维向量空间及向量组的线性表出课件

几何空间(三唯向量空间）（第三章）推广n唯向量空间（第四章）推广线性空间（第七章）几何空间(三唯向量空间）（第三章）推广n唯向量空间（第四4.1n维向量空间一、三维向量空间三、Rn的子空间返回二、n维向量空间4.1n维向量空间一、三维向量空间三、Rn的子空间返一、三

维向量空间(几何空间)并定义向量的线性运算如下：加法:数乘：k•=(ka1,ka2,ka3).（ai为实数）设一、三维向量空间(几何空间)并定义向量的线性运算如下：加按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+O=;(4)+(-)=O;(5)1

=;(6)k(l

)=(kl);(7)k(+)=k+k;(8)(k+l)=k+l.

由三维实向量的全体构成的集合，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，则称这个集合对规定的加法和数乘构成一个三维向量空间(或几何空间)。记为

R3.按上述方式定义的线性运算，满足八条运算规律：(1)+

确定飞机在空中的状态：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需要6个参数，可表示为实际问题：确定飞机在空中的状态：飞机重心在空间的位置参数P(x,yn维向量:n

维行向量n维列向量:实（复）向量:坐标为实（复）数n—称为向量的维数。——n个数构成的有序数组。二、n维向量空间的概念n维向量:n维行向量n维列向量:实（复）向量:坐标为实向量相等的定义：=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)=ai=bi零向量：=(0,0,…,0)负向量：-=(-a1,-a2,…,-an)Rn={(a1,a2,…,an)|aiR}——

n维实向量的全体.n维向量的线性运算:

=(a1,a2,…,an),=(b1,b2,…,bn)，

+

=(a1+b1,a2+b2,…,an+

bn),k•=(ka1,ka2,…,kan),kR.加法:数乘：向量相等的定义：=(a1,a2,…,an),加法与数乘满足下列八条运算规律：(1)+=+;(2)(+)+=+(+);(3)+0

=;(4)+(-)=0;(8)(k+l)=k+l.(7)k(+)=k+k;(6)k(l

)=(kl);(5)1

=;n维实向量的全体构成的集合Rn，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，称Rn对规定的加法和数乘构成一个n维向量空间。一般地，若向量集合V，按定义的加法和数乘满足八条运算法则，则称V对规定的加法和数乘构成一个向量空间。加法与数乘满足下列八条运算规律：(1)+=+用向量的观点看矩阵:1×n的行矩阵可以视为n维行向量；n×1的列矩阵可以视为n维列向量；用向量的观点看矩阵:1×n的行矩阵可以视为n维行向量；n×1用向量的观点看线性方程组可写成：即或——方程组的向量形式即其中称为满足方程的一个解向量。用向量的观点看线性方程组可写成：即或——方程组的向量形式即其定义若则称V是Rn

的一个子空间.（此时称V对加法封闭）由定义知：（1）Rn

的子空间本身也是一个向量空间！（2）子空间必含零元。二、Rn的子空间（此时称V对数乘封闭）(V有零元是V为子空间的必要条件!)即若Ｖ没有零元Ｖ不是子空间．定义若则称V是Rn的一个子空间.（此时称V对加法封闭V是Rn

的一个子空间（即V对加法封闭）子空间的判别:（即V对数乘封闭）.（即过坐标原点的直线是R2的子空间.）

例1

设V={(x,y)|x+y=0},V是否是R2

的子空间？

例2

设V={(x,y)|x+y=1},V是否是R2

的子空间？（不过坐标原点的直线不是R2的子空间.）V是Rn的一个子空间（即V对加法封闭）子空间的判别:（即

例3

过坐标原点的平面

但是，不过坐标原点的平面不是R3的一个子空间；

不过坐标原点的空间直线不是R3的一个子空间.为R3的一个子空间；例4

过坐标原点的空间直线.为R3的一个子空间因为，它们不含零元0=（0，0，0）.例3过坐标原点的平面

但是，不过坐标原点的平面不是4.2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合二、向量组的线性相关性返回三、线性相关性与线性组合(表出)的关系4.2向量组的线性相关性一、向量组的线性组合二、向量组的向量组：同维数的向量所组成的集合.例如:该向量组向量的维数是3,向量组所含向量个数为4.即该向量组由4个3维的向量组成.又如:------所含向量个数为1.------含无穷多个向量.向量组：同维数的向量所组成的集合.例如:该向量组向量的维数是向量组与矩阵的关系:例如向量组称为矩阵A的列向量组。向量组与矩阵的关系:例如向量组向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.向量组,,…，称为矩阵A的线性方程组:即：即——方程组的向量形式存在一组数

