任意角的三角函数（优秀课件）

1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2任意角的三角函数1学习目标1、知识与技能借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意角三角函数的定义认识其定义域，函数值的符号;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）.

2、过程与方法利用终边与单位圆的交点坐标求三角函数值;各个三角函数值的象限符号；诱导公式一的熟练应用。

3、情感、态度与价值观学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神.

学习目标1、知识与技能借助单位圆理解任意角的三角函数;从任意2教学的重点和难点

重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值.

难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定.教学的重点和难点重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个31.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾OabMPc1.在初中我们是如何定义锐角三角函数的？复习回顾OabMPc4OabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？新课导入OabMPyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？5yx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒oyx2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？﹒﹒o6如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽诱思探究MOyxP(a,b)如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？﹒∽诱思71.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.yOx1M1.锐角三角函数（在单位圆中）以原点O为圆心，以单位长度为半82.任意角的三角函数定义

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

那么:（1）叫做的正弦，记作，即；

（2）叫做的余弦，记作，即；（3）叫做的正切，记作，即。

所以，正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数.﹒使比值有意义的角的集合即为三角函数的定义域.2.任意角的三角函数定义设是一个任意角，它的终边与9xyo的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点横坐标的比值.的横坐标，正切就是交点的纵坐标与.（2）正弦、余弦总有意义.当的终边在横坐标等于0，无意义，此时轴上时，点P的（3）由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数.xyo的终边说明（1）正弦就是交点的纵坐标，余弦就是交点10任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数

直角坐标系中定义锐角三角函数

单位圆中定义锐角三角函数

单位圆中定义任意角的三角函数

任意角的三角函数的定义过程：直角三角形中定义锐角三角函数直11例1.求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐标系中，作，易知的终边与单位圆的交点坐标为所以思考：若把角改为呢?实例剖析﹒﹒P15.1P15.3例1.求的正弦、余弦和正切值.解：在直角坐12

设角是一个任意角，是终边上的任意一点，点与原点的距离.那么①叫做的正弦，即

②

叫做的余弦，即③

叫做的正弦，即

任意角的三角函数值仅与有关，而与点在角的终边上的位置无关.定义推广：那么①叫做的正弦，即②叫做的13例2.已知角的终边经过点，求角的正弦、余弦和正切值.解:由已知可得设角的终边与单位圆交于，分别过点、作轴的垂线、于是，∽例2.已知角的终边经过点14于是，巩固提高练习:1.已知角的终边过点，求的三个三角函数值.解：由已知可得：P15.2于是，巩固提高练习:1.已知角的15任意角的三角函数（优秀课件）16任意角的三角函数（优秀课件）171.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探究R2.确定三角函数值在各象限的符号yxoyxoyxo+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）R口诀“一全正,二正弦，三正切,四余弦.”+--+--++-+-1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域（弧度制）探R2.确18yxo+-+++++-----yxoyxo全为+yxo记法：一全正二正弦三正切四余弦三个三角函数在各象限的符号心得:角定象限,象限定符号.P15.3yxo+-+++++-----yxoyxo全为+yxo记法：19例3.求证：当下列不等式组成立时，角为第三象限角.反之也对．①

②证明：

因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的非正半轴上；

又因为②式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限.

因为①②式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角.反过来请同学们自己证明.P15.6例3.求证：当下列不等式组成立时，角①②证明20思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何关系？终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）其中

利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求角的三角函数值.

？思考：如果两个角的终边相同，那么这两个角的同一三角函数值有何21

例题（1）因为是第三象限角，所以；（3）因为=

而是第一象限角，所以解：

（2）因为是第四象限角，所以例题（1）因为是第三象限角，所以22解：解：236.已知

在第二象限,试确定

sin(cos)cos(sin)

的符号.解:

∵

在第二象限,∴-1<cos<0,0<sin<1.∵-<-1,1<,2

2

∴-<cos<0,0<sin<.2

2

∴sin(cos)<0,cos(sin)>0.∴sin(cos)cos(sin)<0.故

sin(cos)cos(sin)

的符号为“

-

”号.6.已知在第二象限,试确定sin(cos)c24任意角的三角函数（优秀课件）251.内容总结：①三角函数的概念.②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号.③诱导公式一.运用了定义法、公式法、数形结合法解题.划归的思想，数形结合的思想.归纳总结2.方法总结：3.体现的数学思想：1.内容总结：①三角函数的概念.运用了定义法、公式法、数26MAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉等式中得绝对值符号，能否给线段OM、MP规定一个适当的方向,

使它们的取值与点P的坐标一致？MAP下面我们再从图形角度认识一下三角函数．思考:为了去掉27

我们把带有方向的线段叫有向线段.(规定:与坐标轴相同的方向为正方向).yxo

的终边MP

的终边我们把带有方向的线段叫有向线段.yx的终边MP28TMAPTMAPTMAP=MPTMA（1,0）PTMAPTMAPTMAP=MPTMAP29

这几条与单位圆有关的有向线段

分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线．统称为三角函数线.

当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；此时角的正弦值和正切值都为0

当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．此时角的正切值不存在。TMAPTMAPTMAPTMAP这几条与单位圆有关的有向线段当角30MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxo

MPAT例题示范MP是正弦线OM是余弦线AT是正切线yxMPAT例31例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．例2.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（32例1.在0～内，求使成立的α的取值范围.

OxyPMP1P2例1.在0～内，求使33xyoP1P2xyoTA21030例２．利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角.30≤≤150解:30<<90或210<<270xyoP1P2xyoTA21030例２．利用单位34︵POxyMAT︵POxyMAT35ABoS2S1P2P1M1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：M2ABS2S1P2P136ABoT2T1S2S1例４.利用三角函数线比较下列各组数的大小：解：如图可知：ABT2T1S2S1例４.利用三角函数线比较下列37例5.求函数的定义域.OxyP2MP1P例5.