2023年广东省广州市高三高考一模数学试卷含详解

2023届广州市高三年级调研测试

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B铅笔在答

题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合人=山=4841y=ln（2-x）｝,则从旧=（》

A.[0,+8）B.（0,2）C.[0,2）D.（-00,2）

2.复数Z=丁」的共辗复数在复平面内所对应的点位于

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知p:（x+2）（x-3）<0,q:|x-l|<2,则P是\的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营

造一种喜庆的氛围.如图1,某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间

是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径

被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R，球冠的高为〃，则球冠的面积5=2词.如图

1,已知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分

14cm

A.1940兀mc?B.23507icm2C.2400兀cm?D.2540兀cm?

5.若a,Beg,兀

，且（l—cos2a）（l+sin0=sin2acos/?,则下列结论正确的是（)

\2y

八-5〃.八3万

A.2a+/3=2B.2a-B=4

八07兀c冗

C.a+(3=D.a-(5=—

6.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每

天睡眠时间均值为9小时，方差为1,抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5,

则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（）

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

7.已知函数/（力的定义域为R，且/（x+l）+/（x-l）=2,/（x+2）为偶函数，若"（））=2,则

*/(%)=()

*=i

A.116B.115C.114D.113

8.双曲线C：/一y2=4的左，右焦点分别为大，工，过F?作垂直于X轴的直线交双曲线于A5两点,

△4耳乙/6后巴必648的内切圆圆心分别为。1,。2，。3，则AOIUQ的面积是（）

A.60-8B.672-4C.8-4夜D.6-40

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知X,月分别为随机事件A8的对立事件，P（A）＞0,P（B）＞0,则下列结论正确的是（）

AP（A）+P（A）=1B.P（A|B）+P（A|B）=l

C.若AB互斥,则P(AB)=P(A)P(6)

D.若A8独立,则P(A|B)=尸⑷

10.已知/"(x)是/(x)导函数，/(x)=«sinx-/?co&r(faZ?^0),则下列结论正确的是()

A.将f'(X)图象上所有的点向右平移y个单位长度可得/(x)的图象

B.“X)与/'(x)的图象关于直线x=q-对称

C./(x)+.f'(x)与有相同的最大值

D.当。=〃时，〃x)+r(x)与-r(x)都在区间(。，口上单调递增

11.在矩形ABC。中，AB=e,BC=5将八4。。沿对角线AC进行翻折，点。翻折至点次，连接

D'B，得到三棱锥。'一ABC,则在翻折过程中，下列结论正确的是()

A.三棱锥。'一A8C的外接球表面积不变

B.三棱锥O'-ABC的体积最大值为变

2

C.异面直线与8c所成的角可能是90

D.直线A。'与平面ABC所成角不可能是60

12.已知。>0,b>0,。加"+lnZ?—1=0，则（）

,,11

A.\nb>—B.e0>—

ab

C.a+In/?<1D.ab<\

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(a+x)(l+x)5的展开式中/的系数是20,则实数。=.

14.已知向量2=(—2,冷石=(1,1),且Z,B，则2=,z一各在B方向上的投影向量的坐标为

15.若过点(0力)3>0)只可以作曲线丁=壬一条切线，则b的取值范围是.

16.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两

个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球。一球。2的半径分别为4和2,

球心距离|。1。2|=2而，截面分别与球。一球。2相切于点瓦尸(E,尸是截口椭圆的焦点)，则此椭圆的

离心率等于.

A

号\、、\四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛%｝前巩项和为S.,且86=453，4"=2。“+1(〃eN*).

(1)求数列｛可｝的通项公式；

⑵设勿=2"-'a”,求数列出｝的前〃项和Tn.

18.在AABC中，内角A,8,。的对边分别为见"。，c=2b,2sinA=3sin2C.

⑴求sinC；

(2)若44B。的面积为白夕，求A3边上的中线CO的长.

2

19.如图，已知四棱锥P-ABCO底面A8C£＞是菱形，平面P6C1平面ABC。，/ACD=30,E为

P

A

AO的中点，点尸在。4上，AP=3AF.//I\

AB

(1)证明：PC//平面BEF；

⑵若NPDC=NPDB,且PO与平面A3CD所成的角为45°，求平面AEF与平面3环夹角的余弦

值.

