微积分刘迎东习题答案

第一型曲线积分1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点(x,y)处它的线密度为μ(x,y)。用第一型曲线积分分别表达（1）这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量J,J.2xLyL（2）这曲线弧的质心坐标x,y.LLLL0)及(0,1)两点的直线段。○LL0LLx2+y2L所围成的扇形的整个边界。○a4t上相应于t从0Γx2+y2+z2变到2的这段弧。Γx2+y2+z2t)2t2t2ttdtΓ○x22LL○L0LL00t22-t22-2-)222(xL○22L22-2Ly2LL02Ly2)yLL00LLa2La2LL=质量为m）的引力F。02t2dsa2ds-Φ2（1）它关于z轴的转动惯量J;zJzΓ03k2)2|Γ02t2)a22t2)a222Γ02t2)a23k32t2)a222Γ0第二型曲线积分1.设L为xOy面内直线x=a上的一段。证明：L2.设L为xOy面内x轴上从点(a,0)到点(b,0)的一段直线。证明：Ladx,其中L为抛物线y=x2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；L(a>0)及x轴所围成的在第一象L）；0)3L2L02Lx22Lx2+y22Γx2Γ03(ΓΓΓΓΓ00LL)d(bsinθ)=0.LL0x22344LΓ轴的正向看去，沿逆时针方向；Γ-z2)2Γ22)dy,其中L为由点(0,0)到点(1,1)的下列四条不同路L11（2）抛物线Ly=x2233（4）立方抛物线Ly=x3;4x4LL05L)L2)2L0)7.计算一1d(-0-18.计算Lx5/35/3点A(a,0)到B(0,a)的一段。22dz,其中L为依参数t增加方向进行的曲线：L2y2L0LL0LLL02-y2)L在第一卦限部分的边界线由点A(1,0,0)至B(0,1,0)再至C(0,0,1)的一段。π;22-y2))12.弹性力F的方向向着坐标原点，力的大小与质点到坐标原点比。设质点在力F作用下沿椭圆x2+y2=1依逆时针方向运动一周，求弹性力F做的功。)-kbsinθd(bsinθ)=0.013.计算∫F.dr,其中F={y-z,z-x,x-y},L为圆周L(x2(x2π2其方向为从x轴正向看去，这圆周是沿逆时针方向进行的。F.drL)L)d(asinθ)14.设P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线L上连续。试证下面的估计式：LLLLL(yx)dy,其中L分别为LL0（3）先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；)到点(4,2)的一段弧；22L016.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成。试求当一质量为m的质点沿圆2按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做L017.设z轴与重力的方向一致，求质量为m的质点从位置(x,y,z)沿直线移;)L0L中L为(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；LL2(2)沿抛物线y=x2从点(0,0)到点(1,1)；LL2LL19.设Γ为曲线x=t,y=t2,z=t3上相应于t从0变到1的曲线弧。把对坐标的Γ2)242424J222J|2格林公式及其应用1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：L○L0○1=.DD1L○L○DD2)2)2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积：3t;LL0L2L0)-4=-ε)L解：设直线段L:(2πa,0)喻(0,0)，则1xxL解：设直线段L:(0,0)喻(2a,0)，则xxxxxxLLLD05.证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值：55-y3)2y2-xy3)，所以曲线积分在整2y2-xy3)，所以曲线积分在整2-y3dxLDLDLDLD)+3x)，所以曲线积分在)6.利用格林公式，计算下列曲线积分：L2x3+2x)x)dy,其中L为正向星形线L2x)x)2y2)L解：记L3y2L2y2)2-y)dy,其中LL○解：记2x2x-x2上由点(0,0)到2-y)L2-y)L+L+LL+L 0L+L+LL+L 2L+-.L+x-(2x-2y)2))L+L+xx解：令L:(0,0)喻(a,0)，则1xxxx-xL17.设一变力为F={x+y2,2xy-8},这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。