2022-2023学年吉林省长春市九台师范中学高三数学理期末试卷含解析

2022-2023学年吉林省长春市九台师范中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－,0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2008)的值为

(

）A．－2B．－1

C．0D．1参考答案：D2.设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且

则“”是“”的（

）

充分不必要条件

必要不充分条件

充要条件

即不充分不必要条件参考答案：选①

②如果；则与条件相同3.把方程化为以t为参数的参数方程是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.函数的定义域是A．

B．

C．

D．参考答案：D5.下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.已知数列{an}的通项公式,则=(

)A.2012

B.2013

C.2014

D.2015参考答案：C略7.设，则是的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件参考答案：A若，则有或，解得或，所以是充分不必要条件，选A.8.（5分）已知程序框图如图则输出的i为（）A．7B．8C．9D．10参考答案：C【考点】：程序框图．【专题】：计算题．【分析】：根据已知中的流程图，我们模拟程序的运行结果，分别讨论S与i的值是否满足继续循环的条件，当条件满足时，即可得到输出结果．解：由程序框图可得解：S=1，i=3不满足条件S≥100，执行循环体S=1×3=3，i=3+2=5，不满足条件S≥100，执行循环体S=3×5=15，i=5+2=7，不满足条件S≥100，执行循环体S=15×7=105，i=7+2=9，满足条件S≥100，退出循环体此时i=9故选C．【点评】：考查程序框图的基本内容，考查简单的逻辑推理能力．模拟循环的执行过程是解答此类问题常用的办法，属于基础题．9.已知全集,集合,,则为

(）A．{1,2,4}

B．{2,3,4}

C．{0,2,4}

D．{0,2,3,4}参考答案：C10.已知都是负实数，则的最小值是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B

【知识点】函数的最值及其几何意义．B3直接通分相加得，因为都是负实数，所以都为正实数，那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值，最小值为为，分母有最小值，即有最大值，那么可得最小值，最小值：，故选B．【思路点拨】把所给的式子直接通分相加，把分子整理出含有分母的形式，做到分子常数化，分子和分母同除以分母，把原式的分母变化成具有基本不等式的形式，求出最小值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足（），且，若实数（，），则称m具有性质，若是数列的前n项和，对任意的，都具有性质，则所有满足条件的k的值为________.参考答案：3或4【分析】讨论的奇偶两种情况得到，进而得到，再计算得到，根据，计算，代入不等式得到，得到答案.【详解】数列的前项和，满足，代入计算得到；，，相减得到：当为奇数时：当为偶数时：综上所述：故所以，故，即恒成立.综上所述：故或故答案为：或4【点睛】本题考查了数列的通项公式，前N项和，恒成立问题，将数列的恒成立问题转化为数列的最值问题是解题的关键.12.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】复数z满足，

，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.13.F为抛物线的焦点，为抛物线上三点，O为坐标原点，若F是ABC的重心，OFA，OFB，OFC的面积分别为，则的值为____参考答案：略14.a，b为正数，给出下列命题：①若a2﹣b2=1，则a﹣b＜1；②若﹣=1，则a﹣b＜1；③ea﹣eb=1，则a﹣b＜1；④若lna﹣lnb=1，则a﹣b＜1．期中真命题的有．参考答案：①③【考点】不等式的基本性质．【分析】不正确的结论，列举反例，正确的结论，进行严密的证明，即可得出结论．【解答】解：①中，a，b中至少有一个大于等于1，则a+b＞1，由a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=1，所以a﹣b＜1，故①正确．②中﹣==1，只需a﹣b=ab即可，取a=2，b=满足上式但a﹣b=＞1，故②错；③构造函数y=x﹣ex，x＞0，y′=1﹣ex＜0，函数单调递减，∵ea﹣eb=1，∴a＞b，∴a﹣ea＜b﹣eb，∴a﹣b＜ea﹣eb=1，故③正确；④若lna﹣lnb=1，则a=e，b=1，a﹣b=e﹣1＞1，故④不正确．故答案为：①③．15.直线与圆相切，且在两坐标轴上截距相等，则满足条件的直线共有________条.参考答案：4①直线过原点时，有两条与已知圆相切；②直线不过原点时，设其方程为，也有两条与已知圆相切.易知①、②中四条切线互不相同.16.若实数满足,,则的取值范围是