20.世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运动.已知A社区有56%的居民每周运动总时

间超过5小时，8社区有65%的居民每周运动总时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间

超过5小时，且A8,C三个社区的居民人数之比为5:6:9.

(1)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且X〜N(5.5,cy2).现从这

三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率.

21.已知抛物线。：卡=2印5>0)的焦点/到准线的距离为2,圆〃与y轴相切，且圆心"与抛物线。

的焦点重合.

(1)求抛物线。和圆M的方程；

(2)设。(%,%)(占#2)为圆M外一点，过点P作圆M的两条切线，分别交抛物线C于两个不同的点

A(w，y),8("％)和点。(玉，％)，穴(%4,%)•且X，2y3y4=16,证明：点尸在一条定曲线上.

22.己知函数/(x)=a*-ex2,a>0且a/1.

(1)设g(x)=/iD+ex,讨论g(x)的单调性；

(2)若a>1且/(x)存在三个零点外,工2，七.

1)求实数。的取值范围；

.2e+l

2)设X］〈九2Vx3，求证：％+3尤2+工3>―.

2023届广州市高三年级调研测试

数学

本试卷共5页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B铅笔在答

题卡的相应位置填涂考生号.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合人=山=4841y=ln(2-x)},则从旧=(》

A.[0,+8)B.(0,2)C.[0,2)D.(-00,2)

C

【分析】首先分别求解出A、B两个集合，然后再根据集合交集的定义进行运算即可.

【详解】由于故4={叫y20},

vy=ln(2-jc),,-,2-x>0.即x<2,故3={x|x<2},

因此An3={x|()Vx<2},即4门8=[0,2).

故选：C

2.复数z=」一的共物复数在复平面内所对应的点位于

1+2/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

D

【分析】

由复数除法运算求出z,再写出其共施复数，得共枕复数对应点的坐标.得结论.

【详解】z=£z(l-2z)+221,-2121

-+,z=---i,对应点为(三,-])，在第四象限.

(l+2z)(l-2z)JJJDDDD

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轨复数的概念，考查复数的几何意义.掌握复数的运算法则是

解题关键.

3.已知p:(x+2)(x-3)<0,q:|x—l|<2,则P是夕的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

B

【分析】分别求出命题，4,再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】因为〃：(x+2)(x-3)<0=>-2cx<3：<2=-l<x<3,

所以<?=〃，〃推不出9,所以。是9的必要不充分条件.

故选：B.

4.红灯笼，起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营

造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个相同的圆柱的侧面，中间

是球面除去上下两个相同球冠剩下的部分.如图2,球冠是由球面被平面截得的一部分，垂直于截面的直径

被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球面的半径为R,球冠的高为人则球冠的面积S=2四?.如图

1,己知该灯笼的高为58cm,圆柱的高为5cm,圆柱的底面圆直径为14cm,则围成该灯笼中间球面部分

所需布料的面积为()

2400兀cm?D.2540兀cm?C

【分析】由题利用勾股定理求出半径R,再求出高度〃，分别求出两个球冠的面积，用球体的表面积减去

两个球冠的面积即可解决问题.

【详解】由题意得：_f58-10^=72,

I2)

所以R=25cm,

58—10

所以〃=25--------=1cm,

2

所以两个球冠的面积为2s=2x27iE〃=2x2x7ix25xl=1007rcm2,

则围成该灯笼中间球面部分所需布料的面积为：

47tA2-2S=4XKX252-10071=240071cm2,

故选：C.

5.若,且。一cos2a)(l+sin/?)=sin2acos£,则下列结论正确的是()

\27

一八5万--3兀

A.2a+，=-^-B.2a-B=―^

-C7兀c式

C.a+，=工-D,cc—P-

A

【分析】由万]及二倍角的余弦公式可得sina(l+sin〃)=cosacos/，根据两角和的余弦公式可得

sina=cos(«+/?),由诱导公式及a,1的范围即可求解.

【详解】.-.siniz^O.