23)AA1AA为任意的逐段光滑的曲线。2y33)AA3)AA53)AA59.设D是以逐段光滑曲线l为边界的平面有界闭区域，u(x,y),v(x,y)在D上有连续的偏导数，则有关系式D}10.曲线积分10.曲线积分)l+l+ y) y)LL22l+其中n为l的外法线单位法向量。证明：设r={a,b}，则12.计算曲线积分l+l+D○x22个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。14.设在半平面x>0内有力F=-k(xi+yj)构成力场，其中k为常数，2。证明：在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。有向分段光滑曲线，其起点为(a,b)，终点为(c,d)。记（1）证明曲线积分I与路径无关；（1）证明：设F'(x)=f(x),则16.验证下列P(x,y)dx+Q(x,y)dy在整全微分，并求这样的一个u(x,y)：2y2)2y2y2)2y2y217.设有一变力在坐标轴上的投影为X=x+y2,Y=2xy-8,这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。18.判别下列方程中哪些是全微分方程对于全微分方程，求出它的通解：22)2y2)3(4y3)2y22y24y33(y3)y33yx332}i-x2(x4j为某二元函数u(x,y)的梯度，并求x2x2-2yx4L为D的正向边界曲线。证明：DLDLDDLDDLL22其中δu,δv分别为u,v沿L的外法线向量n的方22称作二维拉普拉斯算子。DLLDDDDDDDDDDDDDDDL21.设u(x,y)在有界闭区域D上调和，即u=C2(D)且在D上满足拉普拉斯方程──+──D22dσ,其中l为D（2）若u(x,y)在l上取值为零，则u在D上恒为零。DDD22==0，u为常数，又因为边界上为零，所以u在D上恒为零。第一型曲面积分)()(1.设有一分布着质量的曲面Σ,在点(x,y,z)处它的面密度为μ(x,y,z)，用第一型曲面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量。xΣxΣΣ2rdr;ΣD2r3dr=ΣΣDD|DD|xx2)2(yx21r3dr)()()()()2()2x2+)2()2x2+y2x2+y2ΣD|32r3drD22Σ3-x(ΣΣΣ2-2-DΣx2+y2+z2x2Σx2+Σx2+y2+z2D)4a2-r23(--x)2R2-x2)1R2+z2( (H-R0HR2+z2R2-x2HΣx2HΣx22DD11dxdx3-3220IzΣ0-x)2()2-ya2-x2-y2-x)2()2-ya2-x2-y2D0|0aa2-x2-y2()2(()2()2a2-x2-y2D-ya2-x2-y2|-()()|-()()ΣΣΣ32Σ).SS{}};adp10.求一段均匀圆柱面S:x2+y2=R2与0<z<h对原点处单位质量的引力zΣx2+y2+z2x2+y2+z2()) )12()) )12第二型曲面积分），流体从球面内部流出的流量。3.ΣΣΣ32.设流体速度场v=(x+y+z)k.求单位时间内流过曲面x2+y2=z(其中ΣDD}0DDa2b2c42002Σx2y2ΣDRr522r2dr72Σ得的在第一卦限内的部分的前侧；ΣD|2)Σ)D-D2Σ围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；ΣΣDΣΣDΣΣD-x(2)Σy2x227.2Σ3ΣΣD004-πR3zΣx22zx2222x2+y2x2x222dr-Σ_______++z其中Σ为椭球面x2─+a2-yΣD2ΣΣ22DΣ(2y22y2D|2)|2ΣD(2R-y2)2-y2)|)|D|Σi-usinvc6.把第二型曲面积分Σ化成第一型曲面积分，其中ΣΩΣΩ222222J|ΣΣ高斯公式通量与散度2Σ○x2433Σx333ΣΩ○0005Σaa2-x2-y2,x2Σ○000Ω5Σx2ΣΩ○Σ所围成的立方体的全表面的外侧；○2ΣΩdxdy2Σ○{2}2与00Σ021ΣΣ+ΣΣ22ΣΣ+ΣΣΩDΩD220DD0D2zΣ22Σx2─+a2+b2c2222ΣΩ22-x)2-y)Σ2}12-x)Σ2-x)-Σ+2-x)Dθr3dr4.2}1ΣΣ+ΣΣ+ΣΣ13.ΩDΣ1}2}21取后侧，则000Ω00020法向量。证明0S200x2+yx2+y2+z22r2S1r2Ωε3S1（3）不包含原点的闭曲面。6.设u是三维调和函数，即满足++222且u有二阶连续的偏导数。证明V(|((δu))(δu)))V(δx222)Vx22V(δx222)Vx(2)若u=u(x,y,z)在边界面S上恒为零，则u在区域V上恒为零（S为V的y而其在边界上为零，所以在整个区域上为零。7.求下列向量A穿过曲面Σ流向指定侧的通量：z2