值随x值的增大而减小对应训练1．（2015•徐州）下列函数中，y随x的增大而减少的函数是（）A．y=2x+8B．y=-2+4xC．y=-2x+8D．y=4x考点二：一次函数的图象和系数的关系例2（2015•莆田）如图，一次函数y=(m-2)x-1的图象经过二、三、四象限，则m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m＞-2D．m＜-2例3（2015•遵义）点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是正比例函数y=-kx的图象上的两点，下列判断中，正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2对应训练2．（2015•眉山）若实数a，b，c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=cx+a的图象可能是（）A．B．C．D．3．（2015•福州）A，B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为A（x+a，y+b），B（x，y），下列结论正确的是（）A．a＞0B．a＜0C．b=0D．ab＜0考点三：一次函数解析式的确定例4（2015•常州）已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，-2）和点B（1，1），则k=3，b=-2。对应训练4．（2013•重庆）已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为y=-2x。考点四：一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系例5（2015•黔西南州）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为x＜3/2。注：文章中原来的一些符号和公式可能由于编码问题无法还原，已经尽可能修正。D.x>3在体育课上，20人一组进行足球比赛，每人射点球5次，已知某一组的进球总数为49个，进球情况记录如下表，其中进2个球的有x人，进3个球的有y人。若（x，y）恰好是两条直线的交点坐标，则这两条直线的解析式是什么？进球数人数11253x435y思路分析：根据一共20个人，进球49个列出关于x、y的方程即可得到答案。解：根据进球总数为49个得：2x+3y=49-5-3×4-2×5=22，整理得：y=-2/3x+22/3。因为20人一组进行足球比赛，所以1+5+x+y+3+2=20，整理得：y=-x+9。所以这两条直线的解析式是y=-2/3x+22/3和y=-x+9，选C。点评：本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题目列出方程并整理成函数的形式。对应训练：5.直线y=2x+b经过点（3，5），求关于x的不等式2x+b≥的解集。6.一个正比例函数图象与一次函数y=-x+1的图象相交于点P，则这个正比例函数的表达式是什么。考点五：一次函数综合题如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x^2-14x+48=0的两个实数根。（1）求C点坐标；（2）求直线MN的解析式；（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标。（1）C（8，6）；（2）直线MN的解析式为y=-3/4x+6；（3）因为A（8，0），C（0，6），B（8，6）。因为点P在直线MN上，所以可以设P（a，-3/4a+6）。当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P（4，3）；②当PA=PB时，点P是线段AB的中垂线与直线MN的交点，则P（2，4.5）；③当PB=BC时，点P是线段PC的中垂线与直线MN的交点，则P（5，3.75）。因此，P点的坐标可以是（4，3），（2，4.5），或（5，3.75）。8．解：（1）根据函数图象可知，小明从家出发后1小时到达南亚所，所以他离家的时间为x-1，对应的路程为y-10，妈妈离家的时间为x-1.83，对应的路程为y-20，设小明骑车的速度为v，则有：y-10=v(x-1)y-20=v(x-1.83)将两式相减得：10=v(0.83)，即v≈12.05（km/h）所以小明在南亚所游玩的时间为1小时，停留时间为1.83-1=0.83小时，即50分钟．（2）根据函数图象可知，小明到达湖光岩时，路程为20km，所以有：y-10=v(x-1)=20解得x≈2.67，即小明骑车到达湖光岩用时2小时40分钟．最高点为函数图象上的最高点，即直线AC的交点，设交点坐标为（a，b），则有：b=0.5×(10+30)=20又因为直线AC的斜率为2，所以有：b-10=2(a-1)，即b=2a-8解得a=9，所以最高点坐标为（9，20），即该植物最高长20厘米．题目1：直线方程的象限给定一条直线的斜率和截距，求它所在的象限。根据斜率和截距的关系式可以得到斜率和截距的值，从而确定直线在坐标系中的位置。根据直线的斜率和截距可以得到k+b=-5和kb=6，解得k=-6，b=1。因为k<0，所以直线在第二和第四象限。题目2：一次函数的象限给定反比例函数上的两个点和一次函数的表达式，求一次函数的图像不经过的象限。因为反比例函数的图像是一个双曲线，所以两个点的横坐标是不相等的。根据一次函数的表达式可以得到它的斜率为-2，代入两个点的坐标可以得到两个方程，解得k=2，b=0。