由(1-cos2a)(1+sin2)=sin2acos/?,可得2sin2a(1+sin夕)=2sinacosacos/,

即sina(l4-siny?)=cosacos/?.

sina=cosacos-sinasin/?=cos(a+〃),

「.cos(a+夕)=cos(]-aj,•「a,/?w■，乃)，:.兀<a+B<2几,且一^v1-avO,

根据函数y=cosx易知：a+£=2-a+2i,即得：2a+/3^—.

22

故选：A

6.为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每

天睡眠时间均值为9小时，方差为1,抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5,

则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()

A.0.96B.0.94C.0.79D.0.75

B

【分析】根据方差的计算公式求得正确答案.

OAA120f)

【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：----------x9+--------x8=8.4(小时)，

1200+8001200+800

该地区中学生每天睡眠时间的方差为：

———XF1+(9-8.4『]+1200*「05+(8-8.4)[=0.94.

1200+800L\'J1200+800L''J

故选：B

7.已知函数/(x)的定义域为R,且/(x+l)+/(x—l)=2,/(x+2)为偶函数，若/(0)=2,则

115

£f(k)=()

k=l

A.116B.115C.114D.113

C

【分析】由.f[x+l)+/(x-l)=2可得函数的周期为4，

再结合〃x+2)为偶函数，可得“X)也为偶函数，通过周期性与对称性即可求解.

【详解】由/'(x+l)+/(x—1)=2,得/(x+2)+/(x)=2,

即/(%+2)=2-〃力，

所以/(x+4)=2—/(x+2)=2-[2—/(x)]=/(x),

所以函数/(x)的周期为4,又〃x+2)为偶函数，

则〃-x+2)=/(x+2),

所以/(x)=〃4一x)=/(-x),

所以函数/(x)也为偶函数，

又/(x+l)+/(x-l)=2,

所以〃1)4/⑶=2,/(2)+/(4)=2,

所以〃1)+〃2)+/•⑶+44)=4,

又/（1）+/（—1）=2,即2/（1）=2,所以=

又/（0）+/（2）=2,/（0）=2,

.♦."2）=0,

115

所以上）=［“1）+”2）+/（3）+/（4）］X28+/⑴+〃2）+/（3）=4x28+2+0=114

k=\

故选：c.

8.双曲线一y2=4的左，右焦点分别为耳，鸟，过K作垂直于X轴的直线交双曲线于A,8两点，

△4耳鸟,鸟,的内切圆圆心分别为。1,。2，。3,贝|JAOQ203的面积是（）

A.672-8B.6&-4C.8-4夜D.6-4&

A

【分析】由题意画出图，由已知求出。的值，找出A,B的坐标，由鸟，△片AB的内切圆圆心

分别为。,。2，。3,进行分析，由等面积法求出内切圆的半径，从而求出4。。2°3的底和高，利用三角形

的面积公式计算即可.

由双曲线C：%2-y2=4,知。2=》2=4,

所以/=£?+从=8,

所以玛（2&,0）,阳用=2c=40

所以过F］作垂直于x轴的直线为x=2叵,

代入C中，解出A（2&,2）,8（2夜,一2）,

由题知AAKE.ABEK的内切圆的半径相等，

且|的|=|防I，AAEK，A3耳鸟的内切圆圆心«,。2

的连线垂直于x轴于点P,

设为『，在AAK乙中，由等面积法得：

；（|A川+|A段+忻用）.:3比用伽玛由双曲线的定义可知：|筋|一|9|=2a=4

由|A段=2,所以|A制=6,

所以;（6+2+4啦）"=；*4夜x2,

解得：l书兴通-吟=2五一2,

2+V22

因为为AKAB的NA-B的角平分线,

所以。3一定在月6上，即X轴上，令圆。3半径为R,

在中，由等面积法得：g（|A£|+忸用+=

又|M|=|%|=J|%『+|M2=J（40『+22=6

所以;x（6+6+4）・R=3x4&x4,

所以H=J5，

所以|产用=r=2及一2,

\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=y[2-（2y/2-2]=2-42,

所以S©。必=g|。。21103P|=3x2rx|Q尸|

=rx|03Pl=（2拒-2）x（2_0）=6啦-8,

故选：A.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.已知瓦豆分别为随机事件A8的对立事件，P（A）＞0,P（8）＞0,则下列结论正确的是（）

A.P（A）+P（可=1

B.P（A|B）+P（Z|B）=l

C.若AB互斥,则P(AB)=P(A)P(6)

D.若A8独立,则P(A|B)=尸⑷

ABD

【分析】结合互斥事件、对立事件的定义，根据条件概率公式判断即可.