x1,x2,…,

xn

使得故非齐次线性组(*)式有解线性表出线性方程组:即：即——方程组的向量形式存在一组数x1,x一、向量组的线性组合(线性表出)定义若存在一组数

k1,k2,…,

km

使得或称向量为向量组1，2，…，m的线性组合，例1

零向量是任一向量组的线性组合.则称向量可由向量组1，2，…，m线性表出.例2

向量组1,2,…,m中任一向量都可由这个向量组线性表出.一、向量组的线性组合(线性表出)定义若存在一组数k1,例3设为n维向量组，证明：是的一个子空间。

又LL(1,2,…,m)={1,2,…,m线性组合的全体}.L（L对加法封闭）证明:

为常数,其中例3设L所以L是的一个子空间。称L(1,2,…,m)是由1,2,…,m所生成的子空间.（L对数乘封闭）例如:L所以L是的一个子空间。称L(1,2,…,例4反之有有三唯向量空间是由三个基向量

所生成的.例4反之有有三唯向量空间是由三个基向量所生成亦即,任一n维向量均可由线性表出.——n唯基本单位向量组设则亦即,任一n维向量均可由线性表出.——n唯基本单位向量组设选择题：（A）存在一组不全为零的数

k1,k2,…,

km

使得若向量可由向量组1，2，…，m，线性表出（D）对的线性表达式唯一。则下列结论中正确的是（）（B）存在一组全为零的数

k1,k2,…,

km

使得（C）存在一组数

k1,k2,…,

km

使得C选择题：（A）存在一组不全为零的数k1,k2,…,k

AX=b有解,

b可由1,2,…,n线性表出存在一组数

x1,x2,…,

xn

使得其中A=(1,2,…,n)定理1:

b可由1,2,…,n线性表出

AX=b有解其中A=(1,2,…,n),

线性表出与方程组AX=b解的关系：AX=b有解,b可由1,2,…,

设R(A)=r,

所以AX=b有解dr+1=0即有解的充要条件为:这是线性方程组AX=b是否有解的判别定理。A=（Ab）下面证明:AX=b有解设R(A)=r,所以AX=b有解dr+1由定理1得:(1)b可由1,2,…,n线性表出

AX=b有解其中A=(1,2,…,n),(2)b可由1,2,…,n线性表出(3)AX=b有解由定理1得:(1)b可由1,2,…,n

例5：向量可否由线性表出,若能,则写出该表达式

(1)需考察线性方程组

是否有解.分析:

利用定理1(2)若有解,求出其一组解.即可由1,2,3线性表出AX=有解例5：向量则故可由线性表出：故有唯一解解:(表达式唯一!)则故可由线性表出判别:

b可由1,2,…,n线性表出

AX=b有解其中A=(1,2,…,n)判别:b可由1,2,…,n线性表出定义

(Ⅰ):1,2,…,r

,

(Ⅱ):1,2,…,s

,

等价关系有性质：(2)对称性：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，则(Ⅱ)与(Ⅰ)等价；

（实质上是线性表出具有传递性！）(1)反身性：每一向量组都与自身等价；

传递性：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价，(Ⅱ)与(Ⅲ)等价,若组(Ⅰ)中每一个向量都可由(Ⅱ)中的向量线性表出可以互相线性表出，则称组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价.则称组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出.若组(Ⅰ)与组(Ⅱ)则(Ⅰ)与(Ⅲ)等价.见P168,7题定义(Ⅰ):1,2,…,r,

线性代数探究性问题小论文

提高发现问题和解决问题的能力，初步学习学术论文撰写方法。内容：具体如：对教材中某些问题的深入研究和思考。也可以是线性代数中的典型例题、习题求解探讨，目的：

观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，特例探讨，联想类比，猜想试探，失败更正，改