因为k<0，所以一次函数的图像在第二象限。题目3：一次函数的取值范围给定一次函数在两个点上的取值关系，求函数的取值范围。根据题意可以得到两个方程，分别是-2+b<1和2+b>-1，解得b>-3。因为一次函数的斜率为-2，所以它的图像是下降的，所以b的取值范围为b>-3。题目4：直线的平移和交点给定两条直线，求将其中一条直线上移后与另一条直线的交点在第一象限的平移距离的范围。根据题意可以得到两条直线的表达式，分别是y=-x+3和y=2x+4。将第一条直线上移m个单位后，得到新的直线为y=-x+3+m。将两条直线相交，解得交点为(1/3,10/3)。因为交点在第一象限，所以3<m<4。题目5：摩托车的相遇给定两辆摩托车的行驶距离和时间的函数关系，判断几个说法的正确性。根据题意可以得到两辆摩托车的行驶距离和时间的函数关系，分别是l1=20-2s和l2=20+3s。因为两辆摩托车相向而行，所以它们的相对速度是v1+v2=5km/h。根据相对速度可以得到它们相遇的时间为t=4/5h。因为乙摩托车离A地更近，所以说法A错误。因为甲摩托车在0.3小时后到达中点，所以说法B正确。因为甲、乙摩托车在0.25小时后相遇，所以说法C正确。因为乙摩托车到达A地时，甲摩托车距离A地17km，所以说法D错误。题目6：一次函数的成本和利润给定一种机器的生产成本和销售数量和售价的函数关系，求生产数量和销售利润。根据题意可以得到生产成本和销售数量的函数关系，是一次函数y=-2x+85。因为生产数量至少为10台，但不超过70台，所以10≤x≤70。根据生产成本和销售售价的函数关系可以得到销售售价为85万元/台。因为该厂第一个月销售了25台，所以销售利润为(85-60)×25=625万元。解答如下：解题思路：根据题意，对每个问题逐一解答，并进行必要的改写和调整。2.对于第二题，原文中有一处明显的错误，即“当x=50时，y=40”这句话缺少上下文，无法理解。因此，需要删除这句话。另外，对于第二小问，需要对解答进行补充，具体如下：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，因此过原点且与l1垂直的直线l2的斜率为-1，即直线l2的函数表达式为y=-x。（2）①直线l3的斜率为tan30°=1/√3，因此直线l3的函数表达式为y=(1/√3)x；②将直线l3绕原点逆时针旋转90°，相当于将直线l3的斜率取负倒数，即直线l4的斜率为-√3，因此直线l4的函数表达式为y=-√3x。（3）根据猜想，当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间互为负倒数关系。因此，过原点且与直线y=-5x垂直的直线l5的函数表达式为y=5x。8.（2015·济宁）如图，直线$y=-2x+4$与坐标轴分别交于点A、B，与直线$y=x$交于点C。在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动。分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF。若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）。（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值。解：（1）因为直线$y=-2x+4$与坐标轴分别交于点A、B，所以当$x=0$时，$y=4$，当$y=0$时，$x=8$，所以$BO/AO=4/8=1/2$。当$t$秒时，$QO=FQ=t$，则$EP=t$。因为$EP\parallelBO$，所以$BO/EP=AO/AP$，即$BO/EP=8/2t$。所以$EP=16/t$。因为$EP+FQ=BO+OQ=1$，所以$FQ=1-16/t=(t-16)/t$。因为$EF\parallelAB$，所以$\trianglePEF\sim\trianglePAB$，所以$PE/PB=EP/AP$，即$PE/4=16/2t$，所以$PE=8/t$。因为$PE\parallelBO$，所以$\trianglePEF\sim\triangleBOF$，所以$EF/BO=PE/BF$，即$EF/4=8/t$，所以$EF=32/t$。因为$PEFQ$为矩形，所以$EF=FQ$，即$32/t=(t-16)/t$，解得$t=8$。所以点P运动的速度是每秒2个单位长度。（2）如图1，当$PQ=PE$时，矩形$PEFQ$为正方形。因为$OQ=FQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=8-t-2t=8-3t$。所以$8-3t=t$，解得$t=2$。所以当$t=2$时，矩形$PEFQ$为正方形。（3）如图1，当$Q$在$P$点的左边时，$OQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=8-t-2t=8-3t$。所以$S_{PEFQ}=QP\cdotQF=(8-3t)\cdott=8t-3t^2$。当$t=-8/3$时，$S_{PEFQ}$的最大值为$128/9$。如图2，当$Q$在$P$点的右边时，$OQ=t$，$PA=2t$，所以$QP=t-(8-2t)=3t-8$。所以$S_{PEFQ}=QP\cdotQE=(3t-8)\cdott=3t^2-8t$。因为当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，所以$0\leqt\leq4$。当$t=-8/3$时，$S_{PEFQ}$的最小值为$128/9$。当$t=4$时，$S_{PEFQ}$的最大值为$16$