【详解】选项A中：由对立事件定义可知P(A)+P(Z)=1,选项A正确；

选项B中：尸(川8)+可彳忸)=曳号花逊=镭^=1,选项B正确；

选项C中：A,B互斥，P(AB)=O,P(A)>0,P(B)>0,P(AB)P(A)P(B),故选项C错误;

p(AD\

选项D中：A,B独立,则尸(AB)=P(A)P(B),则尸(A忸)=嗔―=P(A),故选项D正确.故选:

r{D)

ABD

10.已知/'(x)是/(x)的导函数，./'(x)=asinx-/?cosx(aZ7W0),则下列结论正确的是()

A.将/'(x)图象上所有的点向右平移1个单位长度可得〃力的图象

B./(X)与/'(X)的图象关于直线》=子对称

C./(x)+/'(x)与“X)-/'(X)有相同的最大值

D.当a=/2时，/(x)+/'(x)与/3-7'(力都在区间画)上单调递增

AC

【分析】首先求得/(X)的导函数r(x)=acosx+Ainx,然后根据三角函数图像平移验证A选项的正误,

根据函数的对称性验证B选项的正误，根据求三角函数的值域验证C选项的正误，根据求解三角函数的单

调性验证D选项的正误.

【详解】,.•/(x)=asinx-bcosx^ab^G),/'(x)=acosx+/?sinx.

将广(X)的图像向右平移!■个单位得y=acos(x71+/?sin(=asinx-bcosx=/(x)的图像，故A

/(x)+(x)=(a+&)sinx+(tz-/7)cosx=^a+bf+(tz-b)2sin(x+g),其中tan*=4+：,

"(x)+f'(x)最大值为Jg+bf+(a-bf=万+/,

f(x)-f'(x)=(a-b)sinx-卜'+/?)cosx=J(a-+(“+sin(x-O),其中tan。="+：,

最大值为Q(a-bf+(a+Z?)2=0-4a1+b2，故C选项正确；

当a=Z?时，/(x)+/'(x)=2asinx,/(%)-7,(x)=-2acosx,

当”>()时・，/(x)+/'(x)在［o，B上单调递增，〃X)—r(x)在，，最上单调递增，

当“<0时，/(x)+/'(x)在(0马上单调递减，/(X)-/'(x)在(0,9上单调递减，综上可知

/(x)+/'(x)和/⑴一/'(x)在(0段)上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D选项错误.

故选；AC

11.在矩形ABC。中，AB=也,BC=g,将八4£>。沿对角线AC进行翻折，点。翻折至点以，连接

D'B,得到三棱锥。'一ABC,则在翻折过程中，下列结论正确的是()

A.三棱锥D'-ABC的外接球表面积不变

B.三棱锥。'-ABC的体积最大值为立

2

C.异面直线4)'与BC所成的角可能是90

D.直线AD'与平面A8C所成角不可能是60

AD

【分析】当平面O'AC_L平面A8C时，点到平面ABC的距离最大，此时三棱锥体积最大，AD'与平

面A8C所成角最大，利用等面积求得O'E后，即可确定BD的正误；取AC中点为M,可得

AM=MC=D'M=BM,所以M为棱锥O'—ABC的外接球球心，故球的表面积不变，可判断A的正

误；设异面直线A£>'与BC所成的角是90，由线面垂直的判断和性质，可判断C的正误.

