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文档简介
1.全等三角形的性质:
对应边、对应角、对应线段相等,周长、面积也相等。
2.全等三角形的判定:
知识点①一般三角形全等的判定:SAS、ASA、AAS、SSS②直角三角形全等的判定:
SAS、ASA、AAS、SSS、HL1.全等三角形的性质:对应边、对应角、对应线段相等,周长、知识点3.三角形全等的证题思路:①②③知识点3.三角形全等的证题思路:①②③到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵
QD⊥OA,QE⊥OB,QD=QE(已知).∴点Q在∠AOB的平分线上.(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上)角的平分线上的点到角的两边的距离相等.∵
QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上(已知)∴QD=QE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)二.角的平分线:1.角平分线的性质:2.角平分线的判定:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。∵QD⊥OA,QE2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证:点P到三边AB、BC、CA的距离相等∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,PD⊥AB于D,PE⊥BC于EABCPMNDEF∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等证明:过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F2.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证:3.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证:点F在∠DAE的平分线上.
证明:过点F作FG⊥AE于G,FH⊥AD于H,FM⊥BC于MGHM∵点F在∠BCE的平分线上,FG⊥AE,FM⊥BC∴FG=FM(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).又∵点F在∠CBD的平分线上,FH⊥AD,FM⊥BC∴FM=FH(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).∴FG=FH(等量代换)∴点F在∠DAE的平分线上3.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于例题选析例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,那么补充下列一具条件后,仍无法判定△ABE≌△ACD的是()A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=ACB例2:已知:如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD相交于O点,∠1=∠2,图中全等的三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对D例题选析例1:如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,已知:AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.求证:BC=AD.例3.ABCD已知:AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD.例3例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的是[](A.)AC=A'C',BC=B'C'(B.)AB=A'B',AC=A'C'(C.)AB=B'C',AC=A'C'(D.)∠B=∠B',AB=A'B'C例4:下面条件中,不能证出Rt△ABC≌Rt△A'B'C例5:如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,AD、CE交于点H,请你添加一个适当的条件:
,使△AEH≌△CEB。BE=EH例5:如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足
例6:求证:三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知:如图,AD是△ABC的中线,求证:ABCDE证明:延长AD到E,使DE=AD,连结BE∵AD是△ABC的中线∴
BD=CD又∵DE=AD∴△ADC≌△EDB∴AC=EB在△ABE中,AE<AB+BE=AB+AC即2AD<AB+AC∴例6:求证:三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知课堂练习1.已知BD=CD,∠ABD=∠ACD,DE、DF分别垂直于AB及AC交延长线于E、F,求证:DE=DF证明:∵∠ABD=∠ACD()∴∠EBD=∠FCD()又∵DE⊥AE,DF⊥AF(已知)∴∠E=∠F=900()在△DEB和△DFC中∵∴△DEB≌△DFC()∴DE=DF()全等三角形的对应边相等AAS垂直的定义等角的补角相等已知课堂练习1.已知BD=CD,∠ABD=∠ACD,DE、DF分2.点A、F、E、C在同一直线上,AF=CE,BE=DF,BE∥DF,求证:AB∥CD。证明:≌∥∥2.点A、F、E、C在同一直线上,AF=CE,BE=DF3、如图:在△ABC中,∠C=900,AD平分∠
BAC,DE⊥AB交AB于E,BC=30,BD:CD=3:2,则DE=
。12cABDE3、如图:在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,4.已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在一条直线上求证:BE=AD
EDCAB变式:以上条件不变,将△ABC绕点C旋转一定角度(大于零度而小于六十度),以上的结论海成立吗?证明:∵△ABC和△ECD都是等边三角形∴AC=BCDC=EC∠BCA=∠DCE=60°∴∠BCA+∠ACE=∠DCE+∠ACE即∠BCE=∠DCA在△ACD和△BCE中
AC=BC∠BCE=∠DCADC=EC∴△ACD≌△BCE(SAS)∴BE=AD4.已知,△ABC和△ECD都是等边三角形,且点B,C,D在5:如图,已知E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC等于AD吗?为什么?4321EDCBA解:AC=AD理由:在△EBC和△EBD中∠1=∠2∠3=∠4EB=EB∴△EBC≌△EBD(AAS)∴BC=BD在△ABC和△ABD中
AB=AB
∠1=∠2BC=BD∴△ABC≌△ABD(SAS)
∴AC=AD5:如图,已知E在AB上,∠1=∠2,∠3=∠4,那么AC6:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中有那几对全等三角形?请任选一对给予证明。FEDCBA答:△ABC≌△DEF证明:∵AB∥DE∴∠A=∠D∵AF=DC∴AF+FC=DC+FC∴AC=DF在△ABC和△DEF中
AC=DF
∠A=∠DAB=DE∴△ABC≌△DEF(SAS)6:如图,已知,AB∥DE,AB=DE,AF=DC。请问图中7.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E,则AB与AC+BD相等吗?请说明理由。ACEBD要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法:1、可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩余的线段与另一条线段相等。(割)2、把一个三角形移到另一位置,使两线段补成一条线段,再证明它与长线段相等。(补)7.如图,已知AC∥BD,EA、EB分别平分∠CAB和∠DBP27P27P27P27P27P27练习7:如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出两个作为已知条件,另一个作为结论,推出一个正确的命题。(只写出一种情况)①AB=AC②DE=DF③BE=CF
已知:EG∥AF
求证:GFEDCBA高练习7:如图,已知,EG∥AF,请你从下面三个条件中,再选出拓展题8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EFBCAFED拓展题8.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC10.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F,给出下列5个关系式::①AD∥BC,②,DE=EC③∠1=∠2,④∠3=∠4,⑤AD+BC=AB。将其中三个关系式作为已知,另外两个作为结论,构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题:(书写形式:如果……那么……)(1)
;(2)
;10.如图:在四边形ABCD中,点E在边CD上,连接AE、B11.如图,在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=900,AB=AC,点D是AB的中点,AF⊥CD于H交BC于F,BE∥AC交AF的延长线于E,求证:BC垂直且平分DE.11.如图,在R△ABC中,∠ACB=450,∠BAC=9012.已知:如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两边上的高,在BE上截取BD=AC,在CF的延长线上截取CG=AB,连结AD、AG。求证:△ADG为等腰直角三角形。12.已知:如图:在△ABC中,BE、CF分别是AC、AB两13.已知:如图21,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,DB=DC,
求证:EB=FC1
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