。参考答案：17.设=

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图所示，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别在三边AB、BC和CA上，D为AB的中点，．（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值．参考答案：（1）（2）当时，S取最小值试题分析：本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示，在中，利用正弦定理，用表示，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的和代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定的最小值．试题解析：（1）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得．由，得，整理得，所以．（2）＝．当时，取最小值．考点：1．正弦定理；2．两角和的正弦公式；3．倍角公式．【易错点晴】本题主要考查的是正弦定理、两角和的正弦公式、同角的基本关系、二倍角的正弦、余弦公式和三角形的面积公式，解题时一定要注意对公式的正确使用，否则很容易失分．高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，期中关键是三角变换，而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式．19.已知函数f（x）=ex﹣e﹣x﹣2x，x∈R（1）证明f（x）为奇函数，并在R上为增函数；（2）若关于x的不等式f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）验证f（﹣x）=﹣f（x），再用导数验证单调性；（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，故m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，变形得令t=ex﹣1得，用基本不等式求最值；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，求导整理得g′（x）═2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．由于ex+e﹣x﹣2≥0，只对因式）（ex+e﹣x﹣2b+2）分情况讨论即可．解答：解：（1）x∈R，f（﹣x）=e﹣x﹣ex+2x=﹣（ex﹣e﹣x﹣2x）=﹣f（x），所以f（x）为奇函数∵，而，∴f′（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上增，（2）由f（x）≤mex﹣2x+2m﹣3得ex﹣e﹣x﹣2x≤mex﹣2x+2m﹣3，∴m（ex+2）≥ex﹣e﹣x+3，变形得，∴m只要大于或等于右边式子的最大值即可令t=ex﹣1得，∵∴；（3）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（ex﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（ex+e﹣x）2﹣2b（ex+e﹣x）+（4b﹣4）]==2（ex+e﹣x﹣2）（ex+e﹣x﹣2b+2）．∵ex+e﹣x﹣2≥0，（i）当b≤2时，﹣2b+2≥﹣2，∴ex+e﹣x﹣2b+2≥0，∴g′（x）≥0，等号仅当x=0时成立，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．而g（0）=0，所以对任意x＞0，g（x）＞0．（ii）当b＞2时，∴2b﹣2＞2，若x满足2＜ex+e﹣x＜2b﹣2，即0＜x＜ln（b﹣1+）时，g′（x）＜0．而g（0）=0，因此当0＜x＜ln（b﹣1+）时，g（x）＜0，不满足要求．综上b≤2，故b的最大值为2．点评：本题主要考查函数与导数的关系，突出分类讨论的数学思想，分类的技巧是解题的关键．20.（本小题满分12分）已知A（－5，0），B（5，0），动点P满足｜｜，｜｜，8成等差数列．（1）求P点的轨迹方程；（2）对于x轴上的点M，若满足｜｜·｜｜＝，则称点M为点P对应的“比例点”。问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”?参考答案：（1）由已知得21.如图，正方形、直角梯形、直角梯形所在平面两两垂直，．且，.

（Ⅰ）求证：四点共面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

参考答案：解析：（Ⅰ）设是的中点，证，；

（Ⅱ）体积法或直接法或向量法都可得答案为。

22.如图，椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点．（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点．若直线l绕点F任意转动，值有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，求a的取值范围．参考答案：【考点】椭圆的应用；其他不等式的解法．【分析】（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，由此能够推导出椭圆方程．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，由题意知恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：x=my+1，代入，由题设条件能够推导出=（x1，y1）?（x2，y2）=x1x2+y1y2＜0恒成立．由此入手能够推导出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，因为△MNF为正三角形，所以，即1=，解得．a2=b2+1=4，因此，椭圆方程为．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，|OA|2+|OB|2=2a2，|AB|2=4a2（a2＞1），因此，恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2．（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：，整理得（a2+b2m2）y2+2b2my+b2﹣a2b2=0，所以因为恒有|OA|2+|OB|2＜|AB|2，所以∠