【详解】对于A,记AC中点为〃，如图所示

和AABC均为直角三角形，M为AC中点,

.-.AM=MC=D'M

为棱锥。'一ABC的外接球球心，半径为AM,

2

5%..,•三棱锥。'—ABC的表面积不变，，故A正确;

=DC=D'C=0,BC=AO'=AO="AC=百,

当平面D'AC1平面ABC时,三棱锥D'-ABC的体积最大,

过点30向4c做垂线，垂足为E,

ADRC寻叵病

•/D'A=6,D'C=&,在4AlyE中可得D'E

AC5

•.•平面Q'AC_L平面ABC,

平面D'AC0平面ABC=AC,D'E±AC,

DE是三棱锥D'-ABC的高,

.•・三棱锥。'一ABC的体积最大值为.w‘-r>'E=LxLx0x6x《ie=逑=@

3*325305

故B不正确;

对于C,若异面直线A£>'与8c所成的角是90。，

则AD'_LBC,又因为A5LBC,

ABc47=A,ABu平面ABD,4°'u平面ABD,

，BCJ_平面AB。'，则在△BCD中，UC=6<BC=6，

不成立，所以异面直线AD'与6C所成的角不可能是90、，故C不正确；

对于D,设4)'与平面ABC所成角为。，点OC到平面ABC距离为d,则sin6=F=-7G，

AD,2

•••当点以到平面ABC距离最大时，AD'与平面ABC所成角最大，

当平面£>'AC_L平面ABC时，点。C到平面ABC距离最大，由B知，此时4n2,=。右=等,

即(sin6)ma'=^<#,，4侬<60°,D正确.

故选：AD.

12.已知a>0,b>0,a/?e"+lnZ?-l=0,则()

,,11

A.\nb>-B.efl>-

ab

C.a+\nh<1D.cib<\

BCD

【分析】对于A选项，尝试找反例.

对于B,C选项，构造函数g(x)=xe、帮助分析.

对于D选项，设8=e'"，再研究函数"(x)=xev+m+m-1零点所在范围.

【详解】对于A选项，当。=1时，abea+InZ?-1=00eZ?+InZ?-1=0-

设/(x)=ex+Inx-1,其中x>0.

则r(x)=e+g>0,故/(x)在(0,+纥)上单调递增.

又/⑴=e-1>0,=-1<0,则川eI,使/优)=0.

11]

即存在。=Ifbe—,1,使+In/?—1=0-

\e)

但此时，InZ?vIn1=0v1=故A错误.

对于B选项，abea4-In/?-1=0oaea+—In人=—oaea---In—=—

bhbhb

oaea-In-e'=L设g(x)=xe",其中x>0.则g'(x)=(x+l)e*>0.

bb

得g(x)在在(0,+e)上单调递增.注意到“e。一In-e"=-<=>g(a)-gIn-=

hb7yb)b

则-gln-=->0=>6f>ln7.又y=e'在R上递增，

vyb)bb

In-1

则有e“>e=>ea>上.故B正确.

b

对于C选项，由B选项可知e">,，则由a为"+In匕-1=0，

b

有0=abe11+In/?-1>ab•—+Inb-I=>a+Inb<1.故C正确.

b

对于D选项，因a>(),b>0,abe1'+Inb-]=0，

则abe"=l-ln^>0=>ln&<l=>/?<e.设。=e'n>其中〃2<1.

则abea+In8-1=0oaea+m+m-1=0•

设力(x)=xex+m+m-1,其中xe(0,+oo).则〃'(x)=(x+1)ex+,">0,

得/z(x)在(0,+8)上单调递增.

⑴若0<相<1,注意到〃(1一m)=(1一加)(e-l)>0,〃(0)=m-1<0,则支e(0,1-/篦)，使

/?(%)=0.即aG(0,1-〃z),

则ab<e'"(1-/n),设2(x)=e*(1-x),则p'(x)=-xex,

得p(x)在(0,1)上单调递减，则ab=em(1-rnj=p(m)<p(0)=1.

(2)当机=0,A(x)=jce'-1,注意到"0)=-1<0,/i(1)=e-1>0.

则ae(0,l),此时必=a<1.

(3)当机<0,注意到〃(一利)=一1(0，A(l-/w)=(l-m)(e-l)^0

则aG{-m,1-m),又由(1)分析可知在(-8,0)上单调递增.

则ab=e"'(1-m)=p(，〃)<p(0)=1.

综上，有.故D正确.

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：本题涉及双变量，构造函数，难度较大.对于A选项，直接证明较为复杂，故尝试

找反例.

对于B,C选项，在Inx与e*同时出现的题目中，常利用x=lnev=使出现相同结构.

