2021年湖南省常德市安乡县安障乡黄山岗中学高三数学理月考试卷含解析

2021年湖南省常德市安乡县安障乡黄山岗中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题中的假命题是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略2.复数z=（a+1）+（a2﹣3）i，若z＜0，则实数a的值是（）A． B．1 C．﹣1 D．﹣参考答案：D【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义得到虚数部分是0，实数部分小于0，求出a的值即可．【解答】解：由题意得：a2﹣3=0，解得a=±，而a+1＜0，故a=﹣，故选：D．3.已知函数，若，则函数的零点个数是（A）1 （B）2 （C）3 （D）4参考答案：D由，得。若，则，所以或，解得或。若，则，所以或，解得或成立，所以函数的零点个数是4个，选D.4.如图，某几何体的正(主)视图与侧(左)视图都是边长为1的正方形，且它的体积为，则该几何体的俯视图可以是(

)．

命题意图:考查三视图及体积的运算，考查空间想象能力.基础题.参考答案：C5.函数图象的大致形状是A. B. C. D.参考答案：D试题分析：由题意得，，所以，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A，C；令，则，故选B．考点：函数的奇偶性及函数的图象．6.的展开式中的系数是（

）A．–20

B．20

C．10

D．–10

参考答案：C略7.设椭圆的两个根分别为在

（

）

A．圆内

B．圆上

C．圆外

D．以上三种情况都有可能参考答案：答案:A8.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：【知识点】导数的几何意义；两直线垂直的充要条件.B11H2答案D

解析：因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，又因为切线与直线垂直，所以，解得，故选D。【思路点拨】先对原函数求导，求出斜率，再结合两直线垂直的充要条件可求得a的值。9.的展开式中常数项等于

A．15

B．一l5

C．20

D．一20参考答案：A10.设复数在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：答案：C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一个算法的程序框图如图2所示，则该程序运行后输出的结果是

．

参考答案：12.已知，若恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：因为，所以.若恒成立，则,解得13..Sn为数列{an}的前n项和，已知．则{an}的通项公式an=_____________．参考答案：2n+114.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的s值等于

．

参考答案：－3略15.设n=（4sinx+cosx）dx，则二项式（x﹣）n的展开式中x的系数为

．参考答案：10考点：二项式定理．专题：二项式定理．分析：计算定积分求出n=5，再根据（x﹣）5的展开式的通项公式，求出展开式中x的系数．解答： 解：n=（4sinx+cosx）dx=（sinx﹣4cosx）=1﹣（﹣4）=5，则二项式（x﹣）n=（x﹣）5的展开式的通项公式为Tr+1=?（﹣1）r?x5﹣2r，令5﹣2r=1，求得r=2，可得展开式中x的系数为=10，故答案为：10．点评：本题主要考查定积分的计算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S=（b2+c2﹣a2），则∠A=．参考答案：考点： 余弦定理．专题： 计算题．分析： 根据三角形的面积公式S=bcsinA，而已知S=（b2+c2﹣a2），两者相等得到一个关系式，利用此关系式表示出sinA，根据余弦定理表示出cosA，发现两关系式相等，得到sinA等于cosA，即tanA等于1，根据A的范围利用特殊角的三角函数值即可得到A的度数．解答： 解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）变形为：=sinA，由余弦定理可得：cosA=，所以cosA=sinA即tanA=1，又A∈（0，π），则A=．故答案为：。故答案为：点评： 此题考查学生灵活运用三角形的面积公式及余弦定理化简求值，是一道基础题．17.某年级名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间．将测试结果分成组：，，，，，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的个小矩形的面积之比为，那么成绩在的学生人数是_____．参考答案：成绩在的学生的人数比为，所以成绩在的学生的人数为.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列的前项和.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）解：.当时，.又符合时的形式，所以的通项公式为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.数列的前项和为.19.（本题满分15分）如图，已知椭圆：经过点，且离心率等于．点分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上非顶点的两点，且的面积等于．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作交椭圆于点，求证：．参考答案：解：（Ⅰ）由题意得：，解得：故椭圆C的方程为：

……5分（Ⅱ）解法一：如图所示，设直线,的方程为，联立方程组，解得,同理可得,……7分作轴,轴,是垂足,=

……9分已知，化简可得.……11分设,则，又已知,所以要证,只要证明……13分而所以可得…………15分（在轴同侧同理可得）解法二：设直线的方程为，代入得，它的两个根为和可得

……7分从而

所以只需证

即

…………………9分设，，若直线的斜率不存在，易得从而可得

…………………10分若直线的斜率存在，设直线的方程为，

代入得则，，………11分化得，得

………13分

………………15分

20.设函数,其中.(Ⅰ)当时,求不等式的解集;(Ⅱ)若不等式的解集为,求a的值.参考答案：解:(Ⅰ)当时,可化为.由此可得

或.故不等式的解集为或.

(

Ⅱ)由得此不等式化为不等式组

或即

或因为,所以不等式组的解集为由题设可得=,故略21.如图，过抛物线的对称轴上任一点作直线与抛物线交于、两点，点Q是点P关于原点的对称点。（1）设，证明：；（2）设直线AB的方程是，过、两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程。

参考答案：解:(1)由题意，可设直线的方程为，代入抛物线方程得

①设、两点的坐标分别是，则是方程①的两根，所以由得，又点Q是点P关于原点的对称点，故点Q的坐标为，从而所以(2)由得的坐标分别为抛物线在点A处切线的斜率为3.