对于D选项，将匕看作参数，并设匕=e'"简化运算.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(a+x)(l+x)s的展开式中小的系数是20,则实数。=.

2

【分析】根据二项展开式可得(a+x)(l+x)5=(a+xXl+C；x+C；x2+c>3+cH+Cd),则可得展开式中一

的系数，列方程即可得实数”的值.

【详解】解：因为(a+xNl+xyKa+xXl+Cx+Ck+Cjd+CW+C；%5)

则展开式中x4的系数是尤；+C；=5a+10=20,求得a=2.

故答案为：2.

14.已知向量1=(—2,丸)》=(1,1),且Z'M则4=［一，在办方向上的投影向量的坐标为

①.2(-h-l)

【分析】①根据平面向量垂直的判定条件求解；I的值即可；

②首先根据投影的计算公式求出％一3在B方向上的投影，进而求出在5方向上的投影向量.

【详解】①已知2=(—2"),1=(1,1),由于£工石，所以1B=(-2)xl+/lxl=0,解得2=2；

②由①知：2=(—2,2),石=(1,1),得Z—］=(—3,1),

贝=3)*1+1*1=—2,|^|=Vl2+12=A/2,

(a-b\b_2r-

故a-各在］方向上的投影为向=《=-6，

得a-b在b方向上的投影向量为一鲁,&=(-1,-1)•

故答案为：2；（T,7）15.若过点（0力）S＞0）只可以作曲线y=2的一条切线，则匕的取值范围是

e

【分析】根据导数几何意义，设切点坐标为（玉）,2•），则得切线方程y-含=詈＜%-％）,

22

过点（0㈤（。＞0）,则。=W，构造函数/z（x）=一,

确定函数的单调性及取值情况，即可得力的取值范围.

【详解】解：函数y=j的定义域为R，则了=宁，设切点坐标为（玉），亮），

则切线斜率为女=上/，故切线方程为：y-々=±m（x-x。），

e°e2e”＞

又切线过点（o,b）S＞0）,则方一宗=匕含（一X。）=＞方=W，

设〃（x）=则/?'（X）=无）=0得，尤=0或x=2,

则当xe（—8,0）时，〃'（x）＜0,函数/z（x）单调递减，

当为«0,2）时,“（力＞0,函数〃（x）单调递增，

当X£（2,+OO）时，//（x）＜0,函数/z（x）单调递减，

4

所以〃（0）=0,〃（2）=；,

e

又1-＞一8时，力（工）-400,Xf+8时，

所以/,=另有且只有一个根，且6＞0,则〃＞：,故〃的取值范围是［之,+力］.

e-'°e-ye"）

故答案为：

16.如图是数学家GerminalDandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型.在圆锥内放两

个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥的侧面与截面都相切，设图中球。一球。2的半径分别为4和2,

球心距离|。2|=2版，截面分别与球。1，球。2相切于点民F（£尸是截口椭圆的焦点），则此椭圆的

离心率等于.

1【分析】根据已知条件求得a，c,从而求得椭圆的离心率.

【详解】设OacEF=D,

IM\O.F\_I

由|。回|0,£|2，解得口必=网。,|0囚=出

|。2。|+|«。|=2加33

42

所以2c=—+—=2,。=1,

33

设直线所与圆锥的母线相交于点A,圆锥的母线与球相切于比。两点，如图所示,

则阈=回照=网,

两式相加得|AB|+1AC|—|AE|+1AF^—a—c+ci+c—24z,即|/?C|-2a,

过02作QGJ_aB,垂直为G,

则四边形BGO2c为矩形，所以2a=|BC|=J(2啊12?=6，a=3,

c1i

所以椭圆的离心率为-=;7.故答案为：一

a33

【点睛】求解椭圆离心率的问题，思考方向有两个，一个求得

求得a，c,从而求得椭圆的离心率二：一个是求得关于凡。的关系式，可以是一次式，也可以是二次式,

a

但必须是齐次式，由此化简求得椭圆的离心率.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且S6=4S3，%=2a“+l(〃eN)

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵设a=2'-'a„,求数列｛仇｝的前〃项和7；.

(1)=2〃-1

(2)7；=(2〃一3卜2"+3

【分析】(1)根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得可.

(2)利用错位相减求和法求得

【小问1详解】

设等差数列的公差为"，依题意，S6=4S3,«2„=2«„+l(neN*),则4=24+1

64+15d=4(3。］+3d)C

所以［1,''),解得a1=l1,d=2,所以凡=2〃-1.

q+d=2。］+1

【小问2详解】

2=2"4=（2〃一1）21,

所以7；=lx2°+3x2'+…+（2”—1）X2"T,

27；,=lx2,+3x22+...+（2n-l）x2\

两式相减得-；7=1+2。+23+…+2”—（2〃-1）x2"

=]+4,:）_（2“—l）x2"=（3-2n）-2,,-3,

所以骞=（2〃-3>2"+3.

18.在中，内角A3,C的对边分别为a,"。，c=2b,2sinA=3sin2C.

（1）求sinC；

（2）若的面积为,求AB边上的中线CO的长.

2

⑴反

4

（2）币

【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；

（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出

CD，最后利用求模公式即可求AB边上的中线CD的长.

【小问1详解】

因2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCcosC,

所以2〃=6ccosC,

即a=3ccosC,所以cosC=q,

3c

由余弦定理及c=2b得：

22222222

「a+b-ca+h-4ba-3b

cosC=--------------=----------------=----------

2ah2ab2ab

a

又cosC=—

3c6h

a2-3b2

所以—=>2a2=9b2,

lab6b

日门3V2,

即。=----h，

2

3吟

所以c°sC"=2V|.

6b6b~4~

【小问2详解】

rhc1;1A,.,V143A/7

由SARC=-absinC=-ufjcib---=----»

△ABC2242

所以=6>/2，

由⑴a等,

所以b=2,a=3\/2,

因为CO为A3边上的中线,

所以丽=g0+西，

所以।丽『二：q河2+|丽I+2C4CB)

=；x(/72+。2+2a/?cosC)=；x4+18+2x2x30x=7,所以|前|=近,

所以A8边上的中线。。的长为：币.

19.如图，已知四棱锥产一ABCO的底面ABC。是菱形，平面平面A8CD,，4。。=30。,£为

AO的中点，点厂在Q4上，AP^3AF.

p

（1）证明：PC//平面BEF；

B

（2）若NPDC=NPDB,且PO与平面ABC。所成的角为45°，求平面与平面庞户夹角的余弦

值.

（1）见解析（2）正

4

【分析】（1）设AC8E的交点为。，连接产。，可证得FO//PC,再由线面平行的判定定理即可证明;

（2）取8。的中点为H,连接P”，由面面垂直的性质定理可证得则平面ABC。，以〃为坐标

原点，为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面AEE与平面8防的法

向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.

【小问1详解】

设的交点为0,连接产。，已知。为的重心,

AT1

CCI,AO1AOAF

所以——=-——=—,所以在中,--

AC2AP2ACAP2

所以F0//PC，所以尸Ou平面班F，PC2平面B£F，

则PC//平面血尸.

【小问2详解】

因为NACD=30',所以NAC3=30°,

所以△OCB为等边三角形，所以OC=DB,又因为=所以APDBMAPDC,所以

PB=PC，

取的中点为H,连接PH，则

平面PBC1平面ABC。，平面尸BCc平面AB8=3C,

则平面A8CD,以H为坐标原点，“。,"&"尸为工,，,2轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

因为P£）与平面A8CO所成的角为NPD”=45°,所以PH=DH,

设菱形的边长为2,所以PH=DH=g，所以

P（0,0,V3）,B（0,l,0）,A（^,2,0）,D（^,0,0）,£（^,l,0）,

4

因为入「=3而，所以产

5'

EF=-4£,与，荏=（0,-1,0）,砺=（右,0,0卜

设力=（x,y,z）±平面AEF，

-y=0

n-AE=0

_=><乖,I垂）c'令x=l,y=0,z=l,

n-EF=Q------x+-y-\----z=0

333

所以3=（1,0,1）,

设玩=(马，必,z?)_L平面BEE，

J和丽=0瓜2=0

令y—y/3,x—0,z=T,

[m-EF^Q-与Xz+gy?+